Quesito su linearizzazione e ciclo limite.
Salve a tutti, sono uno studente della specialistica in ingegneria civile che si appresta ad affrontare come terz'ultimo esame, quando l'analisi è un po' arrugginita (...), Modelli Matematici. Confido in un vostro aiuto, visto che non ho idea di dove sbattere la testa. Vi ringrazio anticipatamente.
Dimostrare l'esistenza di un ciclo limite per il seguente sistema e studiare il carattere dell'equilibrio nel punto (0,0)
$ dot(x) = y $
$ dot(y) = - sin x - y ((x)^(2) + (y)^(2) - 4) $
L'equazione ricorda quella di Van der Pol, salvo non fosse per quel sin(X). Qui sorge il primo problema:
Come posso linearizzare in (0,0) e utilizzare il metodo indiretto di Liapunov (ammesso che poi mi dia informazioni sufficienti) per studiare l'equilibrio? Infatti, come noterete, il
$ lim_((x,y) -> (0,0)) ( |(- sin(x) - y ((x)^(2) + (y)^(2) - 4))|) / (sqrt((x)^(2)+(y)^(2)) )= 1 $
e NON 0. Per poter linearizzare non dovrebbe forse venire 0 il limite della "parte non lineare" sulla norma di "u" che tende a 0 ? Oppure per i sistemi "meccanici" (come questo ricorda) non bisogna tener conto di questo vincolo per la linearizzazione?
Inoltre, per provare la presenza di un ciclo limite attrattivo in modo non rigoroso (mi basta dimostrare l'annullamento della derivata nel tempo dell'energia totale sul ciclo limite) ho proceduto nel seguente modo (senza pervenire ad alcun risultato, credo):
$ dot(E) = dot(x)ddot(x) + xdot(x)= dot(x)[-sin(x)-dot(x)((x)^(2)+(dot(x))^(2)-4)] $
Questa derivata si annullerà solo in (0,0) e in $ sin(x)=-dot(x)((x)^(2)+(dot(x))^(2)-4) $
Come identifico il ciclo limite in termini di formule? In termini intuitivi si nota facilmente che lo "smorzamento" della y si annulla sulla circonferenza di raggio 4 e che lo stesso sarà dissipativo all'esterno e genererà energia all'interno della stessa. Grazie mille per l'attenzione.
Dimostrare l'esistenza di un ciclo limite per il seguente sistema e studiare il carattere dell'equilibrio nel punto (0,0)
$ dot(x) = y $
$ dot(y) = - sin x - y ((x)^(2) + (y)^(2) - 4) $
L'equazione ricorda quella di Van der Pol, salvo non fosse per quel sin(X). Qui sorge il primo problema:
Come posso linearizzare in (0,0) e utilizzare il metodo indiretto di Liapunov (ammesso che poi mi dia informazioni sufficienti) per studiare l'equilibrio? Infatti, come noterete, il
$ lim_((x,y) -> (0,0)) ( |(- sin(x) - y ((x)^(2) + (y)^(2) - 4))|) / (sqrt((x)^(2)+(y)^(2)) )= 1 $
e NON 0. Per poter linearizzare non dovrebbe forse venire 0 il limite della "parte non lineare" sulla norma di "u" che tende a 0 ? Oppure per i sistemi "meccanici" (come questo ricorda) non bisogna tener conto di questo vincolo per la linearizzazione?
Inoltre, per provare la presenza di un ciclo limite attrattivo in modo non rigoroso (mi basta dimostrare l'annullamento della derivata nel tempo dell'energia totale sul ciclo limite) ho proceduto nel seguente modo (senza pervenire ad alcun risultato, credo):
$ dot(E) = dot(x)ddot(x) + xdot(x)= dot(x)[-sin(x)-dot(x)((x)^(2)+(dot(x))^(2)-4)] $
Questa derivata si annullerà solo in (0,0) e in $ sin(x)=-dot(x)((x)^(2)+(dot(x))^(2)-4) $
Come identifico il ciclo limite in termini di formule? In termini intuitivi si nota facilmente che lo "smorzamento" della y si annulla sulla circonferenza di raggio 4 e che lo stesso sarà dissipativo all'esterno e genererà energia all'interno della stessa. Grazie mille per l'attenzione.
Risposte
Salve a tutti di nuovo. Penso di avere fatto un piccolo passo in avanti, infatti sapendo che:
$ sin x = x - (x)^(3) / (3!) + (x)^(5) / (5!) $
Ciò significa che in un intorno di zero il seno di x è linearizzabile. Per eventualmento trovare una funzione di Liapunov per studiare l'equilibrio, posso fare una ricerca di un integrale primo della funzione considerando lo sviluppo in serie di Taylor del seno troncato alla potenza al cubo, oppure è un'approssimazione esagerata? Grazie.
$ sin x = x - (x)^(3) / (3!) + (x)^(5) / (5!) $
Ciò significa che in un intorno di zero il seno di x è linearizzabile. Per eventualmento trovare una funzione di Liapunov per studiare l'equilibrio, posso fare una ricerca di un integrale primo della funzione considerando lo sviluppo in serie di Taylor del seno troncato alla potenza al cubo, oppure è un'approssimazione esagerata? Grazie.
