Quantità meccaniche. Esercizio.
Un punto materiale $P$ di massa $m$ si muove con legge assegnata $(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $, dove $O$ è un punto fisso e $a$, $v_0$ sono costanti.
Calcolare $Q$, $Gamma$ e $T$
$Q= mv$ quantità di moto.
$Gamma = r xx mv$ momento della quantità di moto (o momento angolare).
$T = 1/2mv^2$ energia cinetica.
Quello che non sto capendo è la seguente formula:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $
Insomma, $P-O$ è lo spostamento e quindi lo possiamo chiamare $(P - O) = r(t) $, ma non sto capendo che tipo di moto è un moto rappresentato da questa formula $r(t) = v_0t i + aj $
Io direi che $v_0$ è una velocità lungo l'asse delle $x$ e $a$ è una accelerazione lungo l'asse delle $y$ !
Ma che corpo è che si muove con questa legge?
E che tipo di formula è?
Calcolare $Q$, $Gamma$ e $T$
$Q= mv$ quantità di moto.
$Gamma = r xx mv$ momento della quantità di moto (o momento angolare).
$T = 1/2mv^2$ energia cinetica.
Quello che non sto capendo è la seguente formula:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $
Insomma, $P-O$ è lo spostamento e quindi lo possiamo chiamare $(P - O) = r(t) $, ma non sto capendo che tipo di moto è un moto rappresentato da questa formula $r(t) = v_0t i + aj $
Io direi che $v_0$ è una velocità lungo l'asse delle $x$ e $a$ è una accelerazione lungo l'asse delle $y$ !
Ma che corpo è che si muove con questa legge?
E che tipo di formula è?
Risposte
Infatti e' scorretta.
Hai due modi, e dovresti farmeli tutti e due anche per esercitarti:
(1) La QDM totale e' la somma delle QDM di ogni singolo corpo.
Oppure
(2) La QDM totale del sistema e' pari alla somma della masse (come hai fatto tu) moltiplicata per la velocita' del centro di massa del sistema.
Se le fai entrambe correttamente arrivi allo stesso risultato.
provi?
Hai due modi, e dovresti farmeli tutti e due anche per esercitarti:
(1) La QDM totale e' la somma delle QDM di ogni singolo corpo.
Oppure
(2) La QDM totale del sistema e' pari alla somma della masse (come hai fatto tu) moltiplicata per la velocita' del centro di massa del sistema.
Se le fai entrambe correttamente arrivi allo stesso risultato.
provi?
Sto optando a calcare in modalita' punto(2) che hai detto.
Il centro di massa si ricava in questo modo:
$OC= (m_1(A-O)+m_2(B-O))/(m_1+m_2)$
Adesso pero' deco calcolare la velocita' del centro di massa!?
Dato che la formula generale andava bene, dove utilizzavo il segmento $B-A)$, adesso che deco trovare la velocita' del centro di massa, e corretto utilizzare il segmento $OC=(C-O)$?
Per trovare $(C-O) $ faccio in questo modo:
$(B-O) = (A-O) + (B-A)$
$(B-O) = (x_A i) + (lsen theta i + lcos thetaj)$
$(B-O) = (x_A + lsen theta)i + lcos thetaj$
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
Va bene il vettore posizione del centro di massa?
Se la risposta e' affermativa, posso derivare il vettore posizione per ricavare la velocita' del centro di massa?
Il centro di massa si ricava in questo modo:
$OC= (m_1(A-O)+m_2(B-O))/(m_1+m_2)$
Adesso pero' deco calcolare la velocita' del centro di massa!?
Dato che la formula generale andava bene, dove utilizzavo il segmento $B-A)$, adesso che deco trovare la velocita' del centro di massa, e corretto utilizzare il segmento $OC=(C-O)$?
Per trovare $(C-O) $ faccio in questo modo:
$(B-O) = (A-O) + (B-A)$
$(B-O) = (x_A i) + (lsen theta i + lcos thetaj)$
$(B-O) = (x_A + lsen theta)i + lcos thetaj$
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
Va bene il vettore posizione del centro di massa?
Se la risposta e' affermativa, posso derivare il vettore posizione per ricavare la velocita' del centro di massa?
Esatto!!!
