Quantità meccaniche. Esercizio.
Un punto materiale $P$ di massa $m$ si muove con legge assegnata $(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $, dove $O$ è un punto fisso e $a$, $v_0$ sono costanti.
Calcolare $Q$, $Gamma$ e $T$
$Q= mv$ quantità di moto.
$Gamma = r xx mv$ momento della quantità di moto (o momento angolare).
$T = 1/2mv^2$ energia cinetica.
Quello che non sto capendo è la seguente formula:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $
Insomma, $P-O$ è lo spostamento e quindi lo possiamo chiamare $(P - O) = r(t) $, ma non sto capendo che tipo di moto è un moto rappresentato da questa formula $r(t) = v_0t i + aj $
Io direi che $v_0$ è una velocità lungo l'asse delle $x$ e $a$ è una accelerazione lungo l'asse delle $y$ !
Ma che corpo è che si muove con questa legge?
E che tipo di formula è?
Calcolare $Q$, $Gamma$ e $T$
$Q= mv$ quantità di moto.
$Gamma = r xx mv$ momento della quantità di moto (o momento angolare).
$T = 1/2mv^2$ energia cinetica.
Quello che non sto capendo è la seguente formula:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $
Insomma, $P-O$ è lo spostamento e quindi lo possiamo chiamare $(P - O) = r(t) $, ma non sto capendo che tipo di moto è un moto rappresentato da questa formula $r(t) = v_0t i + aj $
Io direi che $v_0$ è una velocità lungo l'asse delle $x$ e $a$ è una accelerazione lungo l'asse delle $y$ !
Ma che corpo è che si muove con questa legge?
E che tipo di formula è?
Risposte
Attento le formule devono essere dimensionalmente corrette e congruenti a entrambi i membri.
Siccome $r(t)$ e' una lunghezza, devono essere lunghezze anche $v_0*t$ e $a$. Il fatto che lo chiami $a$ non significa che sia un accelerazione.
Se provi a disegnare P-O per tempi diversi ti accorgi che il corpo percorre sempicemente una retta parallela all'asse x, posta a distanza $a$ da questo. La percorre con legge $v_0*t$ che e' un moto....? rispondi tu.
Il resto dell'esercizio e' semplice.
Siccome $r(t)$ e' una lunghezza, devono essere lunghezze anche $v_0*t$ e $a$. Il fatto che lo chiami $a$ non significa che sia un accelerazione.
Se provi a disegnare P-O per tempi diversi ti accorgi che il corpo percorre sempicemente una retta parallela all'asse x, posta a distanza $a$ da questo. La percorre con legge $v_0*t$ che e' un moto....? rispondi tu.
Il resto dell'esercizio e' semplice.
Per me è un moto che può essere pensato dalla seguente:
$x(t) = x_0 + v_(x_0) + 1/2a_xt^2$
se l'accelerazione è nulla, cioè non c'è accelerazione allora si ha:
$x(t) = x_0 + v_(x_0)t$
che nel caso di questo esercizio è scritta in questo modo:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj = x(t) = x_0 + v_(x_0)t$
Scusa, ma allora si tratta di un moto rettilineo uniforme!
$x(t) = x_0 + v_(x_0) + 1/2a_xt^2$
se l'accelerazione è nulla, cioè non c'è accelerazione allora si ha:
$x(t) = x_0 + v_(x_0)t$
che nel caso di questo esercizio è scritta in questo modo:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj = x(t) = x_0 + v_(x_0)t$
Scusa, ma allora si tratta di un moto rettilineo uniforme!
"Antonio_80":
se l'accelerazione è nulla, cioè non c'è accelerazione allora si ha:
$x(t) = x_0 + v_(x_0)t$
che nel caso di questo esercizio è scritta in questo modo:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj = x(t) = x_0 + v_(x_0)t$
Se il testo ti dice che $r(t)=v_0ti+aj$, non sei autorizzato a risciverla $x(0)+v_(x_0)t$.
$x(0)$, te lo dice gia' la legge del moto $r(t)$ e' 0. Il punto parte, all'istante t=0 dal punto di coordinate (0,a)
Rileggi attentamente quello che ti ho scritto? $a$ non e' un'accelerazione.
$v_0t$ e' la componente orizzontale di $r(t)$
$a$ e' al componente verticale
Ora, a e' costante (non varia col tempo). La componente orizzontale di $r(t)$ cresce linearmente col tempo. Quindi la "punta" di $r(t)$ percorre una retta y=a di moto rettilineo uniforme. Basta.
Ok, adesso è chiaro 
Bene, comincio a calcolarmi la quantità di moto $Q$.