Benvenut* Ninja84,
oggi ho studiato il metodo indiretto di Liapunov quindi: premesso che puoi sempre linearizzare il sistema non lineare attorno ad un suo punto di equilibrio, esegui un cambio di coordinate in modo che esso punto sia [tex]$(0;0)$[/tex], studia i termini non lineari per verificare il loro essere o meno infinitesimi di ordine superiore a [tex]$\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] in [tex]$(0;0)$[/tex], e sotto l'ipotesi che gli esponenti di Liapunov siano reali negativi od a parte reale negativa puoi ottenere l'asintotica stabilità non lineare dalla medesima lineare.
Per quanto riguarda l'approssimazione del seno non dimenticare di specificare il simbolo di Bachmann-Landau [tex]$o(x^3)$[/tex]; ciò fa differenza nel calcolare il limite [tex]$\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)+y(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] inerente la parte non lineare! Ti faccio notare che il sistema linearizzato nel punto critico [tex]$(0;0)$[/tex] è [tex]$\begin{cases}\dot x=y\\\dot y=-x-4y\end{cases}$[/tex]
Infine, sul secondo metodo di Liapunov meglio aspettare che lo riprenda.
Non credo di aver scritto falsità, non ho mai fatto questi esercizi quindi sii critico!
Sul ciclo limite devo vedere un pò.
oggi ho studiato il metodo indiretto di Liapunov quindi: premesso che puoi sempre linearizzare il sistema non lineare attorno ad un suo punto di equilibrio, esegui un cambio di coordinate in modo che esso punto sia [tex]$(0;0)$[/tex], studia i termini non lineari per verificare il loro essere o meno infinitesimi di ordine superiore a [tex]$\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] in [tex]$(0;0)$[/tex], e sotto l'ipotesi che gli esponenti di Liapunov siano reali negativi od a parte reale negativa puoi ottenere l'asintotica stabilità non lineare dalla medesima lineare.
Per quanto riguarda l'approssimazione del seno non dimenticare di specificare il simbolo di Bachmann-Landau [tex]$o(x^3)$[/tex]; ciò fa differenza nel calcolare il limite [tex]$\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)+y(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] inerente la parte non lineare! Ti faccio notare che il sistema linearizzato nel punto critico [tex]$(0;0)$[/tex] è [tex]$\begin{cases}\dot x=y\\\dot y=-x-4y\end{cases}$[/tex]
Infine, sul secondo metodo di Liapunov meglio aspettare che lo riprenda.
Non credo di aver scritto falsità, non ho mai fatto questi esercizi quindi sii critico!
Sul ciclo limite devo vedere un pò.
"j18eos":
Benvenut* Ninja84,
oggi ho studiato il metodo indiretto di Liapunov quindi: premesso che puoi sempre linearizzare il sistema non lineare attorno ad un suo punto di equilibrio, esegui un cambio di coordinate in modo che esso punto sia [tex]$(0;0)$[/tex], studia i termini non lineari per verificare il loro essere o meno infinitesimi di ordine superiore a [tex]$\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] in [tex]$(0;0)$[/tex], e sotto l'ipotesi che gli esponenti di Liapunov siano reali negativi od a parte reale negativa puoi ottenere l'asintotica stabilità non lineare dalla medesima lineare.
Per quanto riguarda l'approssimazione del seno non dimenticare di specificare il simbolo di Bachmann-Landau [tex]$o(x^3)$[/tex]; ciò fa differenza nel calcolare il limite [tex]$\lim_{(x;y)\to(0;0)}\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)+y(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] inerente la parte non lineare! Ti faccio notare che il sistema linearizzato nel punto critico [tex]$(0;0)$[/tex] è [tex]$\begin{cases}\dot x=y\\\dot y=-x-4y\end{cases}$[/tex]
Infine, sul secondo metodo di Liapunov meglio aspettare che lo riprenda.
Non credo di aver scritto falsità, non ho mai fatto questi esercizi quindi sii critico!
Sul ciclo limite devo vedere un pò.
Grazie mille per la risposta j18eos. Hai detto tutto correttamente secondo me, inoltre per il secondo metodo di Liapunov (quello diretta, della funzione di Liapunov per capirci) basta fare una classica ricerca dell'integrale primo, solo che credo sia meglio utilizzare la funzione originale del problema (quella con il seno tanto per capirci), l'unica cosa che mi rimane oscure però è la ricerca di un ciclo limite... però vabbè, non si può sempre scoprire tutto. E ormai manca verametne poco all'esame. Grazie di nuovo per essere intervenuto.
"Ninja84":Prego, di nulla!
...Grazie mille per la risposta j18eos...
Se l'origine fosse instabile od asintoticamente instabile linearmente mediante il primo metodo puoi tentare di dimostrare l'analoga proprietà non lineare.
Come funzione di Liapunov per il sistema "completo" puoi tentare con un integrale primo, oppure ricerchi un integrale primo del sistema linearizzato e tenti a vedere se fosse una funzione di Liapunov per il sistema "completo".
Sul ciclo limite od attrattore puoi tentare coi criteri negativi di Bendixson o Dulac; per cofutarne l'esistenza, o col criterio di Poincaré-Bendixson per permetterne l'esistenza!
OUT OF SELF: A scanso di equivoci sono uno studente di matematica in lotta con l'esame di sistemi dinamici, quindi è inutile che mi chiedi l'interpetrazione fisica\ingegneristica\realistica di
questa roba.
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