Seconda cardinale, disco e punto materiale
Buongiorno!
Vi scrivo perché non riesco a capire un consiglio che mi è stato dato riguardo un esercizio.
L'esercizio è questo:
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Abbiamoun disco omogeneo di raggio $R$ e massa $3m$ e da un punto $P$ di massa $m$ saldato sul bordo del disco.
Il sistema è appoggiato su un piano inclinato di $pi/6$.
Inizialmente il sistema è posizionato in maniera che il segmento $bar(OP)$ sia parallelo al piano inclinato.
Il disco rotola senza strisciare (rotolamento puro).
Viene chiesto:
1)calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito perché il disco non slitti all'inizio del moto;
2) calcolare la velocità angolare del disco dopo che ha compiuto due giri completi, sempre assumendo che ci sia rotolamento puro.
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1)ho applicato la seconda cardinale nel punto di contatto, in modo che l'unica forza che mi crei momento sia la forza peso applicata nel centro di massa, dopodichè ho sfruttato la relazione cinematica di rotolamento puro nella prima cardinale.
Ho ottenuto $ddot(x_G)$ e $ddot(y)$ derivando la posizione di $x$ e di $y$ in funzione dell'angolo di rotazione $phi$.
Da ciò ho ottenuto la forza di attrito statico e la reazione normale del piano.
2)Ho usato la conservazione dell'energia meccanica, scrivendo $T_f= 1/2 I_C dot(phi)^2 = U_i - U_f$.
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In 1) mi è stato sconsigliato di applicare la seconda cardinale in $C$, ma di applicarla piuttosto in $G$.
In 2) mi è stato sconsigliato di scrivere l'energia cinetica come energia cinetica puramente rotazionale rispetto al punto di contatto $C$, ma di scrivere l'energia cinetica come $1/2(4m)v_G^2 + 1/2 I_G dot(phi)^2$.
Ho seguito i due consigli e ho ottenuto risultati corretti.
Dopodichè ho provato a farlo senza seguire i due consigli, e ho ottenuto risultati errati.
Qualcuno saprebbe dirmi per quale motivo?
Per quale motivo non posso applicare la seconda cardinale in $C$ a priori?
Per quale motivo non posso scrivere l'energia cinetica come puramente rotazionale in questo caso? Perché non ho un normale disco ma un disco più punto materiale saldato?
Notate bene che non ho commesso errori nel calcolo dei momenti d'inerzia rispetto a $C$.
Momento d'inerzia rispetto a $C$ nell'istante iniziale ($bar(PO)$ parallelo al piano inclinato) =
Momento d'inerzia del disco rispetto a $C$ + momento d'inerzia del punto materiale rispetto a $C$=
= $I_C = (1/2 3mR^2 + 3mR^2) + (m (sqrt(2R^2))^2) = 13/2 mR^2$
Vi scrivo perché non riesco a capire un consiglio che mi è stato dato riguardo un esercizio.
L'esercizio è questo:
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Abbiamoun disco omogeneo di raggio $R$ e massa $3m$ e da un punto $P$ di massa $m$ saldato sul bordo del disco.
Il sistema è appoggiato su un piano inclinato di $pi/6$.
Inizialmente il sistema è posizionato in maniera che il segmento $bar(OP)$ sia parallelo al piano inclinato.
Il disco rotola senza strisciare (rotolamento puro).
Viene chiesto:
1)calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito perché il disco non slitti all'inizio del moto;
2) calcolare la velocità angolare del disco dopo che ha compiuto due giri completi, sempre assumendo che ci sia rotolamento puro.
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Io l'ho risolto così:
1)ho applicato la seconda cardinale nel punto di contatto, in modo che l'unica forza che mi crei momento sia la forza peso applicata nel centro di massa, dopodichè ho sfruttato la relazione cinematica di rotolamento puro nella prima cardinale.
Ho ottenuto $ddot(x_G)$ e $ddot(y)$ derivando la posizione di $x$ e di $y$ in funzione dell'angolo di rotazione $phi$.
Da ciò ho ottenuto la forza di attrito statico e la reazione normale del piano.
2)Ho usato la conservazione dell'energia meccanica, scrivendo $T_f= 1/2 I_C dot(phi)^2 = U_i - U_f$.
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Problema:
In 1) mi è stato sconsigliato di applicare la seconda cardinale in $C$, ma di applicarla piuttosto in $G$.
In 2) mi è stato sconsigliato di scrivere l'energia cinetica come energia cinetica puramente rotazionale rispetto al punto di contatto $C$, ma di scrivere l'energia cinetica come $1/2(4m)v_G^2 + 1/2 I_G dot(phi)^2$.
Ho seguito i due consigli e ho ottenuto risultati corretti.
