Quantità di moto. Esercizio
Il testo fa riferimento ad un esercizio che abbiamo gia visto al seguente link:
viewtopic.php?f=19&t=146793
Calcolo la quantità di moto $Q$:
La quantità di moto è data da $Q = mv$.
L'asta ha due gradi di libertà, si ha quindi che la velocità dell'asta è data dalla somma della velocità di traslazione più la velocità di rotazione:
$v_A = dot(x)_A i$ (velocità di traslazione)
$v_B = omega_(AB) xx (B-A)$ (velocità di rotazione)
$v_B = dot(theta) k xx (B-A) = dot(theta) k xx ( l cos theta i + l sen theta j) = l dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
Quindi la velocità del punto $B$, considerando tralsazione e rotazione è:
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
$v_B = dot(x)_A i + l dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
$v_B = (dot(x)_A - l dot(theta) sentheta ) i + (l dot(theta) cos theta)j$
Quindi la quantità di moto è data da:
$Q = mv_B$
$Q = m[(dot(x)_A - l dot(theta) sentheta ) i + (l dot(theta) cos theta)j]$
Ho fatto bene questo primo punto?
Risposte
No.
Perche scegli B? E non, per esempio, A? O, per esempio un altro punto qualsiasi dell'asta compreso tra A e B?
In altre parole, ti rendi conto che la QDM varierebbe a seconda del punto che scegli tu arbitrariamente, cosa che non puo' essere perche la qdm per un corpo rigido e' una valore unico?
Allora guarda la teoria: come si definisce la QdM di un corpo rigido?
Perche scegli B? E non, per esempio, A? O, per esempio un altro punto qualsiasi dell'asta compreso tra A e B?
In altre parole, ti rendi conto che la QDM varierebbe a seconda del punto che scegli tu arbitrariamente, cosa che non puo' essere perche la qdm per un corpo rigido e' una valore unico?
Allora guarda la teoria: come si definisce la QdM di un corpo rigido?
La quantità di moto di un corpo rigido si trova con la formula $q=mv_G$ con $m$ massa corpo rigido, $v_G$ velocità del centro di massa del corpo rigido.
Non ho trovato null'altro che mi sembri inerente al nostro caso!
Puoi per favore aiutarmi a capire cosa dovrei trovare?
Non ho trovato null'altro che mi sembri inerente al nostro caso!
Puoi per favore aiutarmi a capire cosa dovrei trovare?
Eh, non hai trovato altro, perche e' l'unica cosa da trovare.
Applicala al caso in esame, sei a un micron dalla soluzione.
Applicala al caso in esame, sei a un micron dalla soluzione.
anzi, per darti un indizio, sei esattamente a META" strada......
Ok, ma se l'asta nel totale ha massa $m$, che massa avranno i punti $A$ ed $B$ 
Anto', e andiamo!
I punti A e B, non hanno massa. Il punto per definizione non ha dimensioni, quindi nn ha massa.
La massa da considerare e' quella totale dell'asta m. La velocita' quella del baricentro.
L'hai scritto tu 2 post fa: $Q=mv_G$. Quanto vale sta cavolo di $v_G$????
I punti A e B, non hanno massa. Il punto per definizione non ha dimensioni, quindi nn ha massa.
La massa da considerare e' quella totale dell'asta m. La velocita' quella del baricentro.
L'hai scritto tu 2 post fa: $Q=mv_G$. Quanto vale sta cavolo di $v_G$????
Ho la $x_G = l/2 cos theta + (A-O)$ perchè il mio sistema ha origine in $O$ e quindi ho considerato anche l'ascissa $A-O$, mentre la $y_G = l/2 sen theta$, vanno bene le coordinate ?
ok, quindi???
$v_A = dot(x)_A i$ (velocità di traslazione)
$v_G = omega_(AG) xx (G-A)$ (velocità di rotazione)
$v_G = dot(theta) k xx (G-A) = dot(theta) k xx ( l/2 cos theta i + l/2sen theta j) = l/2 dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
Quindi la velocità del punto $G$, considerando traslazione e rotazione è:
$v_G = v_A + omega_(AG) xx (G-A)$
$v_G = dot(x)_A i + l/2 dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
$v_G = (dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j$
Quindi la quantità di moto è data da:
$Q = mv_G$
$Q = m[(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j]$
Penso che adesso vada bene, vero?
P.S. Non ho considerato la $x_G = l/2 cos theta + (A-O)$ ho trascurato $A-O$, dici che va bene lo stesso?
$v_G = omega_(AG) xx (G-A)$ (velocità di rotazione)
$v_G = dot(theta) k xx (G-A) = dot(theta) k xx ( l/2 cos theta i + l/2sen theta j) = l/2 dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
Quindi la velocità del punto $G$, considerando traslazione e rotazione è:
$v_G = v_A + omega_(AG) xx (G-A)$
$v_G = dot(x)_A i + l/2 dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
$v_G = (dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j$
Quindi la quantità di moto è data da:
$Q = mv_G$
$Q = m[(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j]$
Penso che adesso vada bene, vero?
P.S. Non ho considerato la $x_G = l/2 cos theta + (A-O)$ ho trascurato $A-O$, dici che va bene lo stesso?
