Seconda cardinale, disco e punto materiale
Buongiorno!
Vi scrivo perché non riesco a capire un consiglio che mi è stato dato riguardo un esercizio.
L'esercizio è questo:
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Abbiamoun disco omogeneo di raggio $R$ e massa $3m$ e da un punto $P$ di massa $m$ saldato sul bordo del disco.
Il sistema è appoggiato su un piano inclinato di $pi/6$.
Inizialmente il sistema è posizionato in maniera che il segmento $bar(OP)$ sia parallelo al piano inclinato.
Il disco rotola senza strisciare (rotolamento puro).
Viene chiesto:
1)calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito perché il disco non slitti all'inizio del moto;
2) calcolare la velocità angolare del disco dopo che ha compiuto due giri completi, sempre assumendo che ci sia rotolamento puro.
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1)ho applicato la seconda cardinale nel punto di contatto, in modo che l'unica forza che mi crei momento sia la forza peso applicata nel centro di massa, dopodichè ho sfruttato la relazione cinematica di rotolamento puro nella prima cardinale.
Ho ottenuto $ddot(x_G)$ e $ddot(y)$ derivando la posizione di $x$ e di $y$ in funzione dell'angolo di rotazione $phi$.
Da ciò ho ottenuto la forza di attrito statico e la reazione normale del piano.
2)Ho usato la conservazione dell'energia meccanica, scrivendo $T_f= 1/2 I_C dot(phi)^2 = U_i - U_f$.
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In 1) mi è stato sconsigliato di applicare la seconda cardinale in $C$, ma di applicarla piuttosto in $G$.
In 2) mi è stato sconsigliato di scrivere l'energia cinetica come energia cinetica puramente rotazionale rispetto al punto di contatto $C$, ma di scrivere l'energia cinetica come $1/2(4m)v_G^2 + 1/2 I_G dot(phi)^2$.
Ho seguito i due consigli e ho ottenuto risultati corretti.
Dopodichè ho provato a farlo senza seguire i due consigli, e ho ottenuto risultati errati.
Qualcuno saprebbe dirmi per quale motivo?
Per quale motivo non posso applicare la seconda cardinale in $C$ a priori?
Per quale motivo non posso scrivere l'energia cinetica come puramente rotazionale in questo caso? Perché non ho un normale disco ma un disco più punto materiale saldato?
Notate bene che non ho commesso errori nel calcolo dei momenti d'inerzia rispetto a $C$.
Momento d'inerzia rispetto a $C$ nell'istante iniziale ($bar(PO)$ parallelo al piano inclinato) =
Momento d'inerzia del disco rispetto a $C$ + momento d'inerzia del punto materiale rispetto a $C$=
= $I_C = (1/2 3mR^2 + 3mR^2) + (m (sqrt(2R^2))^2) = 13/2 mR^2$
Vi scrivo perché non riesco a capire un consiglio che mi è stato dato riguardo un esercizio.
L'esercizio è questo:
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Abbiamoun disco omogeneo di raggio $R$ e massa $3m$ e da un punto $P$ di massa $m$ saldato sul bordo del disco.
Il sistema è appoggiato su un piano inclinato di $pi/6$.
Inizialmente il sistema è posizionato in maniera che il segmento $bar(OP)$ sia parallelo al piano inclinato.
Il disco rotola senza strisciare (rotolamento puro).
Viene chiesto:
1)calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito perché il disco non slitti all'inizio del moto;
2) calcolare la velocità angolare del disco dopo che ha compiuto due giri completi, sempre assumendo che ci sia rotolamento puro.
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Io l'ho risolto così:
1)ho applicato la seconda cardinale nel punto di contatto, in modo che l'unica forza che mi crei momento sia la forza peso applicata nel centro di massa, dopodichè ho sfruttato la relazione cinematica di rotolamento puro nella prima cardinale.
Ho ottenuto $ddot(x_G)$ e $ddot(y)$ derivando la posizione di $x$ e di $y$ in funzione dell'angolo di rotazione $phi$.
Da ciò ho ottenuto la forza di attrito statico e la reazione normale del piano.
2)Ho usato la conservazione dell'energia meccanica, scrivendo $T_f= 1/2 I_C dot(phi)^2 = U_i - U_f$.
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Problema:
In 1) mi è stato sconsigliato di applicare la seconda cardinale in $C$, ma di applicarla piuttosto in $G$.
