Ricavare Principo Bernoulli da scala molecolare
Buona sera a tutti.
Sapreste dirmi se è possibile ricavare matematicamente il principio di Bernoulli a partire da un'analisi microscopica?
In particolare, nell'ipotesi di flusso inviscido incomprimibile stazionario, a quota costante, esso asserisce che:
\(\displaystyle P + 0.5ρV^2 = cost \)
Ebbene, sui libri di testo questa relazione è in genere ricavata attraverso considerazioni legate al lavoro e all'energia cinetica. Il risultato è che, affinché il flusso risulti stazionario nelle condizioni ipotizzate, occorre che all'aumentare della velocità la pressione diminuisca in maniera quadratica. E se volessi una dimostrazione di questo fatto su scala molecolare? Come convincermi del fatto che a livello microscopico un aumento nella velocità media delle particelle riduca la pressione in maniera proprio quadratica?
Grazie infinite!
Sapreste dirmi se è possibile ricavare matematicamente il principio di Bernoulli a partire da un'analisi microscopica?
In particolare, nell'ipotesi di flusso inviscido incomprimibile stazionario, a quota costante, esso asserisce che:
\(\displaystyle P + 0.5ρV^2 = cost \)
Ebbene, sui libri di testo questa relazione è in genere ricavata attraverso considerazioni legate al lavoro e all'energia cinetica. Il risultato è che, affinché il flusso risulti stazionario nelle condizioni ipotizzate, occorre che all'aumentare della velocità la pressione diminuisca in maniera quadratica. E se volessi una dimostrazione di questo fatto su scala molecolare? Come convincermi del fatto che a livello microscopico un aumento nella velocità media delle particelle riduca la pressione in maniera proprio quadratica?
Grazie infinite!
Risposte
Sì ma mettiti d'accordo con te stesso e frena la tua immaginazione. Ora stiamo analizzando questo modello, non lo puoi cambiare in corsa. Le particelle non sono ferme, sono in moto. Tutte. Alcune viaggiano parallelamente all'asse della corrente ed altre in modo più caotico andando a sbattere contro la superficie. Queste sono quelle che determinano la pressione sulla superficie stessa. Una forza ortogonale alla velocità di queste particelle non compirà lavoro sulle stesse ma le indirizzerà nel verso della corrente. Ti crei troppi problemi, devi eliminare le informazioni inutili. Pensa alla forza di Lorentz per una particella carica in campo magnetico. Il discorso è analogo, tanto che esiste una vera e propria analogia idrodinamica tra i circuiti elettrici e quelli idraulici.
Argomento interessante, del quale avevo già sentito parlare, senza peraltro conoscere la bella dispensa che @tmox ha linkato. Mi permetto di buttare la mia monetina, [nota]non mi riferisco al caso del tuo ultimo esempio, ma ad un post precedente, scusa ma avevo salvato il messaggio ore fa , e adesso lo posto[/nota]anche perché la meccanica dei fluidi mi é sempre interessata.
@tmox, stai chiedendo :
ma che vorrebbe dire ? Qui non abbiamo forze esterne al sistema che compiendo lavoro aggiungono energia cinetica, qui ( intendo dire , nel volume di controllo assunto, nel quale il fluido si suppone già in moto, e si vuole fare un bilancio energetico), l'energia è già tutta dentro ( loosely speaking, dicono gli inglesi), ed è giocoforza che l'energia cinetica ordinata venga fuori da quella potenziale, formata da energia gravitazionale ed energia di pressione (Bernouilli vale anche in un riferimento dove c'è "peso apparente nullo" , quindi manca il termine $gz$ del trinomio, quindi c'è solo l'energia di pressione ); da dove, altrimenti? Il bilancio è questo .
Ripeto, il tuo ultimo esempio è diverso, stai effettivamente apportando altra energia da fuori, ma non è così che si dimostra Bernoulli.
