Reazione vincolare, dove viene applicata?
Buonasera a tutti,
studiando Fisica I mi è sorto un dubbio che avrà sicuramente facile soluzione ma che io non riesco a trovare!
Fino ad oggi avevo sempre considerato tutte le forze applicate al centro di massa (teorema del centro di massa), inclusa la reazione vincolare; oggi sono arrivato a studiare il moto di precessione di una trottola ed è qui che è nato il dubbio...
Nel moto di una trottola si considera la forza di gravità agente sul centro di massa mentre la reazione vincolare della superficie su cui poggia la trottola viene applicata sul punto di contatto.
Logicamente ha senso perché è proprio questa distribuzione delle forze che genera un momento non nullo causante la precessione, ma utilizzando il teorema del centro di massa perché la reazione del vincolo non può essere considerata sul centro di massa? (In quest'ultimo caso ovviamente non ci potrebbe essere la precessione).
In sintesi: perché in questo caso la forza di gravità la posso considerare applicata al centro di massa mentre la reazione vincolare no? Perché in altri casi invece consideriamo che anche la reazione vincolare agisce sul centro di massa?
Qui sotto posto due immagini che fanno forse meglio intendere quello che cerco di chiedere:
studiando Fisica I mi è sorto un dubbio che avrà sicuramente facile soluzione ma che io non riesco a trovare!
Fino ad oggi avevo sempre considerato tutte le forze applicate al centro di massa (teorema del centro di massa), inclusa la reazione vincolare; oggi sono arrivato a studiare il moto di precessione di una trottola ed è qui che è nato il dubbio...
Nel moto di una trottola si considera la forza di gravità agente sul centro di massa mentre la reazione vincolare della superficie su cui poggia la trottola viene applicata sul punto di contatto.
Logicamente ha senso perché è proprio questa distribuzione delle forze che genera un momento non nullo causante la precessione, ma utilizzando il teorema del centro di massa perché la reazione del vincolo non può essere considerata sul centro di massa? (In quest'ultimo caso ovviamente non ci potrebbe essere la precessione).
In sintesi: perché in questo caso la forza di gravità la posso considerare applicata al centro di massa mentre la reazione vincolare no? Perché in altri casi invece consideriamo che anche la reazione vincolare agisce sul centro di massa?
Qui sotto posto due immagini che fanno forse meglio intendere quello che cerco di chiedere:
Risposte
Non esiste nessun teorema del centro di massa
Perche' nel primo caso il blocco e' modellizzato come punto materiale, non ha dimensioni, le forze sono tutte applicate in un punto.
la trottola invece tutto e' meno che un punto materiale e quindi le forze vanno applicate dove sono applicate
la trottola invece tutto e' meno che un punto materiale e quindi le forze vanno applicate dove sono applicate
Si tratta di capire bene il significato delle due equazioni cardinali della dinamica , applicate a un corpo rigido (lascio perdere i sistemi di particelle) .
La prima equazione cardinale dice che l'accelerazione del CM del corpo è determinata da tutte le forze agenti sul corpo , incluse le reazioni vincolari , come se tutte le forze fossero applicate nel CM stesso , anche se in realtà non lo sono :
$Sigma_i vecF_i = mveca_(CM) $
LA seconda equazione cardinale, invece, dice che , dato un sistema di forze esterne agenti sul corpo, e assunto un polo rispetto al quale calcolare i momenti delle forze e il momento angolare del corpo ( di solito si assume il CM , o un punto fisso , o un punto che si muove parallelamente al CM) , il momento delle forze esterne causa variazione del momento angolare : qui è necessario considerare le forze applicate laddove "sono applicate" : non è un gioco di parole ! Insomma , per calcolare i momenti delle forze rispetto a un polo stabilito devi necessariamente tenerle là dove sono ( salvo, però la traslazione lungo la propria retta di azione , che è lecita perchè il corpo è rigido e il momento rispetto al polo non cambia) .
