[Risolto] Forza centrale ed Energia meccanica
Salve,
Ho questo problema: Un corpo puntiforme di massa $m$ si muove lungo una traiettoria piana in modo tale che le sue coordinate $x$ e $y$ siano, ad ogni istante, espresse da: $x=X_0\cos(\omega_1 t$ e $y=y_0\sin(\omega_2 t)$. Determinare le componenti $F_x$ e $F_y$ della forza agente sul corpo . Sotto quale condizione questa forza è centrale? Determinare, in funzione di $x$ e $y$, l'espressione dell'energia potenziale e cinetica del corpo e dimostrare che l'energia meccanica totale del corpo è una costante del moto.
Ho proceduto in questo modo: Per determinare le componenti della forza sono partito dall'equazione generale del moto:
$\vec{F}=m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$ e poi ho espresso le componenti:
$F_x=m\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}$ e $F_y=m\frac{d^2 \vec{y}}{dt^2}$. Effettuando le derivate ho ottenuto $F_x$ ed $F_y$. Una forza di dice centrale se $\vec{F}=\vec{F}(r)$? Ovvero che tale forza è diretta verso il centro del campo, basta dire ciò per dimostrarlo o bisogna effettuare altro?
Per quanto riguarda le energie ho che $E(x,y)_k=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)$ mentre $E(x,y)_P=mg(x+y)$ da cui l'energia meccanica sarà $E_M=E(x,y)_k+E(x,y)_P$. Per dimostrare che sia una costante del moto devo dimostrare che:
$\frac{dE_M}{dt}=cost$ ?
Cosa ne pensate? Grazie mille in anticipo.
Ho questo problema: Un corpo puntiforme di massa $m$ si muove lungo una traiettoria piana in modo tale che le sue coordinate $x$ e $y$ siano, ad ogni istante, espresse da: $x=X_0\cos(\omega_1 t$ e $y=y_0\sin(\omega_2 t)$. Determinare le componenti $F_x$ e $F_y$ della forza agente sul corpo . Sotto quale condizione questa forza è centrale? Determinare, in funzione di $x$ e $y$, l'espressione dell'energia potenziale e cinetica del corpo e dimostrare che l'energia meccanica totale del corpo è una costante del moto.
Ho proceduto in questo modo: Per determinare le componenti della forza sono partito dall'equazione generale del moto:
$\vec{F}=m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$ e poi ho espresso le componenti:
$F_x=m\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}$ e $F_y=m\frac{d^2 \vec{y}}{dt^2}$. Effettuando le derivate ho ottenuto $F_x$ ed $F_y$. Una forza di dice centrale se $\vec{F}=\vec{F}(r)$? Ovvero che tale forza è diretta verso il centro del campo, basta dire ciò per dimostrarlo o bisogna effettuare altro?
Per quanto riguarda le energie ho che $E(x,y)_k=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)$ mentre $E(x,y)_P=mg(x+y)$ da cui l'energia meccanica sarà $E_M=E(x,y)_k+E(x,y)_P$. Per dimostrare che sia una costante del moto devo dimostrare che:
$\frac{dE_M}{dt}=cost$ ?
Cosa ne pensate? Grazie mille in anticipo.
Risposte
si ha
$F_x=-momega_1^2x_0cosomega_1t;F_y=-momega_2^2y_osenomega_2t$
cioè $F_x=-momega_1^2x;F_y=-momega_2^2y$
quindi è chiaro che se $omega_1=omega_2=omega$
si ha $vecF=-momega^2vecr$ e quindi hai un campo di forze centrale con centro nell'origine degli assi
lascio a te verificare che l'orbita del punto è ellittica con equazione
$x^2/x_0^2+y^2/y_0^2=1$
che il campo sia conservativo lo si può dire subito osservando che è definito in tutto $R^2$ , che è semplicemente connesso , e inoltre $ (partial F_x)/(partial y)=0=(partial F_y)/(partial x ) $
lascio a te verificare che ,sotto la condizione che l'energia potenziale sia uguale a zero nell'origine,la sua espressione è $U=1/2momega^2(x^2+y^2)=1/2momega^2(x_0^2cos^2omegat+y_0^2sen^2omegat)$
essendo $K=1/2momega^2(x_0^2sen^2omegat+y_0^2cos^2omegat)$, si ha
$E=1/2momega^2(x_0^2+y_0^2)$
$F_x=-momega_1^2x_0cosomega_1t;F_y=-momega_2^2y_osenomega_2t$
cioè $F_x=-momega_1^2x;F_y=-momega_2^2y$
quindi è chiaro che se $omega_1=omega_2=omega$
si ha $vecF=-momega^2vecr$ e quindi hai un campo di forze centrale con centro nell'origine degli assi
lascio a te verificare che l'orbita del punto è ellittica con equazione
$x^2/x_0^2+y^2/y_0^2=1$
che il campo sia conservativo lo si può dire subito osservando che è definito in tutto $R^2$ , che è semplicemente connesso , e inoltre $ (partial F_x)/(partial y)=0=(partial F_y)/(partial x ) $
lascio a te verificare che ,sotto la condizione che l'energia potenziale sia uguale a zero nell'origine,la sua espressione è $U=1/2momega^2(x^2+y^2)=1/2momega^2(x_0^2cos^2omegat+y_0^2sen^2omegat)$
essendo $K=1/2momega^2(x_0^2sen^2omegat+y_0^2cos^2omegat)$, si ha
$E=1/2momega^2(x_0^2+y_0^2)$
Grazie mille, adesso mi è ben chiaro il concetto!
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