In 2) mi è stato sconsigliato di scrivere l'energia cinetica come energia cinetica puramente rotazionale rispetto al punto di contatto $C$, ma di scrivere l'energia cinetica come $1/2(4m)v_G^2 + 1/2 I_G dot(phi)^2$.
Ho seguito i due consigli e ho ottenuto risultati corretti.
Dopodichè ho provato a farlo senza seguire i due consigli, e ho ottenuto risultati errati.
Qualcuno saprebbe dirmi per quale motivo?
Per quale motivo non posso applicare la seconda cardinale in $C$ a priori?
Per quale motivo non posso scrivere l'energia cinetica come puramente rotazionale in questo caso? Perché non ho un normale disco ma un disco più punto materiale saldato?
Notate bene che non ho commesso errori nel calcolo dei momenti d'inerzia rispetto a $C$.
Momento d'inerzia rispetto a $C$ nell'istante iniziale ($bar(PO)$ parallelo al piano inclinato) =
Momento d'inerzia del disco rispetto a $C$ + momento d'inerzia del punto materiale rispetto a $C$=
= $I_C = (1/2 3mR^2 + 3mR^2) + (m (sqrt(2R^2))^2) = 13/2 mR^2$
Risposte
"CLaudio Nine":
... mi è stato sconsigliato di scrivere l'energia cinetica come energia cinetica puramente rotazionale ...
La complicazione è dovuta al fatto che il momento d'inerzia del punto P dipenderebbe dal tempo.
"CLaudio Nine":
... mi è stato sconsigliato di applicare la seconda cardinale ...
La complicazione è dovuta al teorema sottostante:
Più in particolare, la velocità del polo non sarebbe, in ogni istante, parallela a quella del centro di massa del sistema.
"anonymous_0b37e9":
La complicazione è dovuta al fatto che il momento d'inerzia del punto P dipenderebbe dal tempo.
Per quanto riguarda l'energia cinetica hai ragione, me ne sono accorto proprio adesso, che sciocco.
Quindi quel problema è risolto. Tuttavia...
"anonymous_0b37e9":
La complicazione è dovuta al teorema sottostante:
...Tuttavia permane l'altro!
Il punto di contatto è comunque fermo, ho che $I_Cddot(phi) = M_(ext)$ .
Per qualche ragione, nell'assumere rotolamento puro e determinare il coefficiente di attrito statico che permette ciò, devo prima calcolare la seconda cardinale rispetto al centro di massa, e solamente dopo imporre che il coefficiente di attrito statico sia maggiore di un certo valore.
Imporre a priori la seconda cardinale nel punto di contatto e dopodiché scrivere quella disuguaglianza mi da un risultato sbagliato.
Non so come mai.
Per polo si intende il punto geometrico di contatto, non il punto fisico del disco che lo occupa. Insomma, il polo si muoverebbe lungo il piano inclinato.
"anonymous_0b37e9":
Per polo si intende il punto geometrico di contatto, non il punto fisico del disco che lo occupa. Insomma, il polo si muoverebbe lungo il piano inclinato.
Continuo a non capire.
C'è rotolamento puro, quindi il punto geometrico di contatto è fermo, quindi dovrei poter applicare la seconda cardinale "semplificata" in tale punto.
Perché non posso?
"CLaudio Nine":
... quindi il punto geometrico di contatto è fermo ...
Il punto geometrico di contatto si muove lungo il piano inclinato con la stessa velocità del centro del disco. Ad avere velocità nulla è il punto fisico (non è sempre lo stesso) del disco che lo occupa. Inoltre, come scritto in precedenza, per polo si intende il punto geometrico di contatto. A questo punto, mi sorge il dubbio che tu non abbia compreso del tutto il rotolamento puro.
"anonymous_0b37e9":
Ad avere velocità nulla è il punto fisico (non è sempre lo stesso) del disco che lo occupa.
Probabile che io abbia qualche lacuna. Vediamo se salta fuori.
Okay, ma sta di fatto che il punto fisico del disco che si trova a contatto con il piano inclinato ha velocità nulla, ed io applico la seconda cardinale lì, dunque dovrei avere la seconda cardinale semplificata.
No?
Io so che tutte le volte che ho avuto un disco o un anello che si muovevano di rotolamento puro su un piano inclinato, ho sempre applicato la seconda cardinale nel punto di contatto fra disco e piano, ed ha sempre funzionato.