Guarda queste due figure :
nella 1) , al corpo sono applicate ,parallelamente al piano , la forza $vecF$ e la resistenza di attrito $vecf_a$ , la quale non è altro che il componente orizzontale della reazione del piano . Il peso e la reazione normale si fanno equilibrio :
$vecP +vecN =0 $
il moto del corpo sul piano è retto dalla prima eq. cardinale della dinamica :
$vecF + vecf_a = Mveca_(CM) $
eppure la forza applicata e la forza di attrito non sono applicate nello stesso punto .
Nella 2) , il disco rotola senza strisciare sul piano inclinato ; il moto di traslazione è retto sempre dalla prima equazione cardinale: anche qui , forza motrice e resistenza di attrito non sono applicate nello stesso punto ; la rotazione invece, con velocità angolare crescente , è dovuta al momento della forza di attrito statico [nota]che supponiamo sufficiente per impedire lo slittamento[/nota], che causa l'accelerazione angolare (scrivo una formuletta senza segni di vettori e prodotto vettoriale , per maggior semplicità) :
$f_a*r = I ddottheta $
Nel caso della trottola , da te citato, è necessario tenere le forze applicate nei rispettivi punti , non puoi metterle entrambe nel CM, altrimenti non avresti il momento che causa la precessione.
La prima equazione cardinale dice che l'accelerazione del CM del corpo è determinata da tutte le forze agenti sul corpo , incluse le reazioni vincolari , come se tutte le forze fossero applicate nel CM stesso , anche se in realtà non lo sono :
$Sigma_i vecF_i = mveca_(CM) $
LA seconda equazione cardinale, invece, dice che , dato un sistema di forze esterne agenti sul corpo, e assunto un polo rispetto al quale calcolare i momenti delle forze e il momento angolare del corpo ( di solito si assume il CM , o un punto fisso , o un punto che si muove parallelamente al CM) , il momento delle forze esterne causa variazione del momento angolare : qui è necessario considerare le forze applicate laddove "sono applicate" : non è un gioco di parole ! Insomma , per calcolare i momenti delle forze rispetto a un polo stabilito devi necessariamente tenerle là dove sono ( salvo, però la traslazione lungo la propria retta di azione , che è lecita perchè il corpo è rigido e il momento rispetto al polo non cambia) .
Guarda queste due figure :
nella 1) , al corpo sono applicate ,parallelamente al piano , la forza $vecF$ e la resistenza di attrito $vecf_a$ , la quale non è altro che il componente orizzontale della reazione del piano . Il peso e la reazione normale si fanno equilibrio :
$vecP +vecN =0 $
il moto del corpo sul piano è retto dalla prima eq. cardinale della dinamica :
$vecF + vecf_a = Mveca_(CM) $
eppure la forza applicata e la forza di attrito non sono applicate nello stesso punto .
Nella 2) , il disco rotola senza strisciare sul piano inclinato ; il moto di traslazione è retto sempre dalla prima equazione cardinale: anche qui , forza motrice e resistenza di attrito non sono applicate nello stesso punto ; la rotazione invece, con velocità angolare crescente , è dovuta al momento della forza di attrito statico [nota]che supponiamo sufficiente per impedire lo slittamento[/nota], che causa l'accelerazione angolare (scrivo una formuletta senza segni di vettori e prodotto vettoriale , per maggior semplicità) :
$f_a*r = I ddottheta $
Nel caso della trottola , da te citato, è necessario tenere le forze applicate nei rispettivi punti , non puoi metterle entrambe nel CM, altrimenti non avresti il momento che causa la precessione.
@Shakckle
Non sono totalmente d'accordo: l'applicazione delle forze nei punti effettivi di un corpo dipende dal modello.
E l'accelerazione del centro di massa del corpo e' determinata da tutte le forze agenti sul corpo. Non occorre aggiungere "come se fosse applicata al centro di massa". E un surplus.
Nel caso del blocco, dai semplicemente per scontato che il blocco sia un punto materiale. Se lo pensassi come corpo rigido, dovresti scrivere anche la seconda cardinale e arriveresti all'absurdum che non c'e' forza d'attrito (per esempio scegliendo un polo qualsiasi lungo la retta d'azione di F.
