Relazione spostamento rotatorio spostamento traslatorio
ciao a tutti,
ho un paio di dubbi... ① cosa si intende affermando che lo spostamento traslatorio è uno spostamento rotatorio con asse di rotazione "improprio"? ② assumendo per ipotesi, in un teorema, che lo spostamento non sia traslatorio: nello stesso teorema si fa compiere a due punti allineati il medesimo spostamento, dato che, con questo, si sovrappongono. Con ciò, tuttavia, non si andrebbe a ricadere nel caso di spostamento traslatorio? Questo accade nella dimostrazione del teorema di Eulero: ogni spostamento rigido piano , non traslatorio, è rotatorio. vi ringrazio
ho un paio di dubbi... ① cosa si intende affermando che lo spostamento traslatorio è uno spostamento rotatorio con asse di rotazione "improprio"? ② assumendo per ipotesi, in un teorema, che lo spostamento non sia traslatorio: nello stesso teorema si fa compiere a due punti allineati il medesimo spostamento, dato che, con questo, si sovrappongono. Con ciò, tuttavia, non si andrebbe a ricadere nel caso di spostamento traslatorio? Questo accade nella dimostrazione del teorema di Eulero: ogni spostamento rigido piano , non traslatorio, è rotatorio. vi ringrazio
Risposte
Pubblica esattamente il testo del teorema, così abbiamo qualcosa di più preciso da esaminare.
" I Teorema di Euler: Ogni spostamento rigido piano non traslatorio è rotatorio.
Qualunque spostamento rigido piano può quindi realizzarsi o con una sola
traslazione (se le direzioni rimangono invariate) o con una sola rotazione.
Si considerino infatti due punti del piano direttore tali che la posizione iniziale di uno
di questi coincida con la posizione finale dell’altro e la sua posizione finale non sia
allineata con lo spostamento subito dall’altro punto, cosicché l’insieme delle posizioni
iniziali e finali individui i tre vertici di un triangolo inscrivibile in una circonferenza il cui
centro è vertice di altri due triangoli aventi per lati la congiungente la posizione
iniziale e finale di ciascuno dei due punti ed i due raggi corrispondenti. Per il vincolo di
rigidità, i lati di tali triangoli devono rimanere uguali a se stessi e quindi il loro vertice
comune rimane fisso durante lo spostamento. Essendo lo spostamento piano, rimane
fisso tutto l’asse passante per tale punto e perpendicolare al piano direttore, e quindi
esiste un asse di rotazione. Se la posizione finale di uno dei due punti fosse allineata
con lo spostamento dell’altro, allora questa dovrebbe coincidere con la posizione
iniziale dell’altro punto (per essere lo spostamento rigido e non traslatorio) ed in tal
caso il punto fisso è il punto medio della congiungente le posizioni iniziali (distinte) dei
due punti che ruotano intorno ad esso di 180°. "
Qualunque spostamento rigido piano può quindi realizzarsi o con una sola
traslazione (se le direzioni rimangono invariate) o con una sola rotazione.
Si considerino infatti due punti del piano direttore tali che la posizione iniziale di uno
di questi coincida con la posizione finale dell’altro e la sua posizione finale non sia
allineata con lo spostamento subito dall’altro punto, cosicché l’insieme delle posizioni
iniziali e finali individui i tre vertici di un triangolo inscrivibile in una circonferenza il cui
centro è vertice di altri due triangoli aventi per lati la congiungente la posizione
iniziale e finale di ciascuno dei due punti ed i due raggi corrispondenti. Per il vincolo di
rigidità, i lati di tali triangoli devono rimanere uguali a se stessi e quindi il loro vertice
comune rimane fisso durante lo spostamento. Essendo lo spostamento piano, rimane
fisso tutto l’asse passante per tale punto e perpendicolare al piano direttore, e quindi
esiste un asse di rotazione. Se la posizione finale di uno dei due punti fosse allineata
con lo spostamento dell’altro, allora questa dovrebbe coincidere con la posizione
iniziale dell’altro punto (per essere lo spostamento rigido e non traslatorio) ed in tal
caso il punto fisso è il punto medio della congiungente le posizioni iniziali (distinte) dei
due punti che ruotano intorno ad esso di 180°. "
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