@tmox, stai chiedendo :
La forza agente sulla particella di fluido, compiendo lavoro, dovrebbe aggiungere energia cinetica al sistema, non convertire un'energia già presente nella particella in un'altra. Come mai all'agire di una forza sul nostro sistema (la particella di fluido) abbiamo una conversione di energia potenziale (la pressione statica) in energia cinetica ordinata? Non dovremmo mantenere la stessa energia cinetica caotica e, semmai, avere in più quella dovuta al lavoro della forza?
ma che vorrebbe dire ? Qui non abbiamo forze esterne al sistema che compiendo lavoro aggiungono energia cinetica, qui ( intendo dire , nel volume di controllo assunto, nel quale il fluido si suppone già in moto, e si vuole fare un bilancio energetico), l'energia è già tutta dentro ( loosely speaking, dicono gli inglesi), ed è giocoforza che l'energia cinetica ordinata venga fuori da quella potenziale, formata da energia gravitazionale ed energia di pressione (Bernouilli vale anche in un riferimento dove c'è "peso apparente nullo" , quindi manca il termine $gz$ del trinomio, quindi c'è solo l'energia di pressione ); da dove, altrimenti? Il bilancio è questo .
Ripeto, il tuo ultimo esempio è diverso, stai effettivamente apportando altra energia da fuori, ma non è così che si dimostra Bernoulli.
"Shackle":
ma che vorrebbe dire ? Qui non abbiamo forze esterne al sistema che compiendo lavoro aggiungono energia cinetica, qui ( intendo dire , nel volume di controllo assunto, nel quale il fluido si suppone già in moto, e si vuole fare un bilancio energetico), l'energia è già tutta dentro.
Ripeto, il tuo ultimo esempio è diverso, stai effettivamente apportando altra energia da fuori, ma non è così che si dimostra Bernoulli.
E come fa l'energia caotica a divenire ordinata da sola? Se ho capito bene voi state facendo un analogia con un sistema massa-molla appeso al soffitto (continua conversione di energia tra elastica, potenziale e cinetica). In un sistema come questo la forza gravitazionale e quella elastica, che sono conservative, inducono il moto armonico del sistema e l'energia passa da una forma all'altra continuamente. In una particella di fluido, specie se trascurando la gravità, non vedo una simile analogia.
In Bernoulli, nonostante il règime sia stazionario, si considera un flusso che scorre da una zona a pressione maggiore ad una a pressione minore. E' inevitabile che la particella si imbatta in un gradiente di pressione, che deve essere la causa accelerante (chi altri sennò?). Che poi il concetto di particella perda di significato in un modello continuo siamo d'accordo, ma questo è proprio il motivo per cui volevo affrontare la questione da un punto di vista molecolare.
Non mi interessa immaginare una circostanza in cui lo scambio energetico tra caotico e ordinato sia già avvenuto, ma capire COME avvenga, anche tenendo in considerazione che la particella è circondata da un gradiente di pressione che ne causa l'accelerazione, e quindi riceve anche energia oltre a convertire la propria.
Il più grande problema dell'equazione di Bernoulli è che considera la pressione come una quantità priva di giustificazione in termini molecolari. Pone alcuni ipotesi, e nel rispetto delle leggi della fisica conclude che le cose non posso andare altrimenti se non che pressione e velocità si convertono durante il moto. Non c'è nessun COME nell'equazione di Bernoulli.
Questo è il meccanismo che vorrei comprendere, con un'ottica Lagrangiana. Seguire una particella fin da quando è ferma a quando inizia a fluire a causa di un gradiente di pressione.
Mi sembra di averti già dimostrato il teorema di Bernoulli usando la descrizione lagrangiana e non capisco come tu possa contestarlo. Se poi pretendi di risolvere le N equazioni del moto per le particelle del fluido, chiamami quando hai fatto. Per il resto boh, non capisco che problemi ci siano nel gradiente di pressione se non nel fatto che , ovviamente, nel caso ci siano pompe nella conservazione delle energia va aggiunto il carico motore (se attriti il carico di attrito, se dislivelli il carico potenziale etc) Il problema è sempre dove te l'ho mostrato l'altra volta e lo evidenzi tu stesso dicendo "nel caso di Bernoulli..." Non c'è nessun caso Bernoulli: ripeto ancora Bernoulli è un nome che hanno dato alla conservazione dell'energia del fluido (come ho mostrato via lagrangiana). Tu sbagli a porre la domanda, ovvio che nessuna risposta ti soddisfi. Detto questo, mi chiamo fuori. Inutile continuare a ripetermi. Auguri 
E come fa l'energia caotica a divenire ordinata da sola?