$Q = mv$
Sapendo che la formula del vettore spostamento è la seguente:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $
posso derivare il vettore spostamento e avrò così la velocità, solo che adesso ho un'altro dubbio sulla derivazione di questo vettore, perchè se io avessi un vettore posizione $(P - O)$ lo posso derivare tranquillamente, ma se nella traccia mi dice che
$v_0$ ed $a$ sono costanti, si avrà che la derivata di valori costanti è zero!
Cerco di non pensare a questo fatto e continuo a fare i calcoli, però spero di chiarire questo mio dubbio!
Derivando ho:
$(P - O)' = dot(r)(t) = dot(v)_0t i + dot(a)j $
che è meglio scritta in questo modo:
$v(t) = a_t t i + v_a j $
dove $a_t$ è l'accelerazione tangenziale ed $v_a$ è la velocità lineare.
La quantità di moto sarà allora:
$Q = m*(a_t t i + v_a j)$
Va bene questo primo punto?
Bene, comincio a calcolarmi la quantità di moto $Q$.
$Q = mv$
Sapendo che la formula del vettore spostamento è la seguente:
$(P - O) = r(t) = v_0t i + aj $
posso derivare il vettore spostamento e avrò così la velocità, solo che adesso ho un'altro dubbio sulla derivazione di questo vettore, perchè se io avessi un vettore posizione $(P - O)$ lo posso derivare tranquillamente, ma se nella traccia mi dice che
$v_0$ ed $a$ sono costanti, si avrà che la derivata di valori costanti è zero!
Cerco di non pensare a questo fatto e continuo a fare i calcoli, però spero di chiarire questo mio dubbio!
Derivando ho:
$(P - O)' = dot(r)(t) = dot(v)_0t i + dot(a)j $
che è meglio scritta in questo modo:
$v(t) = a_t t i + v_a j $
dove $a_t$ è l'accelerazione tangenziale ed $v_a$ è la velocità lineare.
La quantità di moto sarà allora:
$Q = m*(a_t t i + v_a j)$
Va bene questo primo punto?
Antonio, e' un moto rettilineo uniforme che si svolge lungo una retta orizzontale.
Non c'e' accelerazione.
La derivata di quantita' costanti e' nulla.
Riprova, hai sbagliato a derivare
Non c'e' accelerazione.
La derivata di quantita' costanti e' nulla.
Riprova, hai sbagliato a derivare
Allora la derivata vale:
$dot(r)_t = dot((v-v_0))t i +0$
E' corretto adesso?
$dot(r)_t = dot((v-v_0))t i +0$
E' corretto adesso?
Ma perche'????
la derivata vale semplicemente ${dr(t)}/dt=v_0*i$.
Il punto si muove sulla retta con velocita $v_0$ costante, tranquillo e senza alcuna preoccupazione.
Da dove ti esce quella v? Dimmelo, perche e' l'unico modo per correggere la tua mancanza.
la derivata vale semplicemente ${dr(t)}/dt=v_0*i$.
Il punto si muove sulla retta con velocita $v_0$ costante, tranquillo e senza alcuna preoccupazione.
Da dove ti esce quella v? Dimmelo, perche e' l'unico modo per correggere la tua mancanza.
Accipicchia, io derivavo il vettore posizione rispetto alla posizione e invece dovevo derivare lo spazio in funzione del tempo in quanto e' cosi' che si fa! Ecco cosa sbagliavo, derivavo il vettore posizione in funzione della posizione!
ok, quindi?
Ho scritto $(v-v_0)$ perche' pensavo che nel derivare il vettore posizione in funzione della posizione, dovevo indicare lo spostamento dal punto $v_0$ al punto $v$, per cui scrivevo $v-v_0$!
Ok, ma quindi, andando avanti, come ti venfono fuori le quantita' richieste dal problema?
Scusami, ma non sto capendo ciò che mi chiedi? Ho fatto calcoli che erano un casino, tutto qui!
Ho scritto la seguente:
$Q = m*(a_t t i + v_a j)$
Ma restando a ciò che giustamente mi dici, la quantità di moto deve essere la seguente:
$Q = m*v_0*i$
dove la derivata del vettore posizione è ${dr(t)}/dt=v_0*i$.
Ho fatto la ricerca di questi argomenti sul mio testo, ho trovato alcuni esercizi che fanno proprio come hai detto tu
Ho scritto la seguente:
$Q = m*(a_t t i + v_a j)$
Ma restando a ciò che giustamente mi dici, la quantità di moto deve essere la seguente:
$Q = m*v_0*i$
dove la derivata del vettore posizione è ${dr(t)}/dt=v_0*i$.
