Satellite che cade sulla terra
Salve,
se abbiamo un satellite fermo a R = 42000 km dal centro della terra che inizia a cadere con velocità iniziale nulla sulla terra, quanto tempo impiegherà a cadere? e quale sarà la sua velocità all'impatto? R terra = Rt = 6400 km
Ho provato così:
ad altezza R sarà soggetto ad una accelerazione pari a: $a = GM/R^2$
se R = 42000 km lì l'acc. sarà: a = 0.22756 m/s^2
moltiplicando e dividendo l'espressione di a per $Rt^2$ diventa $a = g ((Rt^2)/R^2)$ ( essendo $g = GM/(Rt^2)$)
quindi in buona sostanza $a = k / R^2$ o se decidiamo di chiamare R, x: $a=k/x^2$ con k = g Rt^2
se a fosse constante si avrebbe x = (1/2) a t^2 ma a non è costante...come si fa a trovare t?
se abbiamo un satellite fermo a R = 42000 km dal centro della terra che inizia a cadere con velocità iniziale nulla sulla terra, quanto tempo impiegherà a cadere? e quale sarà la sua velocità all'impatto? R terra = Rt = 6400 km
Ho provato così:
ad altezza R sarà soggetto ad una accelerazione pari a: $a = GM/R^2$
se R = 42000 km lì l'acc. sarà: a = 0.22756 m/s^2
moltiplicando e dividendo l'espressione di a per $Rt^2$ diventa $a = g ((Rt^2)/R^2)$ ( essendo $g = GM/(Rt^2)$)
quindi in buona sostanza $a = k / R^2$ o se decidiamo di chiamare R, x: $a=k/x^2$ con k = g Rt^2
se a fosse constante si avrebbe x = (1/2) a t^2 ma a non è costante...come si fa a trovare t?
Risposte
Per applicare la formula della legge cinematica del tempo di caduta libera con un valore di g variabile rispetto a R+h
\(\displaystyle t=√2R+h/g \)
Devi calcolare la media della variazione di g durante la caduta del satellite:
(9,81+0.22756 m/s^2)/2=5,018 m/s^2
Se vuoi raffinare la tolleranza d'errore nel calcolo della media progressiva di g, effettua il calcolo di g a quote intermedie tra 42.000.000 m e la superficie terrestre e ripeti x volte calcolo dividendo i valori calcolati per il numero x delle volte che hai calcolato \(\displaystyle a=GM/R^2 \)
Per es: Se calcoli g a 4 valori di quota intermedi, sommi i valori e li dividi per 4.
La media di g la sostituisci al valore di 9,81 m/s^2 e calcoli il tempo di caduta approssimato.
\(\displaystyle t=√2R+h/g \)
Devi calcolare la media della variazione di g durante la caduta del satellite:
(9,81+0.22756 m/s^2)/2=5,018 m/s^2
Se vuoi raffinare la tolleranza d'errore nel calcolo della media progressiva di g, effettua il calcolo di g a quote intermedie tra 42.000.000 m e la superficie terrestre e ripeti x volte calcolo dividendo i valori calcolati per il numero x delle volte che hai calcolato \(\displaystyle a=GM/R^2 \)
Per es: Se calcoli g a 4 valori di quota intermedi, sommi i valori e li dividi per 4.
La media di g la sostituisci al valore di 9,81 m/s^2 e calcoli il tempo di caduta approssimato.
questa somiglia da una soluzione "numerica" chiedo invece se esiste un modo analitico.
ossia da dv = a dt con a che dipende da x: dv/a(x) = dt
grazie
ossia da dv = a dt con a che dipende da x: dv/a(x) = dt
grazie
Esiste un intervento "correttivo" sul valore di g al variare della latitudine (sulla verticale) ed all' altezza h sul livello del mare ed è calcolabile come:
\(\displaystyle Δg = 9,81( 1+A sen^2 L - B sen^2 2L) -3,086* 10^-6 h \)
dove:
\(\displaystyle g \)è l'accelerazione di gravità in \(\displaystyle m/s² \)
\(\displaystyle A = 0,0053024; \)
\(\displaystyle B = 0,0000059; \)
\(\displaystyle L \) è la latitudine
\(\displaystyle h \) è l'altezza sul livello del mare in metri.
L'ultimo termine, \(\displaystyle 3,086 × 10−6 h \) è una correzione dovuta all'altezza del grave oggetto di iniziale caduta libera con Vo=0 m/s.
Escludendo la variazione latitudinale della gravità terrestre,
il valore di \(\displaystyle a=Δg \) diventa:\(\displaystyle Δg = 9,81 -3,086* 10^-6 h \)
si implementa nel valore di \(\displaystyle a(x) \)
\(\displaystyle x: dv/Δg(x) = dt \)
\(\displaystyle Δg = 9,81( 1+A sen^2 L - B sen^2 2L) -3,086* 10^-6 h \)
dove:
\(\displaystyle g \)è l'accelerazione di gravità in \(\displaystyle m/s² \)
\(\displaystyle A = 0,0053024; \)
\(\displaystyle B = 0,0000059; \)
\(\displaystyle L \) è la latitudine
\(\displaystyle h \) è l'altezza sul livello del mare in metri.
L'ultimo termine, \(\displaystyle 3,086 × 10−6 h \) è una correzione dovuta all'altezza del grave oggetto di iniziale caduta libera con Vo=0 m/s.
Escludendo la variazione latitudinale della gravità terrestre,
il valore di \(\displaystyle a=Δg \) diventa:\(\displaystyle Δg = 9,81 -3,086* 10^-6 h \)
si implementa nel valore di \(\displaystyle a(x) \)
\(\displaystyle x: dv/Δg(x) = dt \)
lo Spiegel "Meccanica razionale" da
$t=((R+h)/(2g))^(1/2)((h/R)^(1/2)+((R+h)/(2R))arccos(((R-h)//R+h))$
da dove viene fuori tale formula?
h la quota rispetto alla superficie della terra, ed R è il raggio terrestre.
$t=((R+h)/(2g))^(1/2)((h/R)^(1/2)+((R+h)/(2R))arccos(((R-h)//R+h))$
da dove viene fuori tale formula?
h la quota rispetto alla superficie della terra, ed R è il raggio terrestre.
Ho messo una soluzione nell'altro post.
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