Quesiti di fisica - concorso STEM
Buongiorno a tutti,
esercitandomi su quesiti dei vecchi concorsi per insegnanti per prepararmi al prossimo, mi sono imbattuta in alcuni quesiti su cui ho dei dubbi, che vi sottopongo sperando che qualche buona anima mi possa aiutare.
Quesito 1:
Un elettrone (di energia a riposo $ mc^2 \approx 0.5 \ \text{MeV}$] ha un'energia totale $E=1 \ \text{GeV}$.
A quale cifra decimale devia da 1 il rapporto tra la velocità della luce e quella dell'elettrone?
Io ho ragionato così: sapendo che l'energia totale relativistica è $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,
isolo il rapporto che mi interessa:
$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\left( \frac{mc^2}{E}\right)^2}=\sqrt{0.99999995}$
Sapendo che non è possibile utilizzare la calcolatrice, come posso sapere a che cifra decimale devia da 1 tale risultato?
Quesito 2:
Un telescopio di diametro $D$ che osserva un corpo celeste nella lunghezza d'onda $\lambda$ ha un potere risolutivo $\theta_{min}\approx \lambda/D$.
Qual è l'ordine di grandezza di $D$ con $\lambda=1 \text{mm}$ che servirebbe per poter risolvere un buco nero di raggio $R\approx 10^10 \text{km}$ alla distanza di $10^7 \text{anni luce}$?
Pensavo si riconducesse a un semplice problema di trigonometria, ma così facendo ottengo un ordine di grandezza di $10^3 \text{km}$ che non è tra le risposte possibile. Forse sto tralasciando qualche ragionamento fisico?
Quesito 3: (Risolto)
Un generatore ideale di f.e.m. continua è collegato ad una resistenza $R$ mediante un lungo cavo coassiale di resistenza trascurabile, costituito da un sottile filo e da un cilindro cavo di spessore trascurabile coassiale col filo, tra i quali è posto un materiale isolante assimilabile al vuoto. Quanto vale il flusso del vettore di Poynting attraverso la sezione del cavo coassiale, a metà della sua lunghezza?
Qui non so esattamente come impostare l'esercizio. Tenendo conto che il tempo medio per rispondere a questi quesiti è 2 minuti, forse basta un ragionamento qualitativo su qualche legge di conservazione?
Grazie in anticipo a chi mi darà qualche spunto
esercitandomi su quesiti dei vecchi concorsi per insegnanti per prepararmi al prossimo, mi sono imbattuta in alcuni quesiti su cui ho dei dubbi, che vi sottopongo sperando che qualche buona anima mi possa aiutare.
Quesito 1:
Un elettrone (di energia a riposo $ mc^2 \approx 0.5 \ \text{MeV}$] ha un'energia totale $E=1 \ \text{GeV}$.
A quale cifra decimale devia da 1 il rapporto tra la velocità della luce e quella dell'elettrone?
Io ho ragionato così: sapendo che l'energia totale relativistica è $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,
isolo il rapporto che mi interessa:
$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\left( \frac{mc^2}{E}\right)^2}=\sqrt{0.99999995}$
Sapendo che non è possibile utilizzare la calcolatrice, come posso sapere a che cifra decimale devia da 1 tale risultato?
Quesito 2:
Un telescopio di diametro $D$ che osserva un corpo celeste nella lunghezza d'onda $\lambda$ ha un potere risolutivo $\theta_{min}\approx \lambda/D$.
Qual è l'ordine di grandezza di $D$ con $\lambda=1 \text{mm}$ che servirebbe per poter risolvere un buco nero di raggio $R\approx 10^10 \text{km}$ alla distanza di $10^7 \text{anni luce}$?
Pensavo si riconducesse a un semplice problema di trigonometria, ma così facendo ottengo un ordine di grandezza di $10^3 \text{km}$ che non è tra le risposte possibile. Forse sto tralasciando qualche ragionamento fisico?
Quesito 3: (Risolto)
Un generatore ideale di f.e.m. continua è collegato ad una resistenza $R$ mediante un lungo cavo coassiale di resistenza trascurabile, costituito da un sottile filo e da un cilindro cavo di spessore trascurabile coassiale col filo, tra i quali è posto un materiale isolante assimilabile al vuoto. Quanto vale il flusso del vettore di Poynting attraverso la sezione del cavo coassiale, a metà della sua lunghezza?