Quello che è fermo è giustamente il punto del disco che poggia sul piano e che via via cambia. Ma io calcolo la seconda cardinale rispetto a quel polo.
No?
No! 
Il polo di cui si tratta nel derivare la seconda equazione cardinale della dinamica è un punto geometrico, non un punto fisico. Per esserne sicuro dovresti rivedere la dimostrazione. Proprio per questo, nell'esercizio che hai proposto, il polo, inteso come punto geometrico, si muove lungo il piano inclinato con la stessa velocità del centro del disco. Insomma, il punto geometrico C della tua figura è fermo o in movimento? Inoltre, con un semplice disco oppure un semplice anello non si hanno problemi perché il polo ha, in ogni istante, velocità parallela (addirittura uguale) al centro di massa.
Il polo di cui si tratta nel derivare la seconda equazione cardinale della dinamica è un punto geometrico, non un punto fisico. Per esserne sicuro dovresti rivedere la dimostrazione. Proprio per questo, nell'esercizio che hai proposto, il polo, inteso come punto geometrico, si muove lungo il piano inclinato con la stessa velocità del centro del disco. Insomma, il punto geometrico C della tua figura è fermo o in movimento? Inoltre, con un semplice disco oppure un semplice anello non si hanno problemi perché il polo ha, in ogni istante, velocità parallela (addirittura uguale) al centro di massa.
"anonymous_0b37e9":
No!
Il polo di cui si tratta nel derivare la seconda equazione cardinale della dinamica è un punto geometrico, non un punto fisico. Per esserne sicuro dovresti rivedere la dimostrazione. Proprio per questo, nell'esercizio che hai proposto, il polo, inteso come punto geometrico, si muove lungo il piano inclinato con la stessa velocità del centro del disco. Insomma, il punto geometrico C della tua figura è fermo o in movimento? Inoltre, con un semplice disco oppure un semplice anello non si hanno problemi perché il polo ha, in ogni istante, velocità parallela (addirittura uguale) al centro di massa.
Sono super confuso. Espongo i miei dubbi:
Assumiamo che in ogni istante ci sia rotolamento puro.
Il sistema disco + punto materiale sta rotolando giù per il piano inclinato.
Analiziamo un preciso istante, congeliamo il tempo.
1) Per punto geometrico $C$ intendi il punto che appartiene al sistema disco+punto materiale che si trova a contatto con il piano inclinato?
Se intendi il punto geometrico, che differenza fa dato che sto analizzando un preciso istante di tempo?
2) Per quale ragione esso si muove lungo il piano inclinato con la stessa velocità del centro del disco, e non con velocità nulla, come di solito accade per il rotolamento puro?
3) "Inoltre, con un semplice disco oppure un semplice anello non si hanno problemi perché il polo ha, in ogni istante, velocità parallela (addirittura uguale) al centro di massa."
Ma come? Non avrebbe velocità nulla?
Spiegami come può il punto geometrico C della figura, non quello fisico di cui parli al punto 1, essere fermo se il sistema rotola lungo il piano inclinato.
"anonymous_0b37e9":
Spiegami come può il punto geometrico C della figura, non quello fisico di cui parli al punto 1, essere fermo se il sistema rotola lungo il piano inclinato.
Rigiro la domanda:
come mai, quando ho avuto un disco omogeneo che rotola di rotolamento puro su un piano inclinato, ho sempre calcolato la seconda cardinale rispetto al punto di contatto $C $ ottenendo risultati corretti, mentre in questo caso non funziona?
P.s. mi È chiaro che è il punto appartenente al disco che è a contatto con il piano ad avere velocità nulla
"anonymous_0b37e9":
Spiegami come può il punto geometrico C della figura, non quello fisico di cui parli al punto 1, essere fermo se il sistema rotola lungo il piano inclinato.
Rigiro la domanda:
come mai, quando ho avuto un disco omogeneo che rotola di rotolamento puro su un piano inclinato, ho sempre calcolato la seconda cardinale rispetto al punto di contatto $C $ ottenendo risultati corretti, mentre in questo caso non funziona?
P.s. mi È chiaro che è il punto appartenente al disco che è a contatto con il piano ad avere velocità nulla
"CLaudio Nine":
... come mai, quando ho avuto un disco omogeneo che rotola di rotolamento puro su un piano inclinato, ho sempre calcolato la seconda cardinale rispetto al punto di contatto $C$ ottenendo risultati corretti, mentre in questo caso non funziona?
