Sbarra in un cilindro chiarimenti?
Un sistema rigido è costituito da una sbarra omogenea di sezione trascurabile, massa M=100 g e lunghezza L=1 m, la
cui estremità è saldata al centro di un disco di raggio r = L/3 e di massa trascurabile. Il sistema può ruotare senza
attrito attorno all'asse del disco, disposto orizzontalmente, ed è tenuto in equilibrio da un corpo di massa m=3M/4
agganciato ad un estremo di un filo inestensibile e di massa trascurabile, arrotolato all’altro estremo attorno al disco.
Se al filo si aggancia un ulteriore peso di massa m (quindi in totale la massa appesa è 2m), qual è la velocità
angolare del sistema quando la sbarra arriva ad essere orizzontale (cioè quando θ =π/2) ?
Avevo pensato di usare le equazioni cardinali della dinamica per ricavarmi l'accelerazione della sbarretta
$ { ( 2mg-T=2ma ),( TL/3=Ialpha ):} $ dove I l'ho considerato rispetto al centro del cilindro, applicando quindi Huygens-Steiner $ I=1/12ML^2+M(L/2)^2 $ e poi per ricavare l'accelerazione angolare $ alpha =a/r $ e per la velocità angolare $ omega =sqrt(2alpha(pi /2-theta) $. In cosa sto sbagliando? Grazie in anticipo.
cui estremità è saldata al centro di un disco di raggio r = L/3 e di massa trascurabile. Il sistema può ruotare senza
attrito attorno all'asse del disco, disposto orizzontalmente, ed è tenuto in equilibrio da un corpo di massa m=3M/4
agganciato ad un estremo di un filo inestensibile e di massa trascurabile, arrotolato all’altro estremo attorno al disco.
Se al filo si aggancia un ulteriore peso di massa m (quindi in totale la massa appesa è 2m), qual è la velocità
angolare del sistema quando la sbarra arriva ad essere orizzontale (cioè quando θ =π/2) ?
Avevo pensato di usare le equazioni cardinali della dinamica per ricavarmi l'accelerazione della sbarretta
$ { ( 2mg-T=2ma ),( TL/3=Ialpha ):} $ dove I l'ho considerato rispetto al centro del cilindro, applicando quindi Huygens-Steiner $ I=1/12ML^2+M(L/2)^2 $ e poi per ricavare l'accelerazione angolare $ alpha =a/r $ e per la velocità angolare $ omega =sqrt(2alpha(pi /2-theta) $. In cosa sto sbagliando? Grazie in anticipo.
Risposte
1) Anche il cilindro ruota durante il moto del sistema, quindi al momento di inerzia che hai calcolato devi aggiungere anche quello del cilindro
2)Le forze che hanno un momento rispetto al centro del cilindro sono la tensione T ma anche la forza peso della sbarra.
Aggiungi queste due considerazioni al sistema e risolvilo
2)Le forze che hanno un momento rispetto al centro del cilindro sono la tensione T ma anche la forza peso della sbarra.
Aggiungi queste due considerazioni al sistema e risolvilo
il raggio del cilindro non l'ho considerato perchè dice che la sua massa è trascurabile, altrimenti l'avrei aggiunto agli altri. Comunque grazie della spiegazione. 
Ho aggiunto il momento della sbaretta, ma quando vado a sostituire si annulla con la massa 2m. $ { ( 2mg-T=2ma ),( TL/3-MgL/2=Ialpha ):} $ $ a=(mg-3/4Mg)/(m+M) $ con $ m=3/4M $ In cosa sto sbagliando?
Il momento della forza peso della sbarra è $MgL/2sin(theta)$
L'angolo θ dovrebbe essere quello iniziale di equilibrio oppure 90°?
$theta$ è la variabile che identifica l'angolo tra la sbarra e la verticale in ogni istante, $theta$ varia in ogni istante così come quindi varia il momento della sbarra, pertanto non ti verrà una accelerazione costante ma una accelerazione dipendente da $theta$
Quindi sarebbe così: $ a=(mg-3/4Mg*sen(theta))/(m+M)$ poi dividendo per il raggio ottengo l'accelerazione angolare e dovrei inserirla qui $int_(pi/6)^(pi/2) alpha dθ=omega^2/2 $ dove alfa sostituendo qualche dato numerico sarebbe la funzione $alpha=12,6-12,6sin(θ)$, giusto? (30° è l'angolo di equilibrio che ho calcolato nel punto precedente
Si, mi pare giusto
Eppure il risultato ancora non mi esce... ma la distanza dal centro di rotazione (quella che chiamo r con cui faccio la frazione per trovare α) sarebbe il raggio del cilindro (L/3) o la distanza centro di massa sbarra - centro del cilindro (L/2)?
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