Ricavare Principo Bernoulli da scala molecolare
Buona sera a tutti.
Sapreste dirmi se è possibile ricavare matematicamente il principio di Bernoulli a partire da un'analisi microscopica?
In particolare, nell'ipotesi di flusso inviscido incomprimibile stazionario, a quota costante, esso asserisce che:
\(\displaystyle P + 0.5ρV^2 = cost \)
Ebbene, sui libri di testo questa relazione è in genere ricavata attraverso considerazioni legate al lavoro e all'energia cinetica. Il risultato è che, affinché il flusso risulti stazionario nelle condizioni ipotizzate, occorre che all'aumentare della velocità la pressione diminuisca in maniera quadratica. E se volessi una dimostrazione di questo fatto su scala molecolare? Come convincermi del fatto che a livello microscopico un aumento nella velocità media delle particelle riduca la pressione in maniera proprio quadratica?
Grazie infinite!
Sapreste dirmi se è possibile ricavare matematicamente il principio di Bernoulli a partire da un'analisi microscopica?
In particolare, nell'ipotesi di flusso inviscido incomprimibile stazionario, a quota costante, esso asserisce che:
\(\displaystyle P + 0.5ρV^2 = cost \)
Ebbene, sui libri di testo questa relazione è in genere ricavata attraverso considerazioni legate al lavoro e all'energia cinetica. Il risultato è che, affinché il flusso risulti stazionario nelle condizioni ipotizzate, occorre che all'aumentare della velocità la pressione diminuisca in maniera quadratica. E se volessi una dimostrazione di questo fatto su scala molecolare? Come convincermi del fatto che a livello microscopico un aumento nella velocità media delle particelle riduca la pressione in maniera proprio quadratica?
Grazie infinite!
Risposte
Per averne un'idea, ma proprio un'idea, puoi procedere così. Immagina un gas ideale in un cubo di volume $V$ e lato $L$ in cui si trascurano gli urti tra le molecole stesse (sì posso introdurre alla fine con una considerazione di media, ma è ininfluente rispetto a ciò che vuoi dimostrare).
Ragioniamo su una direzione ortogonale alla parete del volume cubico, tanto puoi considerarla come una delle tre componenti quindi non perdi di generalità.
La variazione dell'impulso della particella che urta ortogonalmente ed elasticamente la parete sarà
$\Deltap_x=-mv_x-(mv_x)=-2mv_x$ quindi trasmette alla parete un impulso $+2mv$ (ometto il pedice per quanto detto sulle componenti).
In un intervallo di tempo $\Deltat$ tra due collisioni percorrerà un tratto $2L$ ovviamente, andando avanti e indietro, quindi
$\Deltat=2L/v$ e la forza che viene trasmessa dalla particella alla parete è quindi $F=(\Deltap)/(\Deltat)=mv^2/L$ dividendo per l'area $L^2$ trovi la relazione tra pressione e quadrato della velocità.
Quindi l'azione di pressione delle molecole è proprio legata al loro quadrato della velocità: abbiamo scoperto l'acqua calda, ovvero l'energia cinetica. Detto questo quindi se aumento la velocità del fluido lungo la direzione del tubo in cui sta correndo, dovranno diminuire anche gli urti contro le pareti del tubo che vanno come il quadrato della velocità. Il limite di questo ragionamento è evidente già dal fatto che per rappresentarlo in modo più compiuto serve usare dei valori medi e poi dal fatto che nel passaggio dal volume chiuso al tubo in cui corre l'acqua c'è più di una cosa che andrebbe discussa, ma per farlo servirebbe scrivere in modo preciso, per le varie componenti, le equazioni del moto di ogni singola particella. E' la differenza che c'è tra meccanica lagrangiana ed euleriana. Ad ogni modo il principio di Bernouilli è esattamente il principio di conservazione dell'energia e non so se esiste qualcosa di più profondo e rigoroso di questo principio in fisica. Ecco perché lo si dimostra con considerazioni energetiche e non via equazioni del moto.