Non optare, pero'. Risolvi anche con il metodo (1) e vedi se torna
Non optare, pero'. Risolvi anche con il metodo (1) e vedi se torna
Con il metodo (1) si ha che:
$Q= Q_1 + Q_2$
$Q= (m_1 dot(x)_A i) + (m_2 l (dot(theta) cos theta i -dot(theta) sen theta j)$
Va bene la quantita di moto totale?
$Q= Q_1 + Q_2$
$Q= (m_1 dot(x)_A i) + (m_2 l (dot(theta) cos theta i -dot(theta) sen theta j)$
Va bene la quantita di moto totale?
Non so! Esegui i calcoli nei due casi e vedi se coincidono.
Se arrivi allo stesso risultato nei due casi, con ottima probabilita', hai fatto giusto.
Fai prima il metodo (2) come hai detto, Poi il metodo (1)
Se arrivi allo stesso risultato nei due casi, con ottima probabilita', hai fatto giusto.
Fai prima il metodo (2) come hai detto, Poi il metodo (1)
Modalità (2)
Per la modalità (2) ho il vettore posizione del centro di massa che è:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
La velocità di $C$ centro di massa sarà:
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (C - O)$
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))$
Compatto questa formula altrimenti si fa confusione:
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))$
$v_C = dot(x)_A i(m_1 + m_2)- dot(theta) m_2lcosthetai - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta)j $
$v_C = ((dot(x)_A (m_1 + m_2)- dot(theta)m_2lcostheta) i - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta) j) /(m_1 + m_2)$
Dunque:
$Q= (m_1 + m_2)*((dot(x)_A (m_1 + m_2)- dot(theta) m_2lcostheta) i - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta) j) /(m_1 + m_2)$
$Q= (dot(x)_A (m_1 + m_2)- dot(theta) m_2lcostheta) i - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta) j$
Modalità (1)
Con il metodo (1) si ha che:
$Q= Q_1 + Q_2$
$Q= (m_1 dot(x)_A i) + (m_2 l (dot(theta) cos theta i -dot(theta) sen theta j)$
$Q= (m_1 dot(x)_A + m_2 l dot(theta) cos theta) i - m_2 ldot(theta) sen theta j$
Ma a me sembrano a colpo d'occhio un po diverse!
Cosa ne dici?
Per la modalità (2) ho il vettore posizione del centro di massa che è:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
La velocità di $C$ centro di massa sarà:
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (C - O)$
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))$
Compatto questa formula altrimenti si fa confusione:
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))$
$v_C = dot(x)_A i(m_1 + m_2)- dot(theta) m_2lcosthetai - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta)j $
$v_C = ((dot(x)_A (m_1 + m_2)- dot(theta)m_2lcostheta) i - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta) j) /(m_1 + m_2)$
Dunque:
$Q= (m_1 + m_2)*((dot(x)_A (m_1 + m_2)- dot(theta) m_2lcostheta) i - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta) j) /(m_1 + m_2)$
$Q= (dot(x)_A (m_1 + m_2)- dot(theta) m_2lcostheta) i - dot(theta)(m_1x_A+m_2x_A+m_2lsen theta) j$
Modalità (1)
Con il metodo (1) si ha che:
$Q= Q_1 + Q_2$
$Q= (m_1 dot(x)_A i) + (m_2 l (dot(theta) cos theta i -dot(theta) sen theta j)$
$Q= (m_1 dot(x)_A + m_2 l dot(theta) cos theta) i - m_2 ldot(theta) sen theta j$
Ma a me sembrano a colpo d'occhio un po diverse!
Cosa ne dici?
Stai facendo confusione:
Ecco. Qui basta. Non devi fare altro che derivare OC rispetto al tempo per ottenere la $v_C$
$v_C={dOC}/{dt}={\dot{m_1x_A}*i+[m_2(\dot{x_A}\L\dot\thetacos\theta)*i-m_2L\dot\thetasin\theta]*j}/(m_1+m_2)={[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j}/{m_1+m_2}$
Moltiplicando per la massa totale, ottieni la Quantita di moto.
$Q=[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j$
Finito, basta cosi.
L'atto di moto come lo hai scritto non e' corretto: devi scrivere $v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (C - A)$.
Quindi da qui in poi sbagli. Tra l'altro non sono sicuro che tu esegua il prodotto vettoriale correttamente.
Qui devi tirare in ballo l'atto di moto rigido.