Non sono totalmente d'accordo: l'applicazione delle forze nei punti effettivi di un corpo dipende dal modello.
E l'accelerazione del centro di massa del corpo e' determinata da tutte le forze agenti sul corpo. Non occorre aggiungere "come se fosse applicata al centro di massa". E un surplus.
Nel caso del blocco, dai semplicemente per scontato che il blocco sia un punto materiale. Se lo pensassi come corpo rigido, dovresti scrivere anche la seconda cardinale e arriveresti all'absurdum che non c'e' forza d'attrito (per esempio scegliendo un polo qualsiasi lungo la retta d'azione di F.
Non c'è bisogno che il blocco sia pensato come un punto materiale, infatti la reazione del piano è distribuita su una superficie, il bilancio dei momenti consiste nel ttovare come si distribuisce la pressione di contatto tra blocco e piano, ma questo non ha nessuna influenza sulla risultante, ne cambia solo il punto di applicazione, la reazione del piano è sempre quella e per fare il bilancio delle forze possiamo per semplicita applicare tutte le forze in un unico punto.
@Shackle
Non sono totalmente d'accordo.....
egregio PK,
quando ho letto la tua prima risposta, mi sono detto : " Non sono d'accordo con questa impostazione! Che faccio? Rispondo a PK , oppure a chi ha posto il quesito ? "
Ho preferito la seconda opzione. Ma ora mi sento tenuto a rispondere alla tua osservazione . Sono io, che non sono d'accordo con quanto hai scritto. Non dipende dalla modellazione applicare tutte le forze attive e reazioni vincolari , ovvero i loro risultanti, nel centro di massa : è il contrario ! Un corpo rigido esteso , soggetto a forze attive e reazioni vincolari , ha un centro di massa , e l'accelerazione del CM è determinata dalle forze applicate al copro rigido , dovunque esse siano applicate. Questo si dimostra in MR .
Nel caso del blocco, dai semplicemente per scontato che il blocco sia un punto materiale. Se lo pensassi come corpo rigido, dovresti scrivere anche la seconda cardinale e arriveresti all'absurdum che non c'e' forza d'attrito (per esempio scegliendo un polo qualsiasi lungo la retta d'azione di F.
Nel caso del blocco, non do assolutamente per scontato che sia un punto materiale . Il blocco è un corpo rigido esteso, la forza motrice è (ad esempio) a metà altezza della faccia di destra, ma potrebbe essere un po' più su o un po' più giù ; la forza di attrito è invece applicata proprio sull'interfaccia tra blocco e piano. Ben inteso, sto supponendo che la scabrezza del piano sia non tanto elevata da impedire il moto traslatorio, per una data $vecF$, cioè che non induca rotazioni.
Ecco perchè , essendo il moto traslatorio , posso , anzi devo, scrivere che :
$vecF + vecf_a = mveca_(CM) $
indipendentemente dai punti di applicazione. Non ho modellizzato il blocco come un punto, e non ho bisogno di aggiungere la seconda equazione cardinale.
Se però , mettiamo, il piano ad un certo punto ha una piccola sporgenza, nella quale il blocco si "impunta" e tende a ruotare in avanti, allora sí che avrò bisogno della 2º eq cardinale , ma la forza di attrito cessa non appena il blocco inizia a sollevare il sedere, e il gioco si svolge tra il momento di $vecF$ rispetto alla sporgenza e il momento del peso $vecP$ .
Del resto, per tornare in argomento , nel caso del disco che rotola in basso, è modellizzato forse come un punto? Non mi sembra . La forza motrice , (componente del peso parallela al piano) e la forza di attrito statico stanno lí dove le ho messe , eppure il moto traslatorio accelerato è retto dalla stessa equazione .
