Relazione tra gli spostamenti

[donald_zeka]

In questa immagine si una un disco di massa $M$ e raggio $R$ su un piano inclinato di $pi/6$ a cui è arrotolato un filo ideale al cui estremo vi è $m=2M$, vi è rotolamento puro. Scrivere la legge oraria del centro del disco. L'esercizio non mi pare difficile, ma c'è un punto che mi mette dei dubbi. Indicando con $x$ lo spostamento verso l'alto sul piano inclinato del centro del disco e con $y$ lo spostamento verso il basso che consegue su $m$, ho dei dubbi nel legare tra loro $y$ e $x$.

L'equazione del moto di $m$ dovrebbe essere:

$2Mg-T=2Mddot(y)$

L'equazione del centro del disco, scegliendo come polo di riduzione il punto di contatto tra disco e piano dovrebbe essere:

$T-Mg=3Mddot(x)$

A questo punto mi manca trovare una relazione tra $y$ e $x$. La mia idea era che, se il centro del disco si posta di $x$ in alto sul piano inclinato, allora il centro del disco sale in quota di $h=x/2$, così come il filo, che però essendoci rotolamento puro scende in quota anche di $Rtheta=x$, quindi in totale scende di $x-x/2=x/2$ da cui $y=x/2$. Ma non ne sono tanto convinto

[Studente Anonimo]

Supposto che le due formule siano corrette e che $T$ sia lo stesso (nelle due formule), eliminandolo si ricava:

$3 \ddot x +2 \ddot y = g$

da cui, integrando, si ricava (se non ho fatto errori):

$3x+2y = \frac{1}{2} g t^2+c_1t+c_2$.

Questa sarebbe la relazione cercata.

[donald_zeka]

Grazie della risposta ma no, non intendevo qualcosa di questo genere, il fatto è che il filo è arrotolato attorno al disco. Supponendo che il disco non trasli ma solo ruoti, allora dato che non c'è strisciamento tra disco e filo avrei che quando il disco ruota a destra di $theta$, il filo scende in basso di $y=Rtheta$. Il problema viene quando il disco oltre a ruotare trasla anche con moto di rotolamento puro. Infatto dovrei avere che in questo caso il filo scende di $Rtheta=x$ ma sale anche di $x/2$ dato che il centro del disco sale di $x/2$. Il fatto è appunto che quelle equazioni che ho scritto non sono indipendenti ma sono collegate da una relazione tra y e x, che va trovata a priori dalle condizioni di rotolamento. Ma non sono sicuro che sia $y=x/2=(Rtheta)/2$ perché intuitivamente mi verrebbe da dire che valga la relazione $y=Rtheta$

[Studente Anonimo]

Ok, uno può fare tutte le considerazioni che vuole, ma, se le premesse che ho scritto sopra sono valide, la relazione fra $x$ e $y$ è quella. Se ogni altra relazione, dedotta in qualunque modo, è in conflitto con quella, allora è sbagliata (se la suddetta è giusta). E' una pura questione di logica.

[donald_zeka]

Si certo ma appunto quella relazione che hai dato è sempre vera e direi anche ovvia, il problema è trasformare $3x+2y=f(t)$ in $x=f_1(t)$, e questo si può fare solo trovando una relazione tra x e y, insomma bisogna avere un sistema di due equazioni in due incognite, e la tua è solo una delle due equazioni, il problema consiste nel trovare l'altra equazione.

[Studente Anonimo]

Ho capito cosa cerchi. Allora, se $x$ è la posizione della proiezione ortogonale del centro del disco sul piano inclinato e $y$ è la posizione del peso in verticale, direi che $dx = dy$. Giusto?

[donald_zeka]

Più che una relazione tra differenziali io cerco una relazione tra spostamenti "finiti", diciamo. Da dx=dy dovrei avere $x=y$ giusto? ossia se il centro di massa del disco si sposta in alto sul piano inclinato di $x$, tu dici che il pesetto appeso al filo scende di $y=x$?

[Studente Anonimo]

Sì, però non ho guardato bene l'orientamento dei tuoi riferimenti. Quindi occhio ai segni ed a eventuali costanti additive. infatti, se $dy=dx$, allora $y=x+k$.

[Falco5x]

Direi che come in tutti i moti relativi la composizione degli spostamenti si ottiene come la composizione delle velocità ovvero sommando lo spostamento relativo a quello di trascinamento. A noi interessa lo spostamento in senso verticale nel punto dove la corda si stacca dal bordo del disco.
Detto $\alpha$ l'angolo del piano inclinato, si ha:
$$\eqalign{
& dy = d{y_r} + d{y_t} \cr
& d{y_r} = Rd\theta {\text{ (spostamento relativo dovuto alla sola rotazione del disco)}} \cr
& d{y_t} = - \sin \alpha dx{\text{ (spostamento di trascinamento dovuto alla sola traslazione del disco in senso x )}} \cr
& dx = Rd\theta {\text{ (condizione di puro rotolamento)}} \cr
& dy = dx - \sin \alpha dx = \left( {1 - \sin \alpha } \right)dx \cr
& \alpha = \frac{\pi }
{6} \cr
& dy = \frac{1}
{2}dx \cr} $$

[Studente Anonimo]

Scusa, Falco5x, ma se $\alpha=\pi/2$ si ha $dy=0$ ? Il pesetto non si muove si la ruota va su lungo un piano verticale? Sicuramente non ho capito cosa sono $x$ e $y$.

[Studente Anonimo]

"Vulplasir":Indicando con $x$ lo spostamento verso l'alto sul piano inclinato del centro del disco e con $y$ lo spostamento verso il basso che consegue su $m$...

Mi sembra di capire che $x$ è una coordinata lungo il piano inclinato, o no?

[donald_zeka]

In effetti se $alpha=pi/2$ il pesetto resta fermo. Infatti viene trascinato in alto di $dx$ dalla traslazione del disco ma al contempo scende in basso di $dx$ a causa del moto relaativo del filo con il disco, se ho capito bene. Sempre in condizioni di rotolamento puro.

[Studente Anonimo]

Mi arrendo, di meccanica dei corpi rigidi non ci ho mai capito nulla...

ps. ho capito il mio errore. Non consideravo che al contempo la ruota saliva. Chiedo venia