Qui non so esattamente come impostare l'esercizio. Tenendo conto che il tempo medio per rispondere a questi quesiti è 2 minuti, forse basta un ragionamento qualitativo su qualche legge di conservazione?
Grazie in anticipo a chi mi darà qualche spunto
Risposte
Per quanto riguarda il terzo quesito, basta ricordare che cosa rappresenta il vettore di Poynting e osservare che il cavo presenta resistenza trascurabile. 
NB Quella specificazione "a metà lunghezza" può servirti per dimostrarlo[nota]E ti consiglio di provare a farlo.[/nota] analiticamente, ma è superflua per dare la risposta, che può essere data istantaneamente
NB Quella specificazione "a metà lunghezza" può servirti per dimostrarlo[nota]E ti consiglio di provare a farlo.[/nota] analiticamente, ma è superflua per dare la risposta, che può essere data istantaneamente
Il flusso del vettore di Poynting rappresenta la potenza che scorre attraverso la sezione del filo, dovuta alla presenza del campo elettromagnetico generato dalla f.e.m.. Avendo il cavo resistenza trascurabile tale potenza non è dissipata e quindi sarà pari alla potenza erogata dal generatore?
Per procedere analiticamente, calcolo il vettore di Poynting come prodotto vettoriale del campo EM generato da un filo in cui scorre la corrente $I=V/R$ e ne calcolo il flusso attraverso la superficie (viene $I^2 R$). Questa è la potenza erogata dal generatore ($P=VI=I^2R$).
Il fatto che si consideri la metà del filo non conta nulla, o no? Anche il fatto che fuori dal filo ci sia del materiale isolante e un cilindro cavo non influenza, giusto?
Per procedere analiticamente, calcolo il vettore di Poynting come prodotto vettoriale del campo EM generato da un filo in cui scorre la corrente $I=V/R$ e ne calcolo il flusso attraverso la superficie (viene $I^2 R$). Questa è la potenza erogata dal generatore ($P=VI=I^2R$).
Il fatto che si consideri la metà del filo non conta nulla, o no? Anche il fatto che fuori dal filo ci sia del materiale isolante e un cilindro cavo non influenza, giusto?
"Zelda89":
Il flusso del vettore di Poynting rappresenta la potenza che scorre attraverso la sezione del filo, dovuta alla presenza del campo elettromagnetico generato dalla f.e.m.....
Diciamo che il suo modulo rappresenta (localmente) la potenza in transito per unità di superficie
(\(
"Zelda89":
Avendo il cavo resistenza trascurabile tale potenza non è dissipata e quindi sarà pari alla potenza erogata dal generatore?
Esatto.
"Zelda89":
Per procedere analiticamente, calcolo il vettore di Poynting come prodotto vettoriale del campo EM generato da un filo in cui scorre la corrente $I=V/R$ e ne calcolo il flusso attraverso la superficie (viene $I^2 R$). Questa è la potenza erogata dal generatore ($P=VI=I^2R$)....
Certo, ma questo risultato ti avevo chiesto di dimostrarlo.
"Zelda89":
Il fatto che si consideri la metà del filo non conta nulla, o no? Anche il fatto che fuori dal filo ci sia del materiale isolante e un cilindro cavo non influenza, giusto?
Come dicevo non è necessario considerare il flusso sulla sezione a metà cavo per dare la risposta ma è utile considerarla se vuoi semplificare il calcolo del flusso per via analitica in quanto su quella sezione il campo elettrico e magnetico non risentiranno degli effetti di bordo presenti agli estremi.
NB Per la dimostrazione ti serviranno i campi $\vecE$ e $\vecH$, ma di certo conoscerai le due relazioni associate ad un cavo coassiale.
Per il primo quesito, ti ricordo che per \(x\ll1\), avrai che
$\sqrt(1-x)\approx 1-x/2$
in quanto quel termine $x$ sotto radice può essere visto come il doppio prodotto di $(1-x/2)^2$, in quanto avresti che il termine mancante \(x^2/4\ll x \ll 1\), avrebbe un peso trascurabile.
Per il secondo rifai (e posta) il calcolo, a me esce $10^4 \text {km}$.
$\sqrt(1-x)\approx 1-x/2$
in quanto quel termine $x$ sotto radice può essere visto come il doppio prodotto di $(1-x/2)^2$, in quanto avresti che il termine mancante \(x^2/4\ll x \ll 1\), avrebbe un peso trascurabile.
Per il secondo rifai (e posta) il calcolo, a me esce $10^4 \text {km}$.
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