Perché, come ho già scritto, il punto geometrico $C$ si muove lungo il piano con velocità, in ogni istante, parallela alla velocità del centro di massa. Nel sistema più complesso comprendente un punto materiale sul bordo del disco, il centro di massa si sposta (l'hai anche disegnato nella figura) e la sua velocità, perpendicolare alla congiungente il punto fisico $C$ (centro istantaneo di rotazione) e il centro di massa medesimo, non è più parallela, in ogni istante, alla velocità del polo. Probabilmente ti sfuggiva questo aspetto. Io l'avevo dato per scontato.
P.S.
Ho visto che hai fatto riferimento alla presente discussione in un'altra discussione. Visto lo sforzo da me profuso, non è molto elegante da parte tua. Pazienza.
"anonymous_0b37e9":
Perché, come ho già scritto, il punto geometrico $C$ si muove lungo il piano con velocità, in ogni istante, parallela alla velocità del centro di massa.
Quindi in questo caso piu semplice la seconda cardinale si semplifica perché la velocità del punto di contatto è parallela???
Io pensavo che il motivo per cui si semplificasse fosse che la sua velocità fosse nulla!
"anonymous_0b37e9":
Probabilmente ti sfuggiva questo aspetto. Io l'avevo dato per scontato.
P.S.
Ho visto che hai fatto riferimento alla presente discussione in un'altra discussione. Visto lo sforzo da me profuso, non è molto elegante da parte tua. Pazienza.
Dire che non è stato elegante è un eufemismo. Sono stato mosso dalla disperazione, domani ho l'esame scritto e ho sempre pensato che il punto di contatto di un disco omogeneo che rotola su un piano inclinato avesse velocità nulla, così come quando rotola su un piano orizzontale.
Anche perché l'asse attorno a cui avviene la rotazione è proprio l'asse passante per il punto di contatto.
"CLaudio Nine":
... ho sempre pensato che il punto di contatto di un disco omogeneo che rotola su un piano inclinato avesse velocità nulla, così come quando rotola su un piano orizzontale.
Aspetta. Considera un disco che rotola senza strisciare lungo un piano orizzontale oppure lungo un piano inclinato. Ebbene, se fai due schizzi che si riferiscono a due istanti diversi, il punto di contatto non ha la stessa posizione. Motivo per il quale la sua velocità è diversa da zero. Vero è che il punto del disco che, in ogni istante, ha la stessa posizione del punto di contatto ha velocità nulla. Insomma, la frase riportata in apertura è corretta se si considera il punto del disco che, in ogni istante, ha la stessa posizione del punto di contatto, il punto che io chiamo fisico per intenderci. Tuttavia, io chiamo punto geometrico il punto di contatto che si è mosso nel fare i due schizzi e che rappresenta il polo nella seconda equazione cardinale della dinamica. Scusa ma, visto che si è mosso, come può avere velocità nulla?
"CLaudio Nine":
... la seconda cardinale si semplifica perché la velocità del punto di contatto è parallela?
Proprio così. Sono cose un po' sottili senza le quali si rischiano pericolose misconcezioni.
"anonymous_0b37e9":
Aspetta. Considera un disco che rotola senza strisciare lungo un piano orizzontale oppure lungo un piano inclinato. Se fai due figure che si riferiscono a due istanti diversi, il punto di contatto non ha la stessa posizione. Motivo per il quale la sua velocità è diversa da zero. Vero è che il punto del disco che, in ogni istante, ha la stessa posizione del punto di contatto ha velocità nulla. Insomma, la tua frase che ho riportato è corretta se consideri il punto del disco che, in ogni istante, ha la stessa posizione del punto di contatto, il punto che io chiamo fisico per intenderci. Tuttavia, io chiamo punto geometrico il punto di contatto che si è mosso nel fare le due figure (tra l'altro, si tratta del polo che compare nella seconda cardinale). Scusa ma, visto che si è mosso, come può avere velocità nulla?
[quote="CLaudio Nine"]
... la seconda cardinale si semplifica perché la velocità del punto di contatto è parallela?
Proprio così. Sono cose un po' sottili senza le quali si rischiano pericolose misconcezioni.[/quote]
Io mi sono dunque sempre riferito al punto che tu chiami fisico.
