Regolarità del luogo $\omega$-limite

[caulacau]

Supponiamo di avere un sistema dinamico definito da una certa equazione differenziale. Questa equazione avrà flusso \(\phi(-,=)\) guardato come gruppo a un parametro (cioè come azione di \(\mathbb R\) sullo spazio delle fasi). E' nota dalla letteratura la nozione di "punto \(\omega\)-limite" per il flusso e per \(x\in E\): si tratta di un punto \(p\) nel piano delle fasi tale che esista una successione strettamente crescente \(t_n \nearrow +\infty\) per cui \(\phi(t_n,x)\to p\).

Il luogo di tutti i punti \(x\in E\) tali che esista un punto \(\omega\)-limite per \(x\) si dice luogo \(\omega\)-limite del flusso \(\phi\) e si indica con \(\omega(\phi)\).

Ora, se \(E\) contiene un sottospazio compatto \(\phi\)-invariante, si può dimostrare che \(\omega(\phi)\) è non vuoto, chiuso e connesso. Mi domando ora alcune cose:

1. A che condizioni \(\omega(\phi)\) è una varietà della stessa classe di regolarità del campo che definisce il flusso \(\phi\)?
2. Data la topologia non patologica dello spazio in cui vive, \(\omega(\phi)\) è connesso per archi oltre che connesso, ma la dimostrazione di questa condizione più forte sembra richiedere un argomento diverso dalla dimostrazione della connessione, che ho visto fare per assurdo: c'è una maniera elegante di dimostrarlo?
3. Quali altre proprietà topologiche di \(\omega(\phi)\) sono indotte da proprietà del flusso, e viceversa? Cioè, fino a che punto \(\omega(\phi)\) è determinato, per esempio nella classe di omeomorfismo, da \(\phi\)?