Sbarretta mobile su binari, soggetta a campo magnetico ortogonale e ad una f.e.m.
Buongiorno a tutti. Sto preparando l'esame di fisica II e ho un dubbio sull'esercizio seguente.
Una sbarretta, di lunghezza $L = 1m$, massa $m = 0,5Kg$ e resistenza elettrica $R = 10Omega$, è posta su due binari (su cui può scorrere senza attrito) in una regione di spazio dove è presente un campo magnetico $B = 1T$ perpendicolare al piano individuato dai binari. I due binari sono uniti al loro termine in modo da formare in modo da formare un circuito chiuso tramite una batteria di f.e.m. $\epsilon = 12V$. Dopo quanto tempo la velocità della sbarretta sarà di $6 m/s?$ Si trascuri la resistenza elettrica dei binari.
Il mio ragionamento è il seguente.
Dal testo sembra che inizialmente la sbarretta sia ferma.
La batteria fa circolare inizialmente una corrente $i= epsilon/R$ nel circuito, che, interagendo con il campo magnetico B, provoca la nascita di una forza di modulo $F = iLB$, perpendicolare alla sbarretta, che la mette in moto. In quale verso non credo di poterlo determinare, in quanto non viene precisato se il campo magnetico sia entrante oppure uscente.
Questa forza imprime alla sbarretta un'accelerazione costante $a = iLB/m$ e quindi, tramite la legge oraria della velocità, $v = at, rArr t = v/a rArr t = (vm)/(iLB)$. Quindi avrei calcolato il tempo richiesto.
Ma poi ho pensato che, dall'istante in cui si mette in moto, sulla sbarretta nasce una f.e.m. indotta, direttamente proporzionale alla velocità e quindi variabile nel tempo. Inoltre anche la corrente varia, visto che nella maglia la f.e.m. indotta dovrebbe essere di segno opposto a quella della batteria. Quindi dovrebbe variare anche il tempo cercato.
Devo tenerne conto nel calcolo e, se sì, come?
Ringrazio anticipatamente chiunque sia così gentile da rispondermi.
Una sbarretta, di lunghezza $L = 1m$, massa $m = 0,5Kg$ e resistenza elettrica $R = 10Omega$, è posta su due binari (su cui può scorrere senza attrito) in una regione di spazio dove è presente un campo magnetico $B = 1T$ perpendicolare al piano individuato dai binari. I due binari sono uniti al loro termine in modo da formare in modo da formare un circuito chiuso tramite una batteria di f.e.m. $\epsilon = 12V$. Dopo quanto tempo la velocità della sbarretta sarà di $6 m/s?$ Si trascuri la resistenza elettrica dei binari.
Il mio ragionamento è il seguente.
Dal testo sembra che inizialmente la sbarretta sia ferma.
La batteria fa circolare inizialmente una corrente $i= epsilon/R$ nel circuito, che, interagendo con il campo magnetico B, provoca la nascita di una forza di modulo $F = iLB$, perpendicolare alla sbarretta, che la mette in moto. In quale verso non credo di poterlo determinare, in quanto non viene precisato se il campo magnetico sia entrante oppure uscente.
Questa forza imprime alla sbarretta un'accelerazione costante $a = iLB/m$ e quindi, tramite la legge oraria della velocità, $v = at, rArr t = v/a rArr t = (vm)/(iLB)$. Quindi avrei calcolato il tempo richiesto.
Ma poi ho pensato che, dall'istante in cui si mette in moto, sulla sbarretta nasce una f.e.m. indotta, direttamente proporzionale alla velocità e quindi variabile nel tempo. Inoltre anche la corrente varia, visto che nella maglia la f.e.m. indotta dovrebbe essere di segno opposto a quella della batteria. Quindi dovrebbe variare anche il tempo cercato.
Devo tenerne conto nel calcolo e, se sì, come?
Ringrazio anticipatamente chiunque sia così gentile da rispondermi.
Risposte
Supponiamo che il campo magnetico sia entrante nel piano del circuito.
Fissiamo un asse x diretto positivamente a destra con origine nel punto iniziale della sbarretta. Quando la sbarretta si sarà spostata dalla posizione iniziale al punto $x$, l'area del circuito sarà:
$A(x)=A_0-Lx$
Essendo $A_0$ l'area iniziale.
Il flusso del campo magnetico è:
$phi(B)=BA(x)=BA_0-BLx$
si ha:
$(dphi(B))/(dt)=-BLdot(x)$
E nel circuito si produce una fem indotta:
$epsilon_i=BLdot(x)$
Questa fem si oppone alla fem del generatore, e nel circuito si ha una fem complessiva:
$E=epsilon-BLdot(x)$
Quindi una corrente:
$i=E/R=(epsilon-BLdot(x))/R$
Sulla sbarretta agisce quindi la forza
$F=iLB=(epsilon-BLdot(x))LB/R$
Diretta verso l'asse positivo.
Essendo $F=mddot(x)$, per trovare il moto della sbarretta bisogna risolvere l'equazione differenziale:
$mddot(x)=(epsilon-BLdot(x))LB/R$
Fissiamo un asse x diretto positivamente a destra con origine nel punto iniziale della sbarretta. Quando la sbarretta si sarà spostata dalla posizione iniziale al punto $x$, l'area del circuito sarà:
$A(x)=A_0-Lx$
Essendo $A_0$ l'area iniziale.
Il flusso del campo magnetico è:
$phi(B)=BA(x)=BA_0-BLx$
si ha:
$(dphi(B))/(dt)=-BLdot(x)$
E nel circuito si produce una fem indotta:
$epsilon_i=BLdot(x)$
Questa fem si oppone alla fem del generatore, e nel circuito si ha una fem complessiva:
$E=epsilon-BLdot(x)$
Quindi una corrente:
$i=E/R=(epsilon-BLdot(x))/R$
Sulla sbarretta agisce quindi la forza
$F=iLB=(epsilon-BLdot(x))LB/R$
Diretta verso l'asse positivo.
Essendo $F=mddot(x)$, per trovare il moto della sbarretta bisogna risolvere l'equazione differenziale:
$mddot(x)=(epsilon-BLdot(x))LB/R$
Perfetto, adesso mi è molto più chiaro.
Ti ringrazio moltissimo per la spiegazione e per la celerità della risposta.
Ti ringrazio moltissimo per la spiegazione e per la celerità della risposta.
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