Ricavare forza di Lorentz da Maxwell
Stavo studiando le equazioni di Maxwell e volevo provare a ricavare l'espressione della forza di Lorentz da queste. Ho provato a cercare su internet, il sito più preciso che ho trovato è Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_Lorentz
Mi è quasi tutto chiaro, tranne un passaggio, quello in cui dice "Usando la regola di Leibniz e sapendo che il campo magnetico è solenoidale si ha:", non riesco proprio a capire come è giunto all'uguaglianza seguente (al di là del fatto che dice di aver applicato la regola di Leibniz per il calcolo delle derivate).
Qualcuno mi può illustrare chiaramente il passaggio sopra indicato? Grazie!
Mi è quasi tutto chiaro, tranne un passaggio, quello in cui dice "Usando la regola di Leibniz e sapendo che il campo magnetico è solenoidale si ha:", non riesco proprio a capire come è giunto all'uguaglianza seguente (al di là del fatto che dice di aver applicato la regola di Leibniz per il calcolo delle derivate).
Qualcuno mi può illustrare chiaramente il passaggio sopra indicato? Grazie!
Risposte
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Intendi dire la derivata temporale di un integrale il cui contorno varia col tempo?
Intendo il passaggio immediatamente successivo a quella frase che ho quotato
Appunto quello che dico io, ha derivato rispetto al tempo un integrale su un contorno variabile, c'è una regola in cui compare anche la divergenza oltre a quei termini se non sbaglio, ed essendo solenoidale risulta nulla. Il prodotto vettore compare nel caso di traslazione costante del contorno. Non mi ricordo esattamente.
Buh, se puo' essere di aiuto c'è una formula che di solito emerge in meccanica dei fluidi (ma che è molto utile anche altrove): se $\vec x=\vec \Phi(\vec y, t)$ è un cambio di coordinate che varia con il parametro $t$ (di solito il tempo, ma non necessariamente), e detti $\vec u=\partial_t \vec\Phi(y, t)$ il corrispondente campo delle velocità e $J= \det \nabla_{y}.\vec \Phi $ lo Jacobiano della trasformazione ("gradiente di deformazione" in meccanica dei fluidi), si ha che
\[
\frac d{dt}J= (\nabla\cdot \vec u )J. \]
La versione integrale di questa proposizione si chiama spesso "teorema del trasporto di Reynolds" e dice che
\[
\frac d {dt}\int_{\Phi(\Omega, t)} F(\vec x)\, dV =\int_{\partial \Phi(\Omega, t)} \vec u \cdot \vec nF\, dS\]
dove $dV$ è l'elemento di volume, $dS$ l'elemento di superficie e $\partial\Phi(\Omega, t)$ indica il bordo della regione $\Phi(\Omega, t)$.
\[
\frac d{dt}J= (\nabla\cdot \vec u )J. \]
La versione integrale di questa proposizione si chiama spesso "teorema del trasporto di Reynolds" e dice che
\[
\frac d {dt}\int_{\Phi(\Omega, t)} F(\vec x)\, dV =\int_{\partial \Phi(\Omega, t)} \vec u \cdot \vec nF\, dS\]
dove $dV$ è l'elemento di volume, $dS$ l'elemento di superficie e $\partial\Phi(\Omega, t)$ indica il bordo della regione $\Phi(\Omega, t)$.
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