"Vulplasir, stavolta pertinente,":
Non c'è bisogno che il blocco sia pensato come un punto materiale, infatti la reazione del piano è distribuita su una superficie, il bilancio dei momenti consiste nel ttovare come si distribuisce la pressione di contatto tra blocco e piano, ma questo non ha nessuna influenza sulla risultante, ne cambia solo il punto di applicazione, la reazione del piano è sempre quella e per fare il bilancio delle forze possiamo per semplicita applicare tutte le forze in un unico punto.
Ma hai detto quello che sto dicendo io: non occorre aggiungere che le forze devono essere pensate applicate al CM.
Il cdm si muove secondo F=ma indipendentemente da dove tu pensi applicate le forze. Anche in un corpo rigido.
la trottola non si stacca dal tavolo perche N=mg, non mi interessa sapere dov'e' applicata mg o N.
Ora, se il blocco e' da considerarsi un punto materiale, si applica $F=ma$ (non importa dove) e fine della fiera.
Ma se invece il blocco e' un corpo rigido esteso, allora le cose cambiano: se applichi la forza sulla parte superiore del blocco si crea un momento che tende a far ribaltare il blocco. Di conseguenza, la reazione vincolare non e' piu' applicata al cdm ma si sposta in avanti: la distribuzione delle forze di contatto non e' piu uniforme.
Quello intendevo quando ho risposto all OT: se si tratta di corpo rigido esteso, la trottola, si devono applicare le forze nei punti dove esse sono effettivamente applicate. Nel caso del blocco, si modellizza come punto materiale a tutti gli effetti e quindi non ci interessa dove sono applicate le forze
Il cdm si muove secondo F=ma indipendentemente da dove tu pensi applicate le forze. Anche in un corpo rigido.
la trottola non si stacca dal tavolo perche N=mg, non mi interessa sapere dov'e' applicata mg o N.
Ora, se il blocco e' da considerarsi un punto materiale, si applica $F=ma$ (non importa dove) e fine della fiera.
Ma se invece il blocco e' un corpo rigido esteso, allora le cose cambiano: se applichi la forza sulla parte superiore del blocco si crea un momento che tende a far ribaltare il blocco. Di conseguenza, la reazione vincolare non e' piu' applicata al cdm ma si sposta in avanti: la distribuzione delle forze di contatto non e' piu uniforme.
Quello intendevo quando ho risposto all OT: se si tratta di corpo rigido esteso, la trottola, si devono applicare le forze nei punti dove esse sono effettivamente applicate. Nel caso del blocco, si modellizza come punto materiale a tutti gli effetti e quindi non ci interessa dove sono applicate le forze
"professorkappa":
Ma hai detto quello che sto dicendo io: non occorre aggiungere che le forze devono essere pensate applicate al CM.
Il dubbio posto dall' OP mi fa pensare proprio il contrario : si deve aggiungerlo, altrimenti nascono quei dubbi.
Il cdm si muove secondo F=ma indipendentemente da dove tu pensi applicate le forze. Anche in un corpo rigido. la trottola non si stacca dal tavolo perche N=mg, non mi interessa sapere dov'e' applicata mg o N.
D'accordo.
Ora, se il blocco e' da considerarsi un punto materiale, si applica $F=ma$ (non importa dove) e fine della fiera.
Ma se invece il blocco e' un corpo rigido esteso, allora le cose cambiano: se applichi la forza sulla parte superiore del blocco si crea un momento che tende a far ribaltare il blocco. Di conseguenza, la reazione vincolare non e' piu' applicata al cdm ma si sposta in avanti: la distribuzione delle forze di contatto non e' più uniforme.
Il blocco non è un punto materiale , lo ripeto. È un corpo rigido esteso. Ho già detto che parto dall'ipotesi che le condizioni di attrito e l'intensità della forza motrice, nonchè la sua posizione, siano tali da assicurare il moto traslatorio sul piano . Se tale ipotesi è valida, non mi interessa niente del momento che vorrebbe far ribaltare il corpo , nè del fatto che la distribuzione delle forze di contatto non sia uniforme. Mi interessa che posso schematizzare gli attriti con una forza che agisce all'interfaccia tra blocco e piano , non importa dove , e che la forza $vecF$ non causi effettivamente rotazione (come ho ipotizzato quando ho pensato alla presenza di un piccolo scalino).
