Rendimento di un ciclo termico reversibile
Ho un problema con un esercizio di termodinamica. Il testo dice:
" Si consideri un fluido termodinamico che compie un ciclo motore reversibile scambiando calore con più di due sorgenti termiche, e si indichino con $ T1 $ e $ T2 $ le temperature minima e massima, rispettivamente, raggiunte dal fluido lungo la trasformazione. Dimostrare che il rendimento termodinamico $ eta $ del ciclo è minore di $ etac = 1 - (T1)/(T2) $ del ciclo di Carnot reversibile a gas perfetto che opera fra le due temperature estreme $ T1 $ e $ T2 $. "
La soluzione proposta procede in questo modo:
Sappiamo che il rendimento $ eta = 1 - (Qced)/(Qass) $ , allora:
$ Qced = oint_(deltaQ < 0 ) |delta Q| $ (cioè è la somma di tutti i calori CEDUTI durante il ciclo)
$ Qass = oint_(deltaQ > 0 ) |delta Q| $ (cioè è la somma di tutti i calori ASSORBITI durante il ciclo)
A questo punto utilizza la disuguaglianza di Clausius per cicli reversibili : ( $ oint_(gamma ) (deltaQ)/T = 0 $ )
0. $ oint_(deltaQ>0) (deltaQ)/T = oint_(deltaQ<0) |deltaQ|/T $
Fin qui mi è tutto chiaro, il problema sorge con queste due disuguaglianze:
1. $ oint_(deltaQ<0) |deltaQ|/T < oint_(deltaQ<0) (|deltaQ|)/(T1) = (Qced)/(T1) $
2. $ oint_(deltaQ>0) (deltaQ)/T > oint_(deltaQ>0) (|deltaQ|)/(T2) = (Qass)/(T2) $
La seconda disuguaglianza la interpreto così: il calore assorbito da tutte le sorgenti Ti (T2 compresa) > del calore assorbito dalla sola sorgente T2. Questo mi sembra il ragionamento giusto (?).
La prima, seguendo il mio ragionamento, la interpreto così: il calore ceduto da tutte le sorgenti Ti < del calore ceduto dalla sola sorgente T1. Ma questo non può essere vero: come fa una sola sorgente T1 a cedere più calore di tutte le sorgenti (T1 COMPRESA) ??
La soluzione proposta continua così:
"Tenendo conto dell'uguaglianza (0), le disequazioni (1) e (2) comportano perciò che si abbia:
$ (Qass)/(T2) < (Qced)/(T1) rArr (Qced)/(Qass) > (T1)/(T2) $
Vi ringrazio in anticipo.
" Si consideri un fluido termodinamico che compie un ciclo motore reversibile scambiando calore con più di due sorgenti termiche, e si indichino con $ T1 $ e $ T2 $ le temperature minima e massima, rispettivamente, raggiunte dal fluido lungo la trasformazione. Dimostrare che il rendimento termodinamico $ eta $ del ciclo è minore di $ etac = 1 - (T1)/(T2) $ del ciclo di Carnot reversibile a gas perfetto che opera fra le due temperature estreme $ T1 $ e $ T2 $. "
La soluzione proposta procede in questo modo:
Sappiamo che il rendimento $ eta = 1 - (Qced)/(Qass) $ , allora:
$ Qced = oint_(deltaQ < 0 ) |delta Q| $ (cioè è la somma di tutti i calori CEDUTI durante il ciclo)
$ Qass = oint_(deltaQ > 0 ) |delta Q| $ (cioè è la somma di tutti i calori ASSORBITI durante il ciclo)
A questo punto utilizza la disuguaglianza di Clausius per cicli reversibili : ( $ oint_(gamma ) (deltaQ)/T = 0 $ )
0. $ oint_(deltaQ>0) (deltaQ)/T = oint_(deltaQ<0) |deltaQ|/T $
Fin qui mi è tutto chiaro, il problema sorge con queste due disuguaglianze:
1. $ oint_(deltaQ<0) |deltaQ|/T < oint_(deltaQ<0) (|deltaQ|)/(T1) = (Qced)/(T1) $
2. $ oint_(deltaQ>0) (deltaQ)/T > oint_(deltaQ>0) (|deltaQ|)/(T2) = (Qass)/(T2) $
La seconda disuguaglianza la interpreto così: il calore assorbito da tutte le sorgenti Ti (T2 compresa) > del calore assorbito dalla sola sorgente T2. Questo mi sembra il ragionamento giusto (?).
La prima, seguendo il mio ragionamento, la interpreto così: il calore ceduto da tutte le sorgenti Ti < del calore ceduto dalla sola sorgente T1. Ma questo non può essere vero: come fa una sola sorgente T1 a cedere più calore di tutte le sorgenti (T1 COMPRESA) ??