Ho fatto la ricerca di questi argomenti sul mio testo, ho trovato alcuni esercizi che fanno proprio come hai detto tu
Adesso calcolo il momento meccanico della quantità di moto $Gamma = r xx mv$, la stessa formula si può scrivere in questo modo:
$Gamma = rmv sin theta$
La massa non la conosco e quindi mi limito a chiamarla $m$, il vettore posizione è il seguente $r(t) = v_0 t i + a j$, per cui mi viene di scrive il momento meccanico della quantità di moto in questo modo:
$Gamma = (v_0 t i + a j) *m*(v_0i)$
dove si vede chiaramente la derivata del vettore posizione ${dr(t)}/dt=v_0*i$.
Calcolo l'energia cinetica $T = 1/2mv^2$ e mi sembra facile sostituire la velocità nella formula:
$T = 1/2m(v_0 i)^2$
Va bene ciò che ho fatto?
$Gamma = rmv sin theta$
La massa non la conosco e quindi mi limito a chiamarla $m$, il vettore posizione è il seguente $r(t) = v_0 t i + a j$, per cui mi viene di scrive il momento meccanico della quantità di moto in questo modo:
$Gamma = (v_0 t i + a j) *m*(v_0i)$
dove si vede chiaramente la derivata del vettore posizione ${dr(t)}/dt=v_0*i$.
Calcolo l'energia cinetica $T = 1/2mv^2$ e mi sembra facile sostituire la velocità nella formula:
$T = 1/2m(v_0 i)^2$
Va bene ciò che ho fatto?
Professorkappa, mi hai giustamente detto da dove mi nasceva il dubbio sul fatto della velocità calcolata derivando il vettore posizione, e in virtù di quelle domanda ho trovato la possibilità di esporti una risposta, che nello stesso tempo mi da la possibilità di chiarire le idee, ecco un esercizio che sto risolvendo:
Due punti materiali $A$ e $B$, di massa rispettivamente $m_1$ ed $m_2$, sono vincolati all'estremità di un'asta rigida di massa trascurabile e lunghezza $l$. Il punto $A$ si muove senza attrito lungo una guida fissa orizzontale. L'asta è libera di ruotare attorno al suo estremo $A$.
Calcolare $Q$, $Gamma$ e $T$.
Calcolo la velocità angolare dell'asta intorno al punto $A$, individuo il vettore posizione dell'asta, dico che per me è il seguente:
$(B - A) = l sen theta i + l cos theta j$
Quando ho studiato la velocità angolare ho risolto esercizi in cui si derivava il vettore posizione e si aveva la velocità in questo modo:
$v_B = l( dot(theta) cos thetai - dot(theta) sen theta j )$
Adesso mi chiedo se nel calcolo della velocità angolare di un moto piano andava bene, per quale motivo qui non va bene?
Stesso discorso per il punto $A$ che si muovo lungo l'asse delle $x$ e quindi ha una posizione che è:
$(A - O) = r_A = x_A i$
se derivo il vettore posizione devo avere per forza una velocità e quindi:
$dot(r)_A = v_A = dot(x)_A i$
Se voglio calcolare la velocità angolare ho:
$omega_(AB) = - dot(theta)k$ (il segno meno deriva dal fatto la rotazione è in senso orario se si ribalta l'asse $y$ nelle ordinate positive)
Ho pensato che questo esercizio si possa risolvere con la formula fondamentale dell'atto del moto rigido, cioè:
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
Ho tutti i dati che mi servono e quindi calcolo la velocità che mi interessa per fare i calcoli:
$(B - A) = l sen theta i + l cos theta j$
$v_A = dot(x)_A i$
$omega_(AB) = - dot(theta)k$
Dunque:
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (l sen theta i + l cos theta j)$
Dici che va bene il calcolo della velocità del punto $B$
Due punti materiali $A$ e $B$, di massa rispettivamente $m_1$ ed $m_2$, sono vincolati all'estremità di un'asta rigida di massa trascurabile e lunghezza $l$. Il punto $A$ si muove senza attrito lungo una guida fissa orizzontale. L'asta è libera di ruotare attorno al suo estremo $A$.
Calcolare $Q$, $Gamma$ e $T$.
Calcolo la velocità angolare dell'asta intorno al punto $A$, individuo il vettore posizione dell'asta, dico che per me è il seguente:
$(B - A) = l sen theta i + l cos theta j$
Quando ho studiato la velocità angolare ho risolto esercizi in cui si derivava il vettore posizione e si aveva la velocità in questo modo:
$v_B = l( dot(theta) cos thetai - dot(theta) sen theta j )$
Adesso mi chiedo se nel calcolo della velocità angolare di un moto piano andava bene, per quale motivo qui non va bene?