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In Bernoulli, nonostante il règime sia stazionario, si considera un flusso che scorre da una zona a pressione maggiore ad una a pressione minore.
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Non mi interessa immaginare una circostanza in cui lo scambio energetico tra caotico e ordinato sia già avvenuto, ma capire COME avvenga, anche tenendo in considerazione che la particella è circondata da un gradiente di pressione che ne causa l'accelerazione, e quindi riceve anche energia oltre a convertire la propria.
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Il più grande problema dell'equazione di Bernoulli è che considera la pressione come una quantità priva di giustificazione in termini molecolari. Pone alcuni ipotesi, e nel rispetto delle leggi della fisica conclude che le cose non posso andare altrimenti se non che pressione e velocità si convertono durante il moto. Non c'è nessun COME nell'equazione di Bernoulli.
Non mi metto certo a spiegare il teorema di Bernoulli, è scritto in tutti i libri di dinamica dei fluidi , e lo conosci bene . Però le frasi del tuo messaggio che ho riportato meritano qualche chiarimento , se riesco a darlo.
Sai che le ipotesi alla base del teorema sono che il fluido (anzi , un solo filetto fluido, neanche tanto "curvo" ; poi il teorema si estende , ma è altra storia...) sia perfetto , pesante , incomprimibile , e in moto permanente . Quindi , l'idea del moto c'è già, l'energia cinetica ordinata c'è già , nel volume di controllo che stai considerando. Il teorema , come tanti altri in fisica, non prende in considerazione le "cause" che hanno generato il moto d'insieme del fluido, nel pezzo di fluido che considera non ci sono pompe che apportano energia, le pompe semmai sono "a monte" . In questo pezzo di fluido, nelle ipotesi fatte , sussiste la costanza della somma di tre tipi di energia : cinetica, di posizione, di pressione . Punto e basta, questo dice Bernoulli.
Chi dice che , scrivendo :
$gz_1 + p_1/\rho + v_1^2/2 = gz_2 + p_2/\rho + v_2^2/2$
debba essere necessariamente : $p_1 > p_2$ ? Applica il teorema al caso dell'efflusso (teorico) di un liquido perfetto dal buco in fondo a un serbatoio, e ottieni la formula di Torricelli assumendo che $p_1=p_2$. Ma si possono fare esempi in cui risulta : $p_1
Scambio energetico tra caotico e ordinato ? Il moto "ordinato" c'è già ( anche se non è un ordine totale...), ed è determinato da quelle fonti di energia esterne al volume di controllo, di cui abbiamo detto che non vogliamo tener conto, perché B. non ne tiene conto. Lascia stare molle e gravità, non è questo il caso.
La pressione non è giustificata in termini molecolari? Secondo la teoria cinetica , la pressione è dovuta a urti , è stato già detto . Se non ti soddisfa, io non ho spiegazioni alternative.
Non c'è nessun COME nel teorema ? Io direi che in tutta la termodinamica non c'è nessun COME. Altrettanto succede in tante parti della fisica.
Ti dirò anzi che, a ben riflettere, collegare la velocità quadratica media delle particelle all'energia cinetica delle stesse non mi sembra, alla fine, proprio una grande idea. SE consideriamo il moto di un fluido newtoniano a proprietà costanti , ci troviamo di fronte a un inconveniente non da poco : un fluido perfetto incomprimibile ( anche un gas poco compresso ) ha equazione di stato : $rho = "cost" $ , che non è compatibile con altra equazione di stato. Quindi, di quale teoria cinetica stiamo parlando ? Ho trovato appunti da cui estraggo queste poche righe :
Per me B. va bene così com’è , con eventuali estensioni se necessarie, e ne faccio l’uso per il quale si rivela più adeguato. Forse non è questa la risposta che ti aspettavi, e allora scusa. Ma non porti più dubbi del dovuto.
Mille grazie a voi tutti per la partecipazione a questo mio post.
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