Scelta del polo arbitrario nel moto rotazionale
Sera a voi! 
Vorrei aprire la mia presenza sul forum di fisica con due domanducce che vorrei capire bene.
1) Sto studiando fisica I e mi sono posto un dubbio, ossia se la scelta del polo sia arbitrario ad esempio per studiare il moto rotatorio di corpi. Una fra tutte la scelta del fulcro per il momento della forza e mi pare leggendo qui https://www.vialattea.net/content/859/ lo sia.
Noto che in effetti è arbitrario quando vado a svolgere esercizi di equilibrio di corpi, basta riferire tutto a quello, tuttavia non riesco a capire come dimostrare questa arbitrarietà dato che di per sé il momento della forza (a meno non siano una coppia di forze) è influenzato dal braccio.
2) Inoltre vorrei porre un ulteriore domanda correlata, ossia un esempio in cui mi pare questa scelta arbitraria non sia valida: se prendo ad esempio un pendolo a torsione so che il momento di richiamo del filo è: $tau=ktheta$ (con spostamento angolare theta).
Se ora applico una forza che equilibra il richiamo (e la applicoa una distanza l dal punto in cui è appeso il manubrio) scriverei l'equilibrio come $ktheta=F*l$ se scegliessi come polo il punto in cui è appesa la corda.
Se ora cambiassi scelta e come polo scegliessi non più il centro del manubrio ma nel punto in cui applico la forza all'estremo del manubrio, avrei $ktheta=F*0$ che ovviamente è errato. Perchéquindi la scelta del polo, in questo specifico caso, non èarbitraria se generalmente lo è?
Mille grazie.
Vorrei aprire la mia presenza sul forum di fisica con due domanducce che vorrei capire bene.
1) Sto studiando fisica I e mi sono posto un dubbio, ossia se la scelta del polo sia arbitrario ad esempio per studiare il moto rotatorio di corpi. Una fra tutte la scelta del fulcro per il momento della forza e mi pare leggendo qui https://www.vialattea.net/content/859/ lo sia.
Noto che in effetti è arbitrario quando vado a svolgere esercizi di equilibrio di corpi, basta riferire tutto a quello, tuttavia non riesco a capire come dimostrare questa arbitrarietà dato che di per sé il momento della forza (a meno non siano una coppia di forze) è influenzato dal braccio.
2) Inoltre vorrei porre un ulteriore domanda correlata, ossia un esempio in cui mi pare questa scelta arbitraria non sia valida: se prendo ad esempio un pendolo a torsione so che il momento di richiamo del filo è: $tau=ktheta$ (con spostamento angolare theta).
Se ora applico una forza che equilibra il richiamo (e la applicoa una distanza l dal punto in cui è appeso il manubrio) scriverei l'equilibrio come $ktheta=F*l$ se scegliessi come polo il punto in cui è appesa la corda.
Se ora cambiassi scelta e come polo scegliessi non più il centro del manubrio ma nel punto in cui applico la forza all'estremo del manubrio, avrei $ktheta=F*0$ che ovviamente è errato. Perchéquindi la scelta del polo, in questo specifico caso, non èarbitraria se generalmente lo è?
Mille grazie.
Risposte
Se hai un generico insieme di forze, $vec F_i$ applicate nei punti $P_i$, se scegli un punto $O$, la somma dei momenti delle forze rispetto ad $O$, $vec M(O) = Sigma (vec (P_i-O) times vec F_i)$ certamente dipende da $O$.
Infatti, se scegli un altro polo $O'$ vedi subito che si ha $vec M(O') = vec M(O) + Sigma vec F_i times vec(O'-O)$
Questo però ti dice che, se la somma delle forze è zero, allora i due momenti sono uguali.
Quindi, se siamo in statica, in cui si richiede appunto che la somma delle forze sia zero, risulta che la scelta del polo è arbitraria.
Infatti, se scegli un altro polo $O'$ vedi subito che si ha $vec M(O') = vec M(O) + Sigma vec F_i times vec(O'-O)$
Questo però ti dice che, se la somma delle forze è zero, allora i due momenti sono uguali.
Quindi, se siamo in statica, in cui si richiede appunto che la somma delle forze sia zero, risulta che la scelta del polo è arbitraria.
Hai ragione, in statica è verissimo. Però in generale la scelta del polo per lo studio del moto mi pare comunque arbitrario. Ad esempio in un esercizio di una ruotache gira potevo scegliere identicamente come polo il centro di essa o il punto di contatto al terreno e lo studio del moto veniva identico. E questo non capisco perché sia vero.
"moenia":
Però in generale la scelta del polo per lo studio del moto mi pare comunque arbitrario. Ad esempio in un esercizio di una ruotache gira potevo scegliere identicamente come polo il centro di essa o il punto di contatto al terreno e lo studio del moto veniva identico. E questo non capisco perché sia vero.