Stesso discorso per il punto $A$ che si muovo lungo l'asse delle $x$ e quindi ha una posizione che è:
$(A - O) = r_A = x_A i$
se derivo il vettore posizione devo avere per forza una velocità e quindi:
$dot(r)_A = v_A = dot(x)_A i$
Se voglio calcolare la velocità angolare ho:
$omega_(AB) = - dot(theta)k$ (il segno meno deriva dal fatto la rotazione è in senso orario se si ribalta l'asse $y$ nelle ordinate positive)
Ho pensato che questo esercizio si possa risolvere con la formula fondamentale dell'atto del moto rigido, cioè:
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
Ho tutti i dati che mi servono e quindi calcolo la velocità che mi interessa per fare i calcoli:
$(B - A) = l sen theta i + l cos theta j$
$v_A = dot(x)_A i$
$omega_(AB) = - dot(theta)k$
Dunque:
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (l sen theta i + l cos theta j)$
Dici che va bene il calcolo della velocità del punto $B$
"Antonio_80":
Scusami, ma non sto capendo ciò che mi chiedi? Ho fatto calcoli che erano un casino, tutto qui!
Quesro era evidente; chiedevo, una volta appurato e corretto il casino, di andare avanti e completare l'esercizio.
La quantita di moto Q e' ora corretta.
Per precisione fovresti scrviere Q come vettore, cioe' $\vec{Q}=mv_0\vec{i}$
"Antonio_80":
Adesso calcolo il momento meccanico della quantità di moto $Gamma = r xx mv$, la stessa formula si può scrivere in questo modo:
$Gamma = rmv sin theta$
Fin qui va bene $\Gamma$ (questo che hai scritto e' il modulo di $\Gamma$), ma devi eliminare quel $sin\theta$ (tutte le grandezze che cerchi devono essere espresse solo in funzione dei parametri noti o delle lore derivate (m e' nota), quindi devi cercare una relazione che lega $\theta$ alle grandezze note e riscrivere $\Gamma$ piu' precisamente (la formula che hai scritto e' corretta, ma non precisa e finale).
"Antonio_80":
La massa non la conosco e quindi mi limito a chiamarla $m$, il vettore posizione è il seguente $r(t) = v_0 t i + a j$, per cui mi viene di scrive il momento meccanico della quantità di moto in questo modo:
$Gamma = (v_0 t i + a j) *m*(v_0i)$
Questo e' sbagliato: hai fatto $\vec{r}*m\vec{v_0}$, hai moltiplicato scalarmente - devi moltiplicare vettorialmente.
"Antonio_80":
Calcolo l'energia cinetica $T = 1/2mv^2$ e mi sembra facile sostituire la velocità nella formula:
$T = 1/2m(v_0 i)^2$
L'energia cinetica va bene, anche se e' preferibile scriverla (essendo una grandezza scalare) senza il versore $\vec{i}$.
Comunque, dato che $\vec{i}^2=1$, questa la passiamo per buona
"Antonio_80":
Calcolo la velocità angolare dell'asta intorno al punto $A$, individuo il vettore posizione dell'asta, dico che per me è il seguente:
$(B - A) = l sen theta i + l cos theta j$
Quando ho studiato la velocità angolare ho risolto esercizi in cui si derivava il vettore posizione e si aveva la velocità in questo modo:
$v_B = l( dot(theta) cos thetai - dot(theta) sen theta j )$
Adesso mi chiedo se nel calcolo della velocità angolare di un moto piano andava bene, per quale motivo qui non va bene?
Stesso discorso per il punto $A$ che si muovo lungo l'asse delle $x$ e quindi ha una posizione che è:
$(A - O) = r_A = x_A i$
se derivo il vettore posizione devo avere per forza una velocità e quindi:
$dot(r)_A = v_A = dot(x)_A i$
Se voglio calcolare la velocità angolare ho:
$omega_(AB) = - dot(theta)k$ (il segno meno deriva dal fatto la rotazione è in senso orario se si ribalta l'asse $y$ nelle ordinate positive)
Fino a qui tutto bene. Ma nel caso dell'esercizio precedente non va bene, perche (1) e' una massa che si muove con r(t) data non un corpo rigido (2) la massa, in questo caso si muove di MRU. Quindi non hai velocita angolari, ne tanto meno accelerazioni.