PErciò scrivo :
$SigmavecF_i = mveca_(CM)$
Quello intendevo quando ho risposto all OT: se si tratta di corpo rigido esteso, la trottola, si devono applicare le forze nei punti dove esse sono effettivamente applicate. Nel caso del blocco, si modellizza come punto materiale a tutti gli effetti e quindi non ci interessa dove sono applicate le forze
Anche il blocco è un corpo rigido esteso, le forze sono applicate in punti diversi, e tuttavia vale la prima equazione cardinale già citata, nelle ipotesi già dette.
A questo punto, mi piacerebbe sapere che cosa ha capito chi ha posto il dubbio
No, egregio.
Se pensi il blocco come corpo esteso, allora devono essere verificate entrambe le cardinali.
Quindi, nel tuo disegno,
$F-f_a=ma$
Rispetto a un polo passante per la retta d'azione di F, peso e reazione vincolare sono identiche e non fanno momento.
Ma la forza d'attrito fa momento $tau$ed' $tau=mumg*b$ (b e' la distanza dell punto di appkicazione di F dal piano.
E siccome il corpo non ruota, per ipotesi, deve essere $mumg*b=0$ il che implica che (1) oil piano e' liscio, (2) o il corpo e' senza peso oppure F deve essere applicata alla base.
Oppure (che e' la verita) la reazione normale e' spostata in avanti di una quantita' x per dare un momento raddrizzante.
Quindi in un corpo esteso bisogna considerare dove applicare le forze mentre il motivo per cui non si fa tutto questo ambaradam nel caso del tuo blocco e' semplicemente dato dalla modellizzazione del blocco stesso come punto materiale.
Se pensi il blocco come corpo esteso, allora devono essere verificate entrambe le cardinali.
Quindi, nel tuo disegno,
$F-f_a=ma$
Rispetto a un polo passante per la retta d'azione di F, peso e reazione vincolare sono identiche e non fanno momento.
Ma la forza d'attrito fa momento $tau$ed' $tau=mumg*b$ (b e' la distanza dell punto di appkicazione di F dal piano.
E siccome il corpo non ruota, per ipotesi, deve essere $mumg*b=0$ il che implica che (1) oil piano e' liscio, (2) o il corpo e' senza peso oppure F deve essere applicata alla base.
Oppure (che e' la verita) la reazione normale e' spostata in avanti di una quantita' x per dare un momento raddrizzante.
Quindi in un corpo esteso bisogna considerare dove applicare le forze mentre il motivo per cui non si fa tutto questo ambaradam nel caso del tuo blocco e' semplicemente dato dalla modellizzazione del blocco stesso come punto materiale.
Quindi in un corpo esteso bisogna considerare dove applicare le forze mentre il motivo per cui non si fa tutto questo ambaradam nel caso del tuo blocco e' semplicemente dato dalla modellizzazione del blocco stesso come punto materiale.
No, il motivo è che della seconda equazione cardinale non ce ne importa perché non influenza il moto del sistema ed è sempre verificata. Se tu prendi un blocco e ci applichi varie forze e lo vedi scivolare senza ribaltarsi, significa che la reazione del piano si trova in un qualche punto che annulla il momento totale, una volta fatta questa considerazione non ci importa di dove si trovi effettivamente la reazione del piano, si sa che essa è tale da non far ruotare il blocco, allora possiamo spostare tutte le forze in un uico punto (non è necessaria che sia il baricentro) per farne la somma vettoriale, in quanto ciò che caratterizza il moto in questo caso è solo la prima equazione cardinale. Il caso del blocco sul piano e della trottola sono due esempi abbastanza significativi da questo punto di vista. Nel caso del blocco non ci importa della seconda cardinale, mentre nel caso della trottola non ci importa della prima cardinale, infatti la reeazione del piano nel punto di contatto è incognita, ma saperne il valore nno ci serve a niente, ci basta studiare il moto della trottola attraverso la seconda cardinale applicata nel punto di contatto della trottola col terreno. In pratica, è vero che il blocco viene considerato come un punto materiale, ma questo discende solamente dal fatto che la reazione del blocco è applicata in un punto che annulla tutti i momenti, ma sapere dove si trova questo punto non ci serve a niente , così come non ci serve a niente sapere la reazione di contatto della trottola col terreno.