LA seconda equazione cardinale della dinamica (limitiamoci a un corpo rigido) dice che, assunto un certo polo, il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è uguale alla variazione del momento angolare calcolato sempre rispetto allo stesso polo. Non puoi prendere un polo per il momento delle forze esterne e un altro per il momento angolare, perchè in quest’ultimo entra il momento di inerzia ( per maggior correttezza si dovrebbe parlare di “matrice di inerzia” , ma le cose si complicano un po’) , che dipende dal polo assunto.
Metto qualche link a vecchie discussioni, che a loro volta contengono altri link, e anche pagine di dispense :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8445544
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8443971
Quello che dici qui :
2) Inoltre vorrei porre un ulteriore domanda correlata, ossia un esempio in cui mi pare questa scelta arbitraria non sia valida: se prendo ad esempio un pendolo a torsione...
è segno che quanto detto non ti è molto chiaro.
Ti rendi conto che quando scrivi : $tau = k\theta$ hai già fissato l’asse di rotazione? È l’asse del pendolo di torsione, no? L’angolo $\theta$ è quello di cui si “torce" il filo, $k$ è la costante elastica torsionale del filo. Questo presuppone che inizialmente hai imposto una torsione al filo, o con un momento o con una forza che ha momento rispetto all’asse. Poi, per impedire il richiamo torsionale applichi la forza $F$ all’estremo del manubrio : ma allora, come detto prima, il polo per calcolare il momento di questa forza non puoi prenderlo nello stesso punto di applicazione di F all’estremo del manubrio, sarebbe diverso dal punto dell’asse dove è attaccato il manubrio! E abbiamo detto che deve essere lo stesso polo di prima. Oltretutto, è una situazione di equilibrio statico, la dinamica non c’entra neanche. Devi tener presente che $vecM =vecr times vecF$, cioè la natura vettoriale del momento.
Sei stato molto chiaro, credo di aver capito.
E qui
In effetti hai individuato l'errore che facevo, seppur mi fossi spiegato maluccio. Non avevo considerato che il momento dato dalla torsione imponeva già la scelta dell'asse di torsione e quello si deve mantenere anche quando poi decido di applicare la forza che mantenga il sistema in equilibrio.
Io partivo da pendolo già torto e dicevo ok ora posso scegliere il polo che voglio, non rendendomi conto che il tau del pendolo aveva già intrinsecamente imposto quella condizione.
Poi a stranirmi era anche il fatto che contrariamente ai momenti di forze classici il momento di richiamo del filo è indipendente in realtà dalla lunghezza del braccio: ad esempio se il manubrio fosse A=2m o B=5m (distanza dall'asse di rotazione) nel punto in cui applico la forza (che sia A o B) il momento è sempre τ=kθ. E' una cosa particolare.
Ti ringrazio per avermi risposto
E qui
Ti rendi conto che quando scrivi : τ=kθ hai già fissato l’asse di rotazione? È l’asse del pendolo di torsione, no?
In effetti hai individuato l'errore che facevo, seppur mi fossi spiegato maluccio. Non avevo considerato che il momento dato dalla torsione imponeva già la scelta dell'asse di torsione e quello si deve mantenere anche quando poi decido di applicare la forza che mantenga il sistema in equilibrio.
Io partivo da pendolo già torto e dicevo ok ora posso scegliere il polo che voglio, non rendendomi conto che il tau del pendolo aveva già intrinsecamente imposto quella condizione.
Poi a stranirmi era anche il fatto che contrariamente ai momenti di forze classici il momento di richiamo del filo è indipendente in realtà dalla lunghezza del braccio: ad esempio se il manubrio fosse A=2m o B=5m (distanza dall'asse di rotazione) nel punto in cui applico la forza (che sia A o B) il momento è sempre τ=kθ. E' una cosa particolare.
Ti ringrazio per avermi risposto
Di nulla. Per quanto riguarda la tua ultima osservazione, tieni presente che se sottoponi a torsione un solido, che per semplicità supponiamo un cilindro a sezione retta circolare, la rigidezza torsionale dipende dal momento di inerzia polare della sezione . Maggiore è il raggio della sezione, maggiore sarà la resistenza a torsione, e questo te lo dice pure l’intuizione. Quindi il k cambia. Guarda questa dispensa, fermati a considerare la sezione circolare:
https://didattica-2000.archived.uniroma ... e_V1-6.pdf
Poi più lungo è il manubrio, maggiore è il valore del momento torcente M=rF . ma non è il caso di andare troppo in profondità su questi argomenti.
https://didattica-2000.archived.uniroma ... e_V1-6.pdf
Poi più lungo è il manubrio, maggiore è il valore del momento torcente M=rF . ma non è il caso di andare troppo in profondità su questi argomenti.
Sei molto gentile . Grazie di nuovo!
. Grazie di nuovo!
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