Calcoli la velocita' in B (con l'atto di moto), cioe' $v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (B - A)$
Poi calcoli la velocita' in A.
Moltiplichi ogni velocita per la rispettiva massa, le sommi, e trovi lo stesso risultato sopra.
In definitiva,
La quantita' di moto la puoi calcolare
(1)' $Q=m_A*v_A+m_B*v_B$
Oppure
(2)$Q=(m_A+m_B)*v_C$ (dove $v_C$ e' la velocita' del baricentro)
"Antonio_80":
Modalità (2)
Per la modalità (2) ho il vettore posizione del centro di massa che è:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
Ecco. Qui basta. Non devi fare altro che derivare OC rispetto al tempo per ottenere la $v_C$
$v_C={dOC}/{dt}={\dot{m_1x_A}*i+[m_2(\dot{x_A}\L\dot\thetacos\theta)*i-m_2L\dot\thetasin\theta]*j}/(m_1+m_2)={[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j}/{m_1+m_2}$
Moltiplicando per la massa totale, ottieni la Quantita di moto.
$Q=[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j$
Finito, basta cosi.
"Antonio_80":
La velocità di $C$ centro di massa sarà:
$v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (C - O)$
L'atto di moto come lo hai scritto non e' corretto: devi scrivere $v_C = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (C - A)$.
Quindi da qui in poi sbagli. Tra l'altro non sono sicuro che tu esegua il prodotto vettoriale correttamente.
"Antonio_80":
Con il metodo (1) si ha che:
$Q= Q_1 + Q_2$
$Q= (m_1 dot(x)_A i) + (m_2 l (dot(theta) cos theta i -dot(theta) sen theta j)$
$Q= (m_1 dot(x)_A + m_2 l dot(theta) cos theta) i - m_2 ldot(theta) sen theta j$
Ma a me sembrano a colpo d'occhio un po diverse!
Cosa ne dici?
Qui devi tirare in ballo l'atto di moto rigido.
Calcoli la velocita' in B (con l'atto di moto), cioe' $v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (B - A)$
Poi calcoli la velocita' in A.
Moltiplichi ogni velocita per la rispettiva massa, le sommi, e trovi lo stesso risultato sopra.
In definitiva,
La quantita' di moto la puoi calcolare
(1)' $Q=m_A*v_A+m_B*v_B$
Oppure
(2)$Q=(m_A+m_B)*v_C$ (dove $v_C$ e' la velocita' del baricentro)
Edit: Scusami, avevo sbagliato a fare i calcoli della derivata e ricontrollando i miei calcoli, ho visto che sono gli stessi dei tuoi!
Adesso calcolo il momento meccanico della quantità di moto $Gamma = r xx mv$:
$Gamma = rmv sin theta$
Penso che debba utilizzare il vettore $r=OC$ cioè il sempre:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
La massa deve essere:
$m = m_1 + m_2$
E la velocità quale deve essere? Rileggendo il messaggio precedente penso che debba calcolare la velocità $v_C$ perchè sto per calcolare il momento meccanico della quantità di moto che è riferita al centro di massa e quindi, così come hai detto tu prima, calcoli la velocita' in B (con l'atto di moto), cioe' :
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (B - A)$
Poi calcoli la velocita' in A.
Alla fine posso calcolare:
$Gamma = (OC) (m_1 + m_2) v_C sin theta$
E' corretto il mio ragionamento?
$Gamma = rmv sin theta$
Penso che debba utilizzare il vettore $r=OC$ cioè il sempre:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
La massa deve essere:
$m = m_1 + m_2$
E la velocità quale deve essere? Rileggendo il messaggio precedente penso che debba calcolare la velocità $v_C$ perchè sto per calcolare il momento meccanico della quantità di moto che è riferita al centro di massa e quindi, così come hai detto tu prima, calcoli la velocita' in B (con l'atto di moto), cioe' :
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (B - A)$
Poi calcoli la velocita' in A.
Alla fine posso calcolare:
$Gamma = (OC) (m_1 + m_2) v_C sin theta$
E' corretto il mio ragionamento?
Il momento angolare di un corpo rigido (non puntiforme) rispetto ad un polo $\Omega$ che si muove di moto roto-traslatorio e' la somma di 2 termini:
(1) Il momento angolare del baricentro rispetto al polo $\Omega$ dovuto alla traslazione del baricentro (massa totale del corpo concentrata nel baricentro, e velocita del baricentro, ovviamente con il prodotto vettoriale solito).