Ragioniamo su una direzione ortogonale alla parete del volume cubico, tanto puoi considerarla come una delle tre componenti quindi non perdi di generalità.
La variazione dell'impulso della particella che urta ortogonalmente ed elasticamente la parete sarà
$\Deltap_x=-mv_x-(mv_x)=-2mv_x$ quindi trasmette alla parete un impulso $+2mv$ (ometto il pedice per quanto detto sulle componenti).
In un intervallo di tempo $\Deltat$ tra due collisioni percorrerà un tratto $2L$ ovviamente, andando avanti e indietro, quindi
$\Deltat=2L/v$ e la forza che viene trasmessa dalla particella alla parete è quindi $F=(\Deltap)/(\Deltat)=mv^2/L$ dividendo per l'area $L^2$ trovi la relazione tra pressione e quadrato della velocità.
Quindi l'azione di pressione delle molecole è proprio legata al loro quadrato della velocità: abbiamo scoperto l'acqua calda, ovvero l'energia cinetica. Detto questo quindi se aumento la velocità del fluido lungo la direzione del tubo in cui sta correndo, dovranno diminuire anche gli urti contro le pareti del tubo che vanno come il quadrato della velocità. Il limite di questo ragionamento è evidente già dal fatto che per rappresentarlo in modo più compiuto serve usare dei valori medi e poi dal fatto che nel passaggio dal volume chiuso al tubo in cui corre l'acqua c'è più di una cosa che andrebbe discussa, ma per farlo servirebbe scrivere in modo preciso, per le varie componenti, le equazioni del moto di ogni singola particella. E' la differenza che c'è tra meccanica lagrangiana ed euleriana. Ad ogni modo il principio di Bernouilli è esattamente il principio di conservazione dell'energia e non so se esiste qualcosa di più profondo e rigoroso di questo principio in fisica. Ecco perché lo si dimostra con considerazioni energetiche e non via equazioni del moto.
"Nikikinki":
La variazione dell'impulso della particella che urta ortogonalmente ed elasticamente la parete sarà
$\Deltap_x=-mv_x-(mv_x)=-2mv_x$ quindi trasmette alla parete un impulso $+2mv$ (ometto il pedice per quanto detto sulle componenti).
In un intervallo di tempo $\Deltat$ tra due collisioni percorrerà un tratto $2L$ ovviamente, andando avanti e indietro, quindi
$\Deltat=2L/v$ e la forza che viene trasmessa dalla particella alla parete è quindi $F=(\Deltap)/(\Deltat)=mv^2/L$ dividendo per l'area $L^2$ trovi la relazione tra pressione e quadrato della velocità.
Quindi l'azione di pressione delle molecole è proprio legata al loro quadrato della velocità: abbiamo scoperto l'acqua calda, ovvero l'energia cinetica.
Grazie Nikkiki. A partire da queste relazione è possibile ricavare formalmente l'equazione di Bernoulli, ovvero una relazione diretta tra pressione ed energia cinetica? Con quali passaggi?
Queste sono relazioni base molto embrionali. Per ottenere in modo analitico la conservazione dell'energia dovremmo passare dalla meccanica lagrangiana. Ovvero scrivere una funzione, che si chiama appunto lagrangiana del sistema, e ricavare ciò che comunemente si chiama energia, ovvero una quantità che nel tempo si conserva, in virtù, si dice, dell'omogeneità del tempo stesso. Troveremmo nella lagrangiana una forma quadratica nelle velocità ed un termine potenziale derivante dalla mutua interazione delle molecole. Il punto è che anche procedendo in questo modo staremmo considerando la conservazione dell'energia che, come detto, è un principio che permea tutta la fisica. Quindi tanto vale considerare, come si fa per via euleriana, un volume di controllo ed applicare a quello la conservazione energetica.