Come esempio basta prendereil caso del pattino piano classico che si fa in meccanica applicata, si tratta di un blocchetto sottoposte a una forza che scivola su un piano inclinato, vengono studiate per esempio le condizioni per cui il blocchetto non si ribalta attraverso l'andamento delle pressioni di contatto col terreno, ma se non si ribalta, per studiarne il moto ci basta solamente fare la somma vettoriale di tutte le forze applicate, ovunque esse siano applicate.
"professorkappa":
No, egregio.
No, egregio.
Stai immaginando una modellizzazione del blocco come punto materiale , che non sussiste. Il moto traslatorio è retto dalla prima equazione cardinale, che non ripeto. Non ho bisogno della seconda cardinale.
Ma su questo punto non saremo mai d'accordo, mi sembra.
Allora ti chiedo, nel caso del disco che rotola sul piano inclinato:
1) è vero o non è vero che il moto traslatorio è retto dalla prima equazione cardinale :
$vecF + vecf = mveca_(CM) $
(*) 2) è vero o non è vero che si tratta di un corpo rigido esteso , che non modellizzo come punto materiale ?
3) è vero o non è vero che le due forze che descrivono il moto traslatorio non sono applicate entrambe al CM ?
NB : ora non mi interessa del rotolamento, solo della traslazione.
(*) a mio modo di vedere , è questo che implica la modellizzazione di un corpo esteso come "punto materiale" , e non viceversa.
Ora non ho tempo . Stasera ,forse, metterò un esempio, dove non si parla di forze di attrito ma di altro tipo di reazione vincolare, forse sarà più chiaro .
"Vulplasir":
Come esempio basta prendereil caso del pattino piano classico che si fa in meccanica applicata, si tratta di un blocchetto sottoposte a una forza che scivola su un piano inclinato, vengono studiate per esempio le condizioni per cui il blocchetto non si ribalta attraverso l'andamento delle pressioni di contatto col terreno, ma se non si ribalta, per studiarne il moto ci basta solamente fare la somma vettoriale di tutte le forze applicate, ovunque esse siano applicate.
Che e' quello che dico io: se non si ribalta si puo' trattare come un punto materiale, non importa dove vengono applicate le forze. Altrimenti bisogna studiare l'andamento della reazione vincolare che impedisce il ribaltamento e ceh cambia a seconda di dove applichi F.
Mi rifacevo proprio a quel pattino quando dicevo che l;applicazione della forza F in un blocchetto considerato come corpo rigido fa variare la risultante delle forze di contatto
"Shackle":
[quote="professorkappa"]No, egregio.
No, egregio.
Stai immaginando una modellizzazione del blocco come punto materiale , che non sussiste. Il moto traslatorio è retto dalla prima equazione cardinale, che non ripeto. Non ho bisogno della seconda cardinale.
Ma su questo punto non saremo mai d'accordo, mi sembra.
Allora ti chiedo, nel caso del disco che rotola sul piano inclinato:
1) è vero o non è vero che il moto traslatorio è retto dalla prima equazione cardinale :
$vecF + vecf = mveca_(CM) $
(*) 2) è vero o non è vero che si tratta di un corpo rigido esteso , che non modellizzo come punto materiale ?
3) è vero o non è vero che le due forze che descrivono il moto traslatorio non sono applicate entrambe al CM ?
NB : ora non mi interessa del rotolamento, solo della traslazione.[/quote]
Si a tutte e 3 le domande. Ma sei tu che hai detto che nel caso di corpo rigido bisogna pensare le forze "come se fossero applicate al cdm". Per me questo e' fuorviante. Nel caso di corpo rigido il moto traslatorio del cdm e' descritto dalla risultante delle forze applicate, senza dover inserire l'ulteriore qualifica del "come se....etc".