La soluzione proposta continua così:
"Tenendo conto dell'uguaglianza (0), le disequazioni (1) e (2) comportano perciò che si abbia:
$ (Qass)/(T2) < (Qced)/(T1) rArr (Qced)/(Qass) > (T1)/(T2) $
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao faccio tre considerazioni e poi finalizzo. La terza considerazione è la più delicata.
PRIMA) nella definizione di tutte le energie cedute e assorbite in modalità calore hai invertito i segni dei "dQ" sui quale integri: infatti l'energia ceduta dal sistema è negativa e quella assorbita dal sistema è positiva. Il punto di vista è del sistema. In tal modo i passaggi successivi sono corretti, l'unico errore è nella definizione iniziale.
SECONDA) il segno della seconda disuguaglianza è invertito. Infatti il tuo ragionamento è corretto però devi aver scritto per sbaglio in simboli "minore" invece di "maggiore". Così i passaggi successivi sono corretti.
TERZA) argomentiamo la validità della prima disuguaglianza centrando l'attenzione sui flussi di entropia, e non sulla sola energia scambiata: se cedo energia in modalità calore a tante sorgenti con temperature gradualmente decrescenti a T2 allora la somma dei flussi di entropia è minore del singolo "flussone" che si avrebbe con l'ambiente solo a T2. Esempio con temperatura "serbatoio 1" di "1 K" e "3 J" di energia ceduta; nel caso con tre serbatoi (con salto termico di "1K" ognuno): 1/1 + 1/(1+1) + 1/(1+2) = 11/6 J/K (notare che è tutto positivo perché uso i moduli); nel caso con singolo serbatoio: 3/1 J/K che è maggiore di undici sesti. (Aggiunta sfiziosa: si potrebbe ragionare sulla produzione di entropia che è maggiore nel caso di gradienti termici maggiori e quindi quando si hanno poche temperature intermedie, però non vorrei toccare un tema delicato come l'irreversibilità "nascosta" nei cicli delle macchine termiche, le quali vengono usualmente definite senza temperatura o con più temperature interne, ognuna magicamente uguale a quella parte di ambiente con cui scambia energia durante ogni ciclo; vedere "macchine endoreversibili" per iniziare a approfondire questo tema spinoso)
FINALIZZO) Cambiando di segno all'ultima disuguaglianza scritta, cambia il verso e poi se sommo 1 a sx e a dx non cambia nulla, ed escono i due rendimenti come richiesto.
Può andare così?
PRIMA) nella definizione di tutte le energie cedute e assorbite in modalità calore hai invertito i segni dei "dQ" sui quale integri: infatti l'energia ceduta dal sistema è negativa e quella assorbita dal sistema è positiva. Il punto di vista è del sistema. In tal modo i passaggi successivi sono corretti, l'unico errore è nella definizione iniziale.
SECONDA) il segno della seconda disuguaglianza è invertito. Infatti il tuo ragionamento è corretto però devi aver scritto per sbaglio in simboli "minore" invece di "maggiore". Così i passaggi successivi sono corretti.
TERZA) argomentiamo la validità della prima disuguaglianza centrando l'attenzione sui flussi di entropia, e non sulla sola energia scambiata: se cedo energia in modalità calore a tante sorgenti con temperature gradualmente decrescenti a T2 allora la somma dei flussi di entropia è minore del singolo "flussone" che si avrebbe con l'ambiente solo a T2. Esempio con temperatura "serbatoio 1" di "1 K" e "3 J" di energia ceduta; nel caso con tre serbatoi (con salto termico di "1K" ognuno): 1/1 + 1/(1+1) + 1/(1+2) = 11/6 J/K (notare che è tutto positivo perché uso i moduli); nel caso con singolo serbatoio: 3/1 J/K che è maggiore di undici sesti. (Aggiunta sfiziosa: si potrebbe ragionare sulla produzione di entropia che è maggiore nel caso di gradienti termici maggiori e quindi quando si hanno poche temperature intermedie, però non vorrei toccare un tema delicato come l'irreversibilità "nascosta" nei cicli delle macchine termiche, le quali vengono usualmente definite senza temperatura o con più temperature interne, ognuna magicamente uguale a quella parte di ambiente con cui scambia energia durante ogni ciclo; vedere "macchine endoreversibili" per iniziare a approfondire questo tema spinoso)
FINALIZZO) Cambiando di segno all'ultima disuguaglianza scritta, cambia il verso e poi se sommo 1 a sx e a dx non cambia nulla, ed escono i due rendimenti come richiesto.
Può andare così?
Ti rispondo in sequenza:
1) Si hai ragione ho invertito i segni dei dQ per un errore
2) Anche qui ho sbagliato per una svista (invece di mettere maggiore ho messo minore)
(Adesso dovrei aver corretto)
3) Praticamente a parità di energia totale ceduta, maggiori sono le sorgenti con cui lavora un sistema, minore è il flusso di entropia (nel limite di sorgenti infinite, tenderebbe anche a 0). Ma nei due casi l'energia ceduta durante il ciclo sarebbe la stessa? Cioè ci sarebbe comunque la stessa quantità di energia ceduta lavorando con 1 sorgente o lavorando con 10 sorgenti?
