Quesito di Fisica.
Supponendo di poter scavare un tunnel che "buchi" la Terra da parte a parte in modo che passi per il centro, e lasciandovi cadere un corpo, quale moto caratterizzerebbe tale grave? Mi interesserebbero i calcoli che portano alla risposta.
Risposte
Questo scenario si è già accenato in un altro topic aperto proprio da me tempo fa.
Posso dirti che al centro della terra un corpo non ha peso.
Quindi se lasciassimo cadere un oggetto nel tunnel all'istante T1, e riportassimo su un grafico l'accelerazione del grave in funzione del tempo, penso che dovremmo notare che questa andrà diminuendo gradualmente mano mano che il grave si avvicina al centro della terra. Bisogna escludere i questo ragionamento la resistenza dell'aria.
Una volta che il grave ha superato il centro e si appresta a dirigersi verso l'uscita, notiamo che la velocità è in senso opposto all'accelerazione che è diretta invece verso il centro, e sopratutto che, seguendo il ragionamento di prima, cresce mano mano che il corpo si avvicina alla superficie.
Questa è la mie idea in termini qualitativi... in quanto a calcoli non credo che sarei ancora in grado, immagino che siccome la forza peso è variabile servano elementi di analisi matematica che ancora non ho.
Ciao
Posso dirti che al centro della terra un corpo non ha peso.
Quindi se lasciassimo cadere un oggetto nel tunnel all'istante T1, e riportassimo su un grafico l'accelerazione del grave in funzione del tempo, penso che dovremmo notare che questa andrà diminuendo gradualmente mano mano che il grave si avvicina al centro della terra. Bisogna escludere i questo ragionamento la resistenza dell'aria.
Una volta che il grave ha superato il centro e si appresta a dirigersi verso l'uscita, notiamo che la velocità è in senso opposto all'accelerazione che è diretta invece verso il centro, e sopratutto che, seguendo il ragionamento di prima, cresce mano mano che il corpo si avvicina alla superficie.
Questa è la mie idea in termini qualitativi... in quanto a calcoli non credo che sarei ancora in grado, immagino che siccome la forza peso è variabile servano elementi di analisi matematica che ancora non ho.
Ciao
Il moto sarebbe armonico ed è semplice vederlo.
Consideriamo un corpo posto all'interno della superficie terrestre a distanza $r$ dal centro e una superficie gaussiana di raggio $r$ centrata nel centro della terra. Per il teorema di Gauss si ha $ointvecG*vecu_(N)dS=4pigammamr^3/R^3$, dove $R$ è il raggio terrestre, $m$ la massa della terra. Poichè $vecG$ esce in direzione radiale dalla superficie gaussiana l'integrale diventa $G(r)*(4pir^2)=4pigammamr^3/R^3$, $G(r)=gammam/R^3r$. Sia $m_(p)$ la massa del corpo considerato, si ha allora in termini vettoriali: $vecF=m_(p)vecG=-gamma(mm_(p))/R^3vecr=-kvecr$ che è l'equazione del moto armonico. Dalla relazione $omega=(2pi)/T=sqrt(k/m_(p))$ segue che il periodo di oscillazione è $T=2pisqrt(R^3/(gammam))~~5055sec~~84min$ indipendente da $m_(p)$.
PS: Postate i problemi di fisica nell'apposita sezione "Fisica"!
Consideriamo un corpo posto all'interno della superficie terrestre a distanza $r$ dal centro e una superficie gaussiana di raggio $r$ centrata nel centro della terra. Per il teorema di Gauss si ha $ointvecG*vecu_(N)dS=4pigammamr^3/R^3$, dove $R$ è il raggio terrestre, $m$ la massa della terra. Poichè $vecG$ esce in direzione radiale dalla superficie gaussiana l'integrale diventa $G(r)*(4pir^2)=4pigammamr^3/R^3$, $G(r)=gammam/R^3r$. Sia $m_(p)$ la massa del corpo considerato, si ha allora in termini vettoriali: $vecF=m_(p)vecG=-gamma(mm_(p))/R^3vecr=-kvecr$ che è l'equazione del moto armonico. Dalla relazione $omega=(2pi)/T=sqrt(k/m_(p))$ segue che il periodo di oscillazione è $T=2pisqrt(R^3/(gammam))~~5055sec~~84min$ indipendente da $m_(p)$.
PS: Postate i problemi di fisica nell'apposita sezione "Fisica"!
Rivedendo la domanda di lorandrum mi sono accorto che chiede che il buco passi per il centro della terra. E' ovvio che, data la simmetria della terra, supposta sferica, questa condizione non è necessaria, il moto rimane lo stesso per qualsiasi condotto da un punto all'altro della terra non necessariamente passante per il centro e il periodo è sempre lo stesso.
faccio un po' lo specilloso, ma solo per alimentare la discussione sul caso. Finora è stato trattato come se la terra sia immobile, o se il tunnel coincida con l'asse di rotazione della terra. Come cambia la situazione se si rimuovono queste ipotesi semplificative?
Beh si dovrebbero considerare le varie forze fittizie che nascono sempre in un riferimento non inerziale come è la terra.
Si, infatti. Una buona estensione di questo esercizio può essere proprio il considerare il tunnel generico e la terra rotante.
Teoria classica delle perturbazioni?
Onde gravitazionali?
auguri
Onde gravitazionali?
auguri
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