E' questo punto che non mi trova d'accordo. Infatti ho scritto che non ero totalmente d'accordo, il resto e' assodato e non lo contestavo, non c'e' discussione su quello.
Nella trottola il cdm e' fermo lungo la orizzontale dato che e' soggetto al peso P e alla reazione N e nn ci sono componenti orizzontali. Lo studio della precessione giroscopica mostra anche che il cdm e' fermo sull'asse verticale (se non c'e' attrito nel punto di appoggio) e dunque il cdm e' fermo fermo, non solo lungo l'asse verticale o sul piano orizzontale parallelo al piano: la trottola precede con l'asse che descrive due coni contrapposti al vertice.
dunque il cdm e' fermo fermo
beh certo quando la trottola è perfettamente simmetrica e la velocità angolare iniziale è perfettamente verticale la trottola continua a ruotare attorno al proprio asse, ma se ciò non vale e se c'è attrito col terreno il moto della trottola è tutt'altro che uniforme e il cdm si sposta eccome, ma pure in questo caso della prima equazione cardinale non ce ne importa, il moto è determinato solamente dalla seconda cardinale
"Vulplasir":Quindi in un corpo esteso bisogna considerare dove applicare le forze mentre il motivo per cui non si fa tutto questo ambaradam nel caso del tuo blocco e' semplicemente dato dalla modellizzazione del blocco stesso come punto materiale.
No, il motivo è che della seconda equazione cardinale non ce ne importa perché non influenza il moto del sistema ed è sempre verificata. [........]
Nel caso del blocco non ci importa della seconda cardinale, mentre nel caso della trottola non ci importa della prima cardinale, infatti la reazione del piano nel punto di contatto è incognita, ma saperne il valore non ci serve a niente, ci basta studiare il moto della trottola attraverso la seconda cardinale applicata nel punto di contatto della trottola col terreno. [.......] .
Ottima risposta , Vulplasir.
@professorkappa, che scrive questo :
Si a tutte e 3 le domande. Ma sei tu che hai detto che nel caso di corpo rigido bisogna pensare le forze "come se fossero applicate al cdm". Per me questo e' fuorviante. Nel caso di corpo rigido il moto traslatorio del cdm e' descritto dalla risultante delle forze applicate, senza dover inserire l'ulteriore qualifica del "come se....etc".
Non trovo affatto fuorviante aggiungere "come se le forze fossero applicate al cdm" . Infatti, è proprio quello che si fa , quando si scrive la 1º equazione cardinale relativa al moto del CM, determinato da tutte le forze agenti , ovvero dal risultante. Comunque, non voglio fare ulteriori discussioni, che potrebbero sembrare polemiche.
Aggiungo l'esempio a cui avevo fatto cenno .
Abbiamo un'asta rigida , lunga $L$ , omogenea , di massa $m$ . L'asta è inizialmente orizzontale, poggiata agli estremi A e B , e evidentemente le due reazioni vincolari sono uguali in modulo : $R_A = R_B = (mg)/2$ , e dirette vettorialmente verso l'alto .
Ora si toglie repentinamente l'appoggio $B$ di destra ( v. figura allegata). L'asta inizia a ruotare attorno ad $A$ . Si chiede di determinare quanto vale l'accelerazione del CM , e la reazione $R_A$ nell'istante iniziale della rotazione .
Allora , si applica la 1º equazione cardinale della dinamica all'intera asta , scrivendo :
$vecR_A + vecP = mveca_(CM) $
dove ci sono due incognite , l'accelerazione e la reazione. Occorre anche la 2º equazione cardinale . Prendendo il polo dei momenti in $A$ , si ha (scrivo direttamente in forma scalare) :
$P*L/2 = Iddot\theta = 1/3mL^2ddottheta rarr ddot\theta = 3/2g/L $
questa è l'accelerazione angolare . Quindi l'accelerazione del CM è , in modulo :
$a_(CM) = ddottheta *L/2 = 3/4g$
Proietto la 1º cardinale su un asse $y$ orientato verso l'alto (v. figura ) , e ottengo :
$R_A-P = -m*a_(CM) = -3/4mg rarr R_A = mg - 3/4 mg = 1/4mg $
Come si vede, ho trovato la reazione in $A$ applicando la 1º eq. cardinale al corpo rigido, pur avendo la reazione applicata nell' estremo $A$ e il peso applicato al centro.
