Relatività, moto bidimensionale
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per impostare questo esercizio?
I Razzi A e B vengono lanciati dalla stazione spaziale lungo due traiettorie perpendicolari tra loro, $A$ con $v_A=0.6c$ e $B$ con $v_B=0.8c$, le velocità sono relative alla stazione spaziale. Qual'è la velocità di $B$ osservata dal razzo $A$?
Grazie in anticipo
I Razzi A e B vengono lanciati dalla stazione spaziale lungo due traiettorie perpendicolari tra loro, $A$ con $v_A=0.6c$ e $B$ con $v_B=0.8c$, le velocità sono relative alla stazione spaziale. Qual'è la velocità di $B$ osservata dal razzo $A$?
Grazie in anticipo
Risposte
Io lo risolverei in questo modo:
Consideriamo il razzo B diretto lungo l'asse $y$ e il razzo A diretto lungo $x$. Consideriamo inoltre due sistemi di riferimento: il primo $K$ solidale con la base spaziale, il secondo $K'$ solidale con il razzo A. Chiamiamo $v=0,6c$ la velocità relativa dei due sistemi di riferimento. Per un boost lungo l'asse $x$ si hanno le seguenti trasformazioni:
$x'=(x-vt)*gamma$
$y'=y$
$z'=z$
$t'=(t-vx/c^2)*gamma$
Avremmo inoltre che nel sistema $K$ la velocità del razzo B è $vec(u)=(dvec(x))/dt$ mentre in $K'$ sarà $vec(u')=(dvec(x'))/(dt')$
Differenziando le trasformazioni precedenti abbiamo:
$dx'=(u_x-v)gammadt$
$dy'=u_ydt$
$dz'=u_zdt$
$dt'=(1-vu_x/c^2)gammadt$
Dividendo le prime tre per la quarta
$u_x'=(u_x-v)/(1-vu_x/c^2)$
$u_y'=u_y/(gamma(1-vu_x/c^2))$
$u_z'=u_z/(gamma(1-vu_x/c^2))$
Sappiamo che la velocità del razzo B nel sistema $K$ è $(u_x,u_y,u_z)=(0,0.8c,0)$ e $v=0,6c$. Sostituiamo i valori e troviamo le velocità dal sistema di riferimento del razzo $A$
Aspetterei conferme o smentite da chi è più esperto di me comunque.
Consideriamo il razzo B diretto lungo l'asse $y$ e il razzo A diretto lungo $x$. Consideriamo inoltre due sistemi di riferimento: il primo $K$ solidale con la base spaziale, il secondo $K'$ solidale con il razzo A. Chiamiamo $v=0,6c$ la velocità relativa dei due sistemi di riferimento. Per un boost lungo l'asse $x$ si hanno le seguenti trasformazioni:
$x'=(x-vt)*gamma$
$y'=y$
$z'=z$
$t'=(t-vx/c^2)*gamma$
Avremmo inoltre che nel sistema $K$ la velocità del razzo B è $vec(u)=(dvec(x))/dt$ mentre in $K'$ sarà $vec(u')=(dvec(x'))/(dt')$
Differenziando le trasformazioni precedenti abbiamo:
$dx'=(u_x-v)gammadt$
$dy'=u_ydt$
$dz'=u_zdt$
$dt'=(1-vu_x/c^2)gammadt$
Dividendo le prime tre per la quarta
$u_x'=(u_x-v)/(1-vu_x/c^2)$
$u_y'=u_y/(gamma(1-vu_x/c^2))$
$u_z'=u_z/(gamma(1-vu_x/c^2))$
Sappiamo che la velocità del razzo B nel sistema $K$ è $(u_x,u_y,u_z)=(0,0.8c,0)$ e $v=0,6c$. Sostituiamo i valori e troviamo le velocità dal sistema di riferimento del razzo $A$
Aspetterei conferme o smentite da chi è più esperto di me comunque.
A me il tuo approccio sembra sensato e corretto, grazie, aspettiamo conferme
edit: piccola correzione, nelle velocità $u_y^{\prime}$ e $u_z^{\prime}$ il $\gamma$ andrebbe a denominatore.
edit: piccola correzione, nelle velocità $u_y^{\prime}$ e $u_z^{\prime}$ il $\gamma$ andrebbe a denominatore.
Giusto! Avevo i calcoli con $gamma$ scritto in modo esplicito ed è facile confondersi. Ho corretto.
Salve ragazzi . Ho parlato della composizione relativistica delle velocità su due assi ortogonali in questo thread, che fa parte della serie "RR for dummies: …..." (ne ho postato diversi) :
viewtopic.php?f=19&t=137220
la prima parte riguarda la composizione nella stessa direzione, la seconda quella su un asse $x$ e un asse $y$ ortogonali.
Avevo assunto due velocità entrambe uguali a $0.6c$ , ma comunque il procedimento è lo stesso.
Poi in quest'altro thread avevo svolto un esercizio di composizione di due velocità in direzioni qualsiasi :
viewtopic.php?f=19&t=141209
Questo l'avevo trovato su un testo americano di esercizi di RR e RG .
Ho dato solo un'occhiata alla soluzione di Spremi (ma che nick strano che hai! ) , e mi sembra fatta bene.
viewtopic.php?f=19&t=137220
la prima parte riguarda la composizione nella stessa direzione, la seconda quella su un asse $x$ e un asse $y$ ortogonali.
Avevo assunto due velocità entrambe uguali a $0.6c$ , ma comunque il procedimento è lo stesso.
Poi in quest'altro thread avevo svolto un esercizio di composizione di due velocità in direzioni qualsiasi :
viewtopic.php?f=19&t=141209
Questo l'avevo trovato su un testo americano di esercizi di RR e RG .
Ho dato solo un'occhiata alla soluzione di Spremi (ma che nick strano che hai! ) , e mi sembra fatta bene.
Grazie mille, ci guardo subito.
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