Dubito che tu possa ricavare Bernoulli a partire dalla meccanica statistica (oppure, come dici tu, da un livello "molecolare"). Il perché è presto detto: l'equazione di Bernoulli è un caso particolare di una famiglia più grande di equazioni differenziali alle derivate parziali detta "equazioni di Navier-Stocks". E' appunto facilmente ricavabile Bernoulli anche da queste equazioni. Queste equazioni però sono state ricavate sotto l'ipotesi fondamentale di trattare un fluido come un continuum: ergo nel momento che richiedi un approccio "molecolare" queste equazioni non valgono più.
Quello che propone @Nik (scusa da ma cellulare non riesco a ricopiare il nome completo), a mio avviso, è solo una intuizione, ma non può essere usato per ricavare Bernoulli (anche perché un gas è comprimibile e l'equazione da te scritta è per fluidi incomprimibili).
Quello che propone @Nik (scusa da ma cellulare non riesco a ricopiare il nome completo), a mio avviso, è solo una intuizione, ma non può essere usato per ricavare Bernoulli (anche perché un gas è comprimibile e l'equazione da te scritta è per fluidi incomprimibili).
"dRic":
Quello che propone @Nik (scusa da ma cellulare non riesco a ricopiare il nome completo), a mio avviso, è solo una intuizione, ma non può essere usato per ricavare Bernoulli (anche perché un gas è comprimibile e l'equazione da te scritta è per fluidi incomprimibili).
In realtà la dimostrazione formale è semplice, è che non so come giustificargli la lagrangiana visto che probabilmente non conosce quell'interpretazione generale della meccanica e andrebbe detto tutto. La variazione nel tempo della lagrangiana di un sistema, descritto dalle coordinate generalizzate $x,\dot{x}$ è
$d/(dt)L(x,t)=(\partialL)/(\partialx)\dot{x}+(\partialL)/(\partial\dot{x})\ddot{x}+(\partialL)/(\partialt)$ . Non avendo esplicitamente il tempo azzeriamo la derivata parziale rispetto al tempo. Usando ora le equazioni di lagrange possiamo riscrivere
$d/(dt)L=d/(dt)(\partialL)/(\partial\dot{x})\dot{x}$ quindi $d/(dt)((\partialL)/(\partial\dot{x})\dot{x}-L)=0$ quindi
$(\partialL)/(\partial\dot{x})\dot{x}-L="costante"$ questa è la quantità che si conserva nel moto e che è stata chiamata energia. E questo è anche il principio di Bernouilli infatti prendendo la lagrangiana ridotta all'osso $L(x,t)=1/2m\dot{x}^2$ e considerando che l'impulso generalizzato è $p=(\partialL)/(\partial\dot{x})$ otteniamo
$(\Deltax)/(\Deltat)p-1/2m\dot{x}^2="costante"$ dividiamo tutto per il volume elementare $\Deltax^3$ e ricordando che la forza è la variazione nel tempo dell'impulso si ha $p/(\Deltat\Deltax^2)$ come primo addendo, che è la pressione P, e compare la densità nel secondo ovvero
$P-1/2\rhov^2="costante"$ . Che è ciò che cercavamo (il segno diverso indica il soggetto diverso, come nel primo commento che avevo scritto, bisognerebbe considerare $-P$ in luogo di $P$, in quanto è la pressione che subisce la superficie del volume, per riottenere la somma. Se da tutto questo il richiedente ha capito qualcosa, però, non saprei dire . E con tale metodo più di questo non si fa, perché un conto è la conservazione dell'energia ed un conto è seguire il moto punto per punto
@Nikikinki:[ot]mi permetto di suggerirti di virgolettare, entro la formula: $costante$ , in modo che sia una $"costante"$ e non il coseno della tangente del $te$ 
[/ot]
[/ot]
@Palliit
[ot]Grazie per la dritta, edito subito
[/ot]
[ot]Grazie per la dritta, edito subito
[/ot]
Ma quello che hai fatto non è semplicemente scrivere la conservazione dell'energia con la lagrangiana? Non mi sembra che hai scritto la lagrangiana per un sistema di n particelle interagenti e che abbia usato la maccenaica statistica per definire la pressione. Magari sbaglio perché non ho capito bene, ma io pensavo che l'OP chiedesse questo
Secondo me, se è possibile, è un lavorone (ma magari sovrastimo il problema)
L'equazione di Bernoulli è la conservazione dell'energia. Non deriva da essa è proprio lei. Quello che ho fatto è non interessarmi di come interagiscono le particelle ma solo di che forma ha la loro energia che è quella lì. Se vuoi moltiplica per N ed hai l'energia di tutte le particelle del fluido. È da qui che viene fuori la conservazione dell'energia. Poi, il lavorone come dici, sarebbe scrivere le equazioni del moto per le particelle. Infatti non si sa fare, o meglio non si sa risolvere. È qui che vivono le equazioni di NS che citavi, ma a noi non interessa il moto della particella per dimostrare Bernoulli, solo la sua energia.