Ma l'asta non è modellizzata come un punto materiale. È il teorema del moto del baricentro , questo. Nei testi che conosco , si ricorre sempre all'espressione che non piace al professorkappa . Il baricentro ( o meglio , il CM) di un corpo rigido si muove "come se" tutta la massa del corpo fosse concentrata in esso , e il risultante di tutte le forze esterne e reazioni vincolari fosse applicata ad esso. Non capisco che cosa c'è di fuorviante in questo.
Questo è il disegno :
Qui non ci sono attriti , c'è una reazione vincolare , all'inizio del moto, da trovare . Per rispondere alla domanda dell'OP : "Dove va applicata la reazione vincolare ? " , basta dire : dove si trova, cioè all'interfaccia tra vincolo e corpo.
Comunque anche io trovo fuorviante "come se fossero applicate al cdm", lo trovo abbastanza "liceale" e da fisica/meccanica terra-terra (l'avró letto forse in qualche testo americano di dubbia qualitá, mai in testi seri)
Boh, forse sono io che non mi spiego. Anche l'ultimo esempio che porti mi conferma quello che dico: applichi $F=ma$ senza pensare al centro di massa, semplicemente $R+P=ma$.
"Vulplasir":
Comunque anche io trovo fuorviante "come se fossero applicate al cdm", lo trovo abbastanza "liceale" e da fisica/meccanica terra-terra (l'avró letto forse in qualche testo americano di dubbia qualitá, mai in testi seri)
Se vi fate fuorviare da una cosa tanto semplice, significa che avete qualche problema. In quanto ai "testi seri" , faccio come al solito, pubblico :
queste pagine fanno parte di un libro che non si trova più in commercio, credo : questo
"Elementi di Meccanica Razionale " di Dario Graffi, professore all'Università di Bologna per molti anni . Si tratta di tutt'altro che "elementi" !
Documentati su chi era Dario Graffi . Non scriveva libri da liceo. Nella seconda pagina , enuncia il teorema del moto del baricentro come l'ho detto io. Se questo è fuorviante, non so che dirvi .
Potrei trovarne altri , ma questo basta ed avanza. E non tirarmi fuori la storia che è un libro vecchio...Io ce l'ho ancora gelosamente conservato.
"professorkappa":
Boh, forse sono io che non mi spiego. Anche l'ultimo esempio che porti mi conferma quello che dico: applichi $ F=ma $ senza pensare al centro di massa, semplicemente $ R+P=ma $.
No no, io ci penso al centro di massa, eccome ! Tant'è vero che ho scritto : $vecR + vecP = m veca_(CM) $
Quella che viene fuori è l'accelerazione del centro di massa , punto nel quale si immagina concentrata tutta la massa del sistema , e tutte le forze agenti , altro che ! Un punto materiale ha bisogno di una forza (il risultante di tutte le forze agenti sul sistema, applicato proprio nel punto in esame) per accelerare, no?
Il punto A sull'appoggio ha accelerazione nulla , il punto B dove l'appoggio è stato tolto ha accelerazione doppia di quella del CM , maggiore quindi anche di $g$ !
Io ho finito di discutere. Ma vorrei veramente sapere le impressioni di Simjap98 , se ci ha capito qualcosa o no.
E non tirarmi fuori la storia che è un libro vecchio...
E' proprio questo il punto...è un testo vecchio, queso non vuol dire che non sia valido, anzi, solo che le parole e le frasi possono essere un po' datate. Il centro di massa non è il punto in cui si immagina sia concentrata tutta la massa del sistema, né quello in cui si immagina applicare la risultante delle forze...è un concetto geometrico e basta.
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