Dopodichè ho provato a farlo senza seguire i due consigli, e ho ottenuto risultati errati.
Qualcuno saprebbe dirmi per quale motivo?
Per quale motivo non posso applicare la seconda cardinale in $C$ a priori?
Per quale motivo non posso scrivere l'energia cinetica come puramente rotazionale in questo caso? Perché non ho un normale disco ma un disco più punto materiale saldato?
Notate bene che non ho commesso errori nel calcolo dei momenti d'inerzia rispetto a $C$.
Momento d'inerzia rispetto a $C$ nell'istante iniziale ($bar(PO)$ parallelo al piano inclinato) =
Momento d'inerzia del disco rispetto a $C$ + momento d'inerzia del punto materiale rispetto a $C$=
= $I_C = (1/2 3mR^2 + 3mR^2) + (m (sqrt(2R^2))^2) = 13/2 mR^2$
Risposte
Grazie. Ti sono così riconoscente che, nel caso di ulteriori obiezioni, ti passo il testimone. 
P.S.
Ad ogni modo, lo spirito critico di Claudio Nine è ammirevole.
P.S.
Ad ogni modo, lo spirito critico di Claudio Nine è ammirevole.
"anonymous_0b37e9":
[quote="professorkappa"]
... è stato un atto di carità ...
Claudio Nine è come San Tommaso. Insomma, il tuo intervento è più che ben accetto.
[/quote]Ragazzi vi ringrazio e ammetto che in questa occassione sono un caso perso.
Sarà anche per lo stress pre-esame, non so.
Quindi il punto che non avevo capito è:
Il punto fisico appartenente al disco che è a contatto col piano, e che istante per istante cambia ha velocità nulla.
Tuttavia io non applico la seconda cardinale rispetto a quel punto, ma rispetto al polo che ha velocità parallela al piano.
Non capisco chi sia questo polo che ha velocità parallela al piano.
Appartiene al disco?
No, perché sennò avrebbe velocità nulla.
Appartiene al piano?
Se mi rispondete mi fate un favorone.
Penso di non essere mai stato così rintontito, a mente lucida mi auto-disprezzerei.
Spero di stare meglio domani.
Il polo e' un polo. Un punto qualsiasi, un asse. Non appartiene fisicamente a nulla. E' un punto geometrico che scegli tu, e rispetto al quale calcoli alcune grandezze. Lo puoi prendere anche a Milano.
Ora, questo polo puo' essere fisso o puo' essere mobile. Se si muove parallelamente al centro di massa o coincide con il centro di massa, allora per quanto ti ha spiegato Sarge, l'equazione rimane $tau=[dL]/[dt]$ altrimenti deve essere aggiunto quel termine $mv_[CM]xxv_P$
Nel tuo caso, se decidi di prenderlo nel punto di contatto tra disco e suolo, il polo e' mobile, perche e' vero che il punto del disco a contatto col piano ha velocita' nulla, ma il punto di contatto si sposta istante per istante.
Altrimenti una macchina come avanza???
Quindi scegliere in questo caso quel polo ti complica la vita. Meglio il baricentro perche il termine aggiuntivo diventa $mv_[CM]xxv_[CM]$ e come sai, il prodotto vettoriale tra due vettori identici e' nullo
Ora, questo polo puo' essere fisso o puo' essere mobile. Se si muove parallelamente al centro di massa o coincide con il centro di massa, allora per quanto ti ha spiegato Sarge, l'equazione rimane $tau=[dL]/[dt]$ altrimenti deve essere aggiunto quel termine $mv_[CM]xxv_P$
Nel tuo caso, se decidi di prenderlo nel punto di contatto tra disco e suolo, il polo e' mobile, perche e' vero che il punto del disco a contatto col piano ha velocita' nulla, ma il punto di contatto si sposta istante per istante.
Altrimenti una macchina come avanza???
Quindi scegliere in questo caso quel polo ti complica la vita. Meglio il baricentro perche il termine aggiuntivo diventa $mv_[CM]xxv_[CM]$ e come sai, il prodotto vettoriale tra due vettori identici e' nullo
@anonymous_0b37e9 e professorkappa grazie di cuore.
Ho fatto un minestrone assurdo mischiando diversi concetti. Ora è tornato tutto in ordine.
Grazie!
Ho fatto un minestrone assurdo mischiando diversi concetti. Ora è tornato tutto in ordine.
Grazie!
Bah, si risolve in due modi, o usando l'energia, o la dinamica (energia rapido)
Anche risolvendolo rispetto al punto fisso non complica.
Non so come lo hai risolto tu alla fine
Anche risolvendolo rispetto al punto fisso non complica.
Non so come lo hai risolto tu alla fine
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