Intanto vorrei ringraziare tutti i partecipanti a questo mio post.
Premetto che conosco la descrizione lagrangiana del moto, ma non credo possa rappresentare la risposta alla mia domanda.
Vi spiego meglio cosa vado cercando.
La teoria cinetica dei gas è sufficiente a dimostrare che vi sia un legame tra pressione e velocità media delle molecole. Tuttavia in tale teoria il temine di velocità al quadrato compare in quanto frutto di una media delle velocità.
Pari modo, ho trovato sul web una proceduta ( scaricabile qui, pagina 5: https://www.researchgate.net/publicatio ... y/download ) per ricavare l'equazione di Bernoulli con un approccio puramente statistico e sempre legato alla media delle velocità.
Quindi, di base, la risposta l'ho trovata.
Quello che mi ha lasciato perplesso è che nella trattazione classica dell'equazione di Bernoulli il termine contenente la velocità al quadrato ( l'energia cinetica ) non ha nulla a che vedere con delle "medie statistiche". Il teorema dell'energia cinetica, infatti, permette di considerare una massa di fluido come continua e valutare semplicemente la sua variazione di energia cinetica in risposta al lavoro subito. Quindi sembra che due trattazioni completamente diverse giungano allo stesso risultato, senza trovare un punto di contatto. Nel primo caso la strada è di tipo statistico ( il quadrato della velocità si presenta per motivi legati alla funzione Gaussiana), nel secondo invece la velocità al quadrato è una semplice conseguenza di \(\displaystyle F=ma \). Sottolineo che le due procedure conducono alla stessa identica equazione, ovvero entrambe presentano un il termine \(\displaystyle 0.5ρV^2 \), ma tale termine compare a seguito di due trattazioni completamente differenti. Nel caso statistico non c'è nemmeno nessun motivo di parlare di "energia cinetica" in presenza di quel termine.
Speravo allora di trovare uno svolgimento che conducesse alla stessa equazione con un approccio che, per quanto partisse dal microscopico, lavorasse con quantità "tangibili" come ha fatto Nikkiki nella sua trattazione iniziale (quantità di moto, energia cinetica). Tuttavia non ha raggiunto la stessa espressione di Bernoulli, quindi temo che il "salto" tra una trattazione e l'altra continui ad essere marcato.
In attesa di riscontro, vi ringrazio nuovamente.
Premetto che conosco la descrizione lagrangiana del moto, ma non credo possa rappresentare la risposta alla mia domanda.
Vi spiego meglio cosa vado cercando.
La teoria cinetica dei gas è sufficiente a dimostrare che vi sia un legame tra pressione e velocità media delle molecole. Tuttavia in tale teoria il temine di velocità al quadrato compare in quanto frutto di una media delle velocità.
Pari modo, ho trovato sul web una proceduta ( scaricabile qui, pagina 5: https://www.researchgate.net/publicatio ... y/download ) per ricavare l'equazione di Bernoulli con un approccio puramente statistico e sempre legato alla media delle velocità.