Tuttavia ho un dubbio.
Il professore ci disse che se un disco rototrasla su un piano orizzontale (rotola e striscia), non posso applicare la seconda cardinale nel punto di contatto perché "esso (il punto di contatto) non sarà fermo"!
Non disse perché "le velocità non saranno parallele".
Io hi sempre applicato la seconda cardinale considerando il punto che tu chiami fisico.
"CLaudio Nine":
Il professore ci disse che ...
Anche per questo sono cose un po' sottili.
Claudio.
Fatti un caffe. Una camonilla. Poi, con calma, a testa vuota, rileggi con calma i post di Sergente. E' tutto li.
Questo poveretto non sa piu come spiegare.
Provo ad aiutarlo, magari da un altro punto di vista ti aiuta.
Il punto appartenente al disco in contatto con qualsiasi superficie e' fermo quando il disco rotola. Sempre, non importa se il disco sale scende o va in piano.
Il polo, pero', si muove sempre lungo il piano e la sua velocita' e' parallela al centro del disco.
Questo ti permette di usare la seconda cardinale usando il polo mobile senza introdurre il termine ausiliario, poiche velocita del polo e velocita' del cdm sono parallele e il vettoriale di due vettori paralleli si annulla.
Qua hai un problema. Il polo si muove col disco, ma il centro di massa non e' il centro del disco per via della sferetta. Ne consegue che ora quel termine non si annulla e ne devi tenere conto.
Aggiungo un altro punto gia' menzionato da Sergente ma che forse ti e' sfuggito. Rispetto al polo, il momento di inerzia del sistema cambia. Se, per semplicita', il disco avesse massa nulla, il momento di inerzia rispetto al punto di contatto e' $Md^2$ (M e' la massa della pallina). Ora, se la pallina e' sulla perpedicolare al polo, il momento di inerzia e' $M*(2R^2)$. Ma quando la pallina passa per il polo, il momento di inerzia e' nullo.
Quindi nello scrivere $tau=Ialpha$ devi tenere conto che $I$ non e' costante. Resta costante se prendi come polo G. E in quel caso, la velocita' del polo e' proprio la velocita' di G. PErtanto non solo resta costante I, ma saprisce il termine aggiuntivo.
Spero che sergente non me ne voglia pe questa intromissione, e' stao un atto di carita'
Fatti un caffe. Una camonilla. Poi, con calma, a testa vuota, rileggi con calma i post di Sergente. E' tutto li.
Questo poveretto non sa piu come spiegare.
Provo ad aiutarlo, magari da un altro punto di vista ti aiuta.
Il punto appartenente al disco in contatto con qualsiasi superficie e' fermo quando il disco rotola. Sempre, non importa se il disco sale scende o va in piano.
Il polo, pero', si muove sempre lungo il piano e la sua velocita' e' parallela al centro del disco.
Questo ti permette di usare la seconda cardinale usando il polo mobile senza introdurre il termine ausiliario, poiche velocita del polo e velocita' del cdm sono parallele e il vettoriale di due vettori paralleli si annulla.
Qua hai un problema. Il polo si muove col disco, ma il centro di massa non e' il centro del disco per via della sferetta. Ne consegue che ora quel termine non si annulla e ne devi tenere conto.
Aggiungo un altro punto gia' menzionato da Sergente ma che forse ti e' sfuggito. Rispetto al polo, il momento di inerzia del sistema cambia. Se, per semplicita', il disco avesse massa nulla, il momento di inerzia rispetto al punto di contatto e' $Md^2$ (M e' la massa della pallina). Ora, se la pallina e' sulla perpedicolare al polo, il momento di inerzia e' $M*(2R^2)$. Ma quando la pallina passa per il polo, il momento di inerzia e' nullo.
Quindi nello scrivere $tau=Ialpha$ devi tenere conto che $I$ non e' costante. Resta costante se prendi come polo G. E in quel caso, la velocita' del polo e' proprio la velocita' di G. PErtanto non solo resta costante I, ma saprisce il termine aggiuntivo.
Spero che sergente non me ne voglia pe questa intromissione, e' stao un atto di carita'
"professorkappa":
... è stato un atto di carità ...
Claudio Nine è come San Tommaso. Insomma, il tuo intervento è più che ben accetto.
Un atto di carita' nei tuoi confronti
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