"Antonio_80":
Ho pensato che questo esercizio si possa risolvere con la formula fondamentale dell'atto del moto rigido, cioè:
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
Ho tutti i dati che mi servono e quindi calcolo la velocità che mi interessa per fare i calcoli:
$(B - A) = l sen theta i + l cos theta j$
$v_A = dot(x)_A i$
$omega_(AB) = - dot(theta)k$
Dunque:
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (l sen theta i + l cos theta j)$
Dici che va bene il calcolo della velocità del punto $B$
OK, perfetto. Hai trovato la $v_B$ correttamente e senza nemmeno un errore. Volendo, potresti risolvere quel prodotto vettoriale espandendolo e trovando le componenti di $v_B$ lungo x e y (ora e' in forma compatta).
Attenzione, pero', l'esercizio ti chiede di calcolare $\vec{Q}, \vec{\Gamma}, T$. Quindi aver calcolato $v_B$ non e' la soluzione finale, solo un passaggio intermedio.
Compatto la formula della velocità:
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (l sen theta i + l cos theta j)$
$v_B = (dot(x)_A i +theta l cos theta)i - dot(theta) l sen theta j$
La quantità di moto sarà:
$Q = mv$
$Q = m((dot(x)_A i +theta l cos theta)i - dot(theta) l sen theta j)$
In uno dei messaggi precedenti mi hai detto che non posso moltiplicare scalarmente in quanto non è corretto e hai ragione, ma adesso come dovrei fare?
$v_B = dot(x)_A i - dot(theta)k xx (l sen theta i + l cos theta j)$
$v_B = (dot(x)_A i +theta l cos theta)i - dot(theta) l sen theta j$
La quantità di moto sarà:
$Q = mv$
$Q = m((dot(x)_A i +theta l cos theta)i - dot(theta) l sen theta j)$
In uno dei messaggi precedenti mi hai detto che non posso moltiplicare scalarmente in quanto non è corretto e hai ragione, ma adesso come dovrei fare?
il momento della quantita' di moto e' un prodotto vettoriale. La quantita' di moto e' semplicemente proporzionale alla velocita tramite m.
Quindi va bene come la scrivi tu IN GENERALE.
Il problema e' che qui hai 2 masse che si muovono, $m_1$ e $m_2$, ognuna con velocita' propria: quindi non puoi scriverla cosi, a pappagallo. Devi applicarla all'esercizio in esame. Tu invece butti una $m$ nella formula, ma $m$ non la vedo da nessuna parte nel testo.
Riprova, per favore
Quindi va bene come la scrivi tu IN GENERALE.
Il problema e' che qui hai 2 masse che si muovono, $m_1$ e $m_2$, ognuna con velocita' propria: quindi non puoi scriverla cosi, a pappagallo. Devi applicarla all'esercizio in esame. Tu invece butti una $m$ nella formula, ma $m$ non la vedo da nessuna parte nel testo.
Riprova, per favore
Hai ragione, le masse sono due, mi viene di dire che deve essere:
$m=m_1 + m_2$
Quindi penso che la formula che ho scritto prima debba essere la seguente:
$Q = (m_1+m_2)((dot(x)_A i +theta l cos theta)i - dot(theta) l sen theta j)$
Spero di aver detto bene!?
Solo che mi hai detto che ogni punto ha belocita' proprio e anche questo e' giustissimo, quindi penso che quella fornula che ho scritto in questo messaggio non e' ancora corretta!?
Il fatto e' che usare la formula caratteristi per il moto di un corpo rigido, non mi e' mai capitato di usarla e di vederla usare per corpi con punti di massa diversa!
In aggiunta mi chiedo se la mia ultima formula che ho scritto comprende le velocita' dei punti, perche' mai non dovrebbe essere corretta? Anche perche' ho considerato i punti A e B e la massa puo' giustmante essere la somma della massa di A con la massa di B!
Help!
$m=m_1 + m_2$
Quindi penso che la formula che ho scritto prima debba essere la seguente:
$Q = (m_1+m_2)((dot(x)_A i +theta l cos theta)i - dot(theta) l sen theta j)$
Spero di aver detto bene!?
Solo che mi hai detto che ogni punto ha belocita' proprio e anche questo e' giustissimo, quindi penso che quella fornula che ho scritto in questo messaggio non e' ancora corretta!?
Il fatto e' che usare la formula caratteristi per il moto di un corpo rigido, non mi e' mai capitato di usarla e di vederla usare per corpi con punti di massa diversa!
In aggiunta mi chiedo se la mia ultima formula che ho scritto comprende le velocita' dei punti, perche' mai non dovrebbe essere corretta? Anche perche' ho considerato i punti A e B e la massa puo' giustmante essere la somma della massa di A con la massa di B!
Help!
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