Quindi, di base, la risposta l'ho trovata.
Quello che mi ha lasciato perplesso è che nella trattazione classica dell'equazione di Bernoulli il termine contenente la velocità al quadrato ( l'energia cinetica ) non ha nulla a che vedere con delle "medie statistiche". Il teorema dell'energia cinetica, infatti, permette di considerare una massa di fluido come continua e valutare semplicemente la sua variazione di energia cinetica in risposta al lavoro subito. Quindi sembra che due trattazioni completamente diverse giungano allo stesso risultato, senza trovare un punto di contatto. Nel primo caso la strada è di tipo statistico ( il quadrato della velocità si presenta per motivi legati alla funzione Gaussiana), nel secondo invece la velocità al quadrato è una semplice conseguenza di \(\displaystyle F=ma \). Sottolineo che le due procedure conducono alla stessa identica equazione, ovvero entrambe presentano un il termine \(\displaystyle 0.5ρV^2 \), ma tale termine compare a seguito di due trattazioni completamente differenti. Nel caso statistico non c'è nemmeno nessun motivo di parlare di "energia cinetica" in presenza di quel termine.
Speravo allora di trovare uno svolgimento che conducesse alla stessa equazione con un approccio che, per quanto partisse dal microscopico, lavorasse con quantità "tangibili" come ha fatto Nikkiki nella sua trattazione iniziale (quantità di moto, energia cinetica). Tuttavia non ha raggiunto la stessa espressione di Bernoulli, quindi temo che il "salto" tra una trattazione e l'altra continui ad essere marcato.
In attesa di riscontro, vi ringrazio nuovamente.
Se conosci la meccanica lagrangiana allora dovresti esserti reso conto che ciò che avevo fatto nel primo commento era la versione lagrangiana da prima elementare, mentre quella nel secondo era quella completa. Più tangibile di così non so cosa produrti. Secondo me devi chiarirti l'idea più sulla tua domanda che non sulla risposta. Tu stai cercando un modo per dimostrare Bernoulli guardando a cosa fanno le molecole. Questo fa l'approccio lagrangiano. Ma non potrai mai dimostrare Bernoulli senza usare il concetto di energia perché, lo ripeto, Bernoulli è la conservazione dell'energia delle particelle del fluido. Il quadrato della velocità deriva dalla lagrangiana, forma quadratica nelle velocità, nel soggetto dell'energia cinetica.
PS: Puoi essere più chiaro quando dici che l'approccio statistico non ha nulla a che vedere con l'energia cinetica? Perché magari è qui che ti intoppi.
Edit: Tanto più che in quella dispensa che hai citato parla espressamente di energia cinetica media. Più diretto di così il legame, non saprei.
PS: Puoi essere più chiaro quando dici che l'approccio statistico non ha nulla a che vedere con l'energia cinetica? Perché magari è qui che ti intoppi.
Edit: Tanto più che in quella dispensa che hai citato parla espressamente di energia cinetica media. Più diretto di così il legame, non saprei.
"Nikikinki":
PS: Puoi essere più chiaro quando dici che l'approccio statistico non ha nulla a che vedere con l'energia cinetica? Perché magari è qui che ti intoppi.
Edit: Tanto più che in quella dispensa che hai citato parla espressamente di energia cinetica media. Più diretto di così il legame, non saprei.
Nella trattazione statistica l'energia cinetica è chiamata in gioco soltanto perché all'aumentare della velocità del fluido in una certa direzione, quella nelle altre si riduce in favore della prima.
Nella trattazione statistica il termine di velocità al quadrato compare a causa del fatto che si opera una media sulle velocità delle molecole.
Nella trattazione classica il termine di velocità al quadrato compare direttamente sotto forma di energia cinetica e non vi è assolutamente nulla di statistico.
Mi disturba il fatto che le due trattazioni conducano alla medesima conclusione concependo in maniera completamente diversa l'origine del termine velocità al quadrato.