Non so se sono stato chiaro. Forse con un esempio mi spiego meglio:
Caso 1:
T1 = 1°K, T2 = 10°K, T3 = 5°K
$S1 = sum_(i) (|Qi|)/(Ti) =|Q1|/(T1)+|Q2|/(T2)+|Q3|/(T3) = |Q1|/(1)+|Q2|/(10)+|Q3|/(5) $
$ Qced1 = |Q1| + |Q2| + |Q3| $
Caso 2:
T1 = 1°K
$S2 = |Q|/(T1) = |Q|/(1) $
$ Qced2 = |Q| $
Allora affinchè S2 > S1 => $ |Q|/(1) >|Q1|/(1)+|Q2|/(10)+|Q3|/(5) => 10|Q| > 10|Q1| + |Q2| + 2|Q3| $
Ma come facciamo a dimostrare questa disuguaglianza ??
----------------------------------------------------------
Adesso mi è sorto un altro dubbio: T1, essendo la sorgente a temperatura minima, non dovrebbe cedere calore (stiamo parlando di un ciclo motore), o sbaglio?
Grazie per la pazienza.
1) Si hai ragione ho invertito i segni dei dQ per un errore
2) Anche qui ho sbagliato per una svista (invece di mettere maggiore ho messo minore)
(Adesso dovrei aver corretto)
3) Praticamente a parità di energia totale ceduta, maggiori sono le sorgenti con cui lavora un sistema, minore è il flusso di entropia (nel limite di sorgenti infinite, tenderebbe anche a 0). Ma nei due casi l'energia ceduta durante il ciclo sarebbe la stessa? Cioè ci sarebbe comunque la stessa quantità di energia ceduta lavorando con 1 sorgente o lavorando con 10 sorgenti?
Non so se sono stato chiaro. Forse con un esempio mi spiego meglio:
Caso 1:
T1 = 1°K, T2 = 10°K, T3 = 5°K
$S1 = sum_(i) (|Qi|)/(Ti) =|Q1|/(T1)+|Q2|/(T2)+|Q3|/(T3) = |Q1|/(1)+|Q2|/(10)+|Q3|/(5) $
$ Qced1 = |Q1| + |Q2| + |Q3| $
Caso 2:
T1 = 1°K
$S2 = |Q|/(T1) = |Q|/(1) $
$ Qced2 = |Q| $
Allora affinchè S2 > S1 => $ |Q|/(1) >|Q1|/(1)+|Q2|/(10)+|Q3|/(5) => 10|Q| > 10|Q1| + |Q2| + 2|Q3| $
Ma come facciamo a dimostrare questa disuguaglianza ??
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Adesso mi è sorto un altro dubbio: T1, essendo la sorgente a temperatura minima, non dovrebbe cedere calore (stiamo parlando di un ciclo motore), o sbaglio?
Grazie per la pazienza.
Ciao,
prima risposta: se non poni una condizione di uguaglianza tra le energie scambiate nel caso con più sorgenti e nel caso di Carnot allora non puoi fare confronti.
Se uguagli le energie cedute hai Q=Q1+Q2+Q3 allora vale (parto da 10Q, sostituisco, uso la distributiva della moltiplicazione e poi confronto i coefficienti): 10|Q| = 10|Q1| + 10|Q2| + 10|Q3| > 10|Q1| + |Q2| + 2|Q3|.
Se invece uguali le energie assorbite nei due casi, dovrebbe comunque uscire. Ma non ho guardato.
E' una cosa delicata fare confronti tra macchine termiche, ma qualcosa in comune devono pur averlo.
seconda risposta: stiamo parlando di energia ceduta in modalità calore ALLA sorgente, e non dalla sorgente. Il centro dell'attenzione è il sistema.
prima risposta: se non poni una condizione di uguaglianza tra le energie scambiate nel caso con più sorgenti e nel caso di Carnot allora non puoi fare confronti.
Se uguagli le energie cedute hai Q=Q1+Q2+Q3 allora vale (parto da 10Q, sostituisco, uso la distributiva della moltiplicazione e poi confronto i coefficienti): 10|Q| = 10|Q1| + 10|Q2| + 10|Q3| > 10|Q1| + |Q2| + 2|Q3|.
Se invece uguali le energie assorbite nei due casi, dovrebbe comunque uscire. Ma non ho guardato.
E' una cosa delicata fare confronti tra macchine termiche, ma qualcosa in comune devono pur averlo.
seconda risposta: stiamo parlando di energia ceduta in modalità calore ALLA sorgente, e non dalla sorgente. Il centro dell'attenzione è il sistema.
Ok, grazie per le risposte e la pazienza 
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