(2) Il momento angolare attorno al baricentro dovuto alla rotazione del corpo attorno al polo ($I\omega$)
(1) Il momento angolare del baricentro rispetto al polo $\Omega$ dovuto alla traslazione del baricentro (massa totale del corpo concentrata nel baricentro, e velocita del baricentro, ovviamente con il prodotto vettoriale solito).
(2) Il momento angolare attorno al baricentro dovuto alla rotazione del corpo attorno al polo ($I\omega$)
Ok per quello che giustamente dici, ma penso che nel messaggio precedente al tuo ho detto cose giuste, no?
La definizione di momento angolare è:
$l = vec(r) xx vec(Q) -> l = rQ sin theta$
Il testo di meccanica razionale che ho usa una simbologia leggermente differente e scrive:
$Gamma = r m v sen theta$
ma il significato è lo stesso!
Ovviamente uso la seguente quantità di moto:
$Q=[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j$
E come vettore $r$ uso il seguente:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
Per cui:
$Gamma = r m v sen theta$
$Gamma = (OC)*Q sen theta$
$Gamma = (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))*([(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j ) *(sen theta)$
Capisco perfettamente ciò che hai detto nel tuo ultimo messaggio, ma adesso se voglio calcolare il momento angolare della quantità di moto, va bene quello che ho scritto nel messaggio precedente al tuo?
La definizione di momento angolare è:
$l = vec(r) xx vec(Q) -> l = rQ sin theta$
Il testo di meccanica razionale che ho usa una simbologia leggermente differente e scrive:
$Gamma = r m v sen theta$
ma il significato è lo stesso!
Ovviamente uso la seguente quantità di moto:
$Q=[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j$
E come vettore $r$ uso il seguente:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
Per cui:
$Gamma = r m v sen theta$
$Gamma = (OC)*Q sen theta$
$Gamma = (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))*([(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j ) *(sen theta)$
Capisco perfettamente ciò che hai detto nel tuo ultimo messaggio, ma adesso se voglio calcolare il momento angolare della quantità di moto, va bene quello che ho scritto nel messaggio precedente al tuo?
"Antonio_80":Si e no.
Ok per quello che giustamente dici, ma penso che nel messaggio precedente al tuo ho detto cose giuste, no?
"Antonio_80":Si, va bene. Pero (1) va bene per un corpo puntiforme, am qui hai un sistema rigido e (2) quel $sin\theta$ non lo puoi indicate con $\theta$, perche nell'esercizio $\theta$ e' l'angolo che l'asta forma con la verticale, mentre nella quantita di moto angolare dovresti $sin\alpha$, dove $\alpha$ e' l'angolo tra OC e Q (che non e' $\theta$.
La definizione di momento angolare è:
$l = vec(r) xx vec(Q) -> l = rQ sin theta$
Il testo di meccanica razionale che ho usa una simbologia leggermente differente e scrive:
$Gamma = r m v sen theta$
ma il significato è lo stesso!
"Antonio_80":
Ovviamente uso la seguente quantità di moto:
$Q=[(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j$
E come vettore $r$ uso il seguente:
$OC = ([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2)$
Va bene. queste sono le 2 quantita' da usare. Ma non solo quelle, perche il corpo e rigido, quindi devi aggiungere anche il secondo termine che ti hi indicato nel post precedente.
"Antonio_80":
Per cui:
$Gamma = r m v sen theta$
$Gamma = (OC)*Q sen theta$
$Gamma = (([m_1 x_A i]+[m_2(x_A+lsen theta)i + m_2 l cos theta j])/(m_1+m_2))*([(m_1+m_2)\dot\x_A+m_2L\dot\thetacos\theta]*i-m_2L\dot\thetasin\theta*j ) *(sen theta)$
Capisco perfettamente ciò che hai detto nel tuo ultimo messaggio, ma adesso se voglio calcolare il momento angolare della quantità di moto, va bene quello che ho scritto nel messaggio precedente al tuo?
[/quote]
Ovviamente qui ti trascini l'errore perche confondi l'angolo $\alpha$ con $\theta$ (e, ovviamente, tratti il problema come puntiforme, mentre e' un corpo rigido roto-traslante
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