E' come se entrambe concordassero sul fenomeno raccontato dall'equazione di Bernoulli ma lo attribuissero a cause completamente diverse.
Ma no. Sta semplicemente dicendo che, essendo il moto delle particelle in parte caotico, è necessario prendere il valore medio della velocità. Ma il quadrato della velocità deriva espressamente dall'energia cinetica media delle molecole che lì indica come $<1/2mv^2>$
"Nikikinki":
Ma no. Sta semplicemente dicendo che, essendo il moto delle particelle in parte caotico, è necessario prendere il valore medio della velocità. Ma il quadrato della velocità deriva espressamente dall'energia cinetica media delle molecole che lì indica come $<1/2mv^2>$
La trattazione cui mi riferisco si trova a pagina 5...
E secondo te la velocità se la immagina? È sempre quella, parte da lì. Associa la temperatura del fluido al moto cinetico delle particelle. Comunque dato che sto ripetendo le stesse cose da più commenti è evidente che non riesco a trasmetterti il messaggio in modo chiaro. Magari qualcun altro sarà più bravo di me. Ripeto, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua.
Sceglie la velocità al quadrato perché quella è la quantità che serve
Sceglie la velocità al quadrato perché quella è la quantità che serve
Oh pardon ritiro quello che ho detto nel mio primo commento. Prima ero scettico che si potesse ricavare Bernoulli da un approccio statistico perché le equazioni della fluidodinamica partono dal presupposto di un mezzo continuo. Ovviamente è una affermazione poco felice: in realtà è possibile eccome (come hai trovato nella dispensa), io mi stavo confondendo su un altra cosa che non sto a spiegare perché perderei tempo inutilmente. Mi dispiace non dare un apporto alla discussione, ma tenevo a dire che avevo detto una cappellata. Ciao
"Nikikinki":
Ripeto, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua.
Hai sicuramente ragione, tuttavia non credo sia un discorso banale. Facciamo così, lasciamo da parte gli aspetti quantitativi e concentriamoci sul meccanismo generale ( se ti và di aiutarmi a capire meglio).
Volevo proporti il seguente estratto di testo, ricavato dal sito della NASA che si occupa di articoli didattici, in merito alla spiegazione microscopica del principio di Bernoulli. Il testo è in inglese, nel caso avessi problemi posso tradurtelo. Sta di fatto che vorrei approfondire i fenomeni qui espressi:
"We can make another interpretation of the Bernoulli equation by considering the motion of the gas molecules. The molecules within a fluid are in constant random motion and collide with each other and with the walls of an object in the fluid. The motion of the molecules gives the molecules a linear momentum and the fluid pressure is a measure of this momentum. If a gas is at rest, all of the motion of the molecules is random and the pressure that we detect is the total pressure of the gas. If the gas is set in motion or flows, some of the random components of velocity are changed in favor of the directed motion. We call the directed motion "ordered," as opposed to the disordered random motion.
We can associate a "pressure" with the momentum of the ordered motion of the gas. We call this pressure the dynamic pressure. The remaining random motion of the molecules still produces a pressure called the static pressure.
From a conservation of energy and momentum, the static pressure plus the dynamic pressure is equal to the original total pressure in a flow (assuming we do not add or subtract energy in the flow). The form of the dynamic pressure is the density times the square of the velocity divided by two."
Dal testo apprendiamo che la riduzione di pressione con la velocità può essere spiegata pensando che parte dell'energia cinetica "caotica" si traduca in energia cinetica "ordinata". La restante energia cinetica caotica dà luogo alla pressione statica, mentre l'energia cinetica ordinata è la cosiddetta "pressione dinamica".
Se una particella di fluido inizialmente in quiete è posta in moto, allore deve aver agito una forza. Questa forza proviene dalla differenza di pressione ai lati della particella di fluido. Il testo suggerisce che il moto della particella è dovuto alla conversione di una parte dell'energia cinetica caotica in energia cinetica ordinata, per merito dello sbilanciamento di pressione ai lati della particella di fluido. Pertanto la velocità aumenta e la pressione statica diminuisce.
Sto cercando di capire meglio questo aspetto. La forza agente sulla particella di fluido, compiendo lavoro, dovrebbe aggiungere energia cinetica al sistema, non convertire un'energia già presente nella particella in un'altra. Come mai all'agire di una forza sul nostro sistema (la particella di fluido) abbiamo una conversione di energia potenziale (la pressione statica) in energia cinetica ordinata? Non dovremmo mantenere la stessa energia cinetica caotica e, semmai, avere in più quella dovuta al lavoro della forza?
Non serviva arrivare alla NASA, ti avevo già detto io quello che è scritto lì 
E' esattamente la stessa cosa. Se aumento la velocità del fluido lungo una certa direzione, almeno entro il regime laminare, costringerò le particelle ad un moto ordinato diminuendo la pressione sulla superficie.
Pensa ad una forza ortogonale alla velocità. Non compirà lavoro, non aggiungerà energia alla particella, quindi non ne cambierà il modulo della velocità. Ma ne cambierà la direzione, nel nostro caso nel verso di percorrenza della corrente, che è poi quello che appare in questo modello di pressione statica/dinamica.
"Nikikinki":
Detto questo quindi se aumento la velocità del fluido lungo la direzione del tubo in cui sta correndo, dovranno diminuire anche gli urti contro le pareti del tubo che vanno come il quadrato della velocità.
E' esattamente la stessa cosa. Se aumento la velocità del fluido lungo una certa direzione, almeno entro il regime laminare, costringerò le particelle ad un moto ordinato diminuendo la pressione sulla superficie.
"tmox":
La forza agente sulla particella di fluido, compiendo lavoro, dovrebbe aggiungere energia cinetica al sistema, non convertire un'energia già presente nella particella in un'altra. Come mai all'agire di una forza sul nostro sistema (la particella di fluido) abbiamo una conversione di energia potenziale (la pressione statica) in energia cinetica ordinata? Non dovremmo mantenere la stessa energia cinetica caotica e, semmai, avere in più quella dovuta al lavoro della forza?
Pensa ad una forza ortogonale alla velocità. Non compirà lavoro, non aggiungerà energia alla particella, quindi non ne cambierà il modulo della velocità. Ma ne cambierà la direzione, nel nostro caso nel verso di percorrenza della corrente, che è poi quello che appare in questo modello di pressione statica/dinamica.
"Nikikinki":
Pensa ad una forza ortogonale alla velocità. Non compirà lavoro, non aggiungerà energia alla particella, quindi non ne cambierà il modulo della velocità. Ma ne cambierà la direzione, nel nostro caso nel verso di percorrenza della corrente, che è poi quello che appare in questo modello di pressione statica/dinamica.
Pardon ma non ho compreso questo ragionamento.
Io immagino la mia particella di fluido inzialmente in "quiete" (con particella intendo un piccolissimo cubo ideale contenente tante molecole). Questa particella subisce la stessa pressione su tutte le sue 6 facce, e quindi non si muove. Ora introduciamo un gradiente di pressione, ovvero una differenza di pressione tra due facce opposte. La forza risultante avrà quindi verso dalla faccia con pressione maggiore alla faccia con pressione minore. La particella si mette in moto. La forza compie lavoro, perché diretta come la direzione del moto, quindi dovrebbe aggiungere energia cinetica al sistema. Invece rileviamo una conversione di energia cinetica caotica in energia cinetica ordinata. Mi aspetterei invece di vedere mantenuta la stessa energia cinetica caotica e, al più, guadagnare energia cinetica ordinata grazie al lavoro della forza dovuta allo sbilancio delle pressioni.
Nel tuo esempio sulla tubatura percorsa dall'acqua non si evince nessun riferimento alla causa del moto. E' come se immaginassi di convertire magicamente parte dell'energia senza pensare che ogni particelle di fluido che inizia a scorrere è sottoposta ad un gradiente di pressione.
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