Si, va bene. Ti avevo detto che eri a meta' strada......infatti hai L/2, non L.
Per quanto riguarda A-O, non lo hai trascurato proprio per nulla:
$x_G*i=+(A-O)*i+l/2cos\theta*i$,
Quando derivi questa per per trovare la velocita' di G (lungo i, ovviamente), la derivata di $(A-O)*i$ e' proprio $dotx_A$, e la derivata del secondo termine e' $(-l/2dot\thetasin\theta)*i. Guarda caso, proprio quello che hai scritto tu.
Per quanto riguarda A-O, non lo hai trascurato proprio per nulla:
$x_G*i=+(A-O)*i+l/2cos\theta*i$,
Quando derivi questa per per trovare la velocita' di G (lungo i, ovviamente), la derivata di $(A-O)*i$ e' proprio $dotx_A$, e la derivata del secondo termine e' $(-l/2dot\thetasin\theta)*i. Guarda caso, proprio quello che hai scritto tu.
Oleeeee! Mi hai fatto ragionare in modo chiaro! 
Adesso continuo a calcolare il momento angolare rispetto ad $A$ e cioè $Gamma_A$, hai per caso qualche consiglio sul ragionamento che si deve fare per $Gamma_A$
Adesso continuo a calcolare il momento angolare rispetto ad $A$ e cioè $Gamma_A$, hai per caso qualche consiglio sul ragionamento che si deve fare per $Gamma_A$
Non ci sono particolari sistemi. Basta applicare la definizione di momento angolare per un corpo rigido rispetto a un polo, esattamente come hai fatto per la definizione di QdM.
La formula generale del momento angolare di un corpo rigido rispetto a un polo $O$ può esprimersi come:
$Gamma_O = M(G-O) xx v_G + I_G omega$
Noi la usiamo per il punto $A$:
Sappiamo $v_G = (dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j$
Sappiamo $(G-A)=( l/2 cos theta i + l/2sen theta j) $
Sappiamo la massa che è $M$
Abbiamo $I_G omega$ e questa è la parte in rotazione e corrisponde al momento angolare del $CR$ nel moto rotatorio rispetto al sistema relativo baricentrale, questo è uno standard tabulato ed è $I_G omega = 1/12ml^2$ per quanto riguarda l'asta di lunghezza $l$ e massa $M$, ovviamente si ha $I_G omega = 1/12ml^2 k$.
Per cui si ha:
$Gamma_A = M(l/2 cos theta i + l/2sen theta j) xx [(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j] + 1/12ml^2k$
Compattando la formula si ha:
$Gamma_A = M[(l/2 cos theta)^2 - (l/2sen theta)*(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) + 1/12ml^2] k$
Ed in effetti il momento angolare deve avere il versore $k$!
Cosa ne dici?
Adesso vorrei calcolare il $Gamma_G$ e per questo sto facendo confusione in quanto se ho fatto i calcoli per $Gamma_A$ considerando il tratto di asta $G-A$, in questo caso, come devo utilizzare la formula generale seguente?
$Gamma_O = M(G-O) xx v_G + I_G omega$
Insomma, se devo considerare il punto $G$ che è il baricentro dell'asta e quindi il $CR$, allora dici che bisogna utilizzare proprio la formula generale considerando l'origine $O$
$Gamma_O = M(G-O) xx v_G + I_G omega$
Noi la usiamo per il punto $A$:
Sappiamo $v_G = (dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j$
Sappiamo $(G-A)=( l/2 cos theta i + l/2sen theta j) $
Sappiamo la massa che è $M$
Abbiamo $I_G omega$ e questa è la parte in rotazione e corrisponde al momento angolare del $CR$ nel moto rotatorio rispetto al sistema relativo baricentrale, questo è uno standard tabulato ed è $I_G omega = 1/12ml^2$ per quanto riguarda l'asta di lunghezza $l$ e massa $M$, ovviamente si ha $I_G omega = 1/12ml^2 k$.
Per cui si ha:
$Gamma_A = M(l/2 cos theta i + l/2sen theta j) xx [(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j] + 1/12ml^2k$
Compattando la formula si ha:
$Gamma_A = M[(l/2 cos theta)^2 - (l/2sen theta)*(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) + 1/12ml^2] k$
Ed in effetti il momento angolare deve avere il versore $k$!
Cosa ne dici?
Adesso vorrei calcolare il $Gamma_G$ e per questo sto facendo confusione in quanto se ho fatto i calcoli per $Gamma_A$ considerando il tratto di asta $G-A$, in questo caso, come devo utilizzare la formula generale seguente?
$Gamma_O = M(G-O) xx v_G + I_G omega$
Insomma, se devo considerare il punto $G$ che è il baricentro dell'asta e quindi il $CR$, allora dici che bisogna utilizzare proprio la formula generale considerando l'origine $O$
Almeno il dubbio ti e' venuto.
Il polo A e' mobile, quindi il termine $dotx_A$ e' nullo (la velocita' del baricentro e solo di rotazione attorno ad A).
Il baricentro non e' CR.
Quindi rimuovendo $dotx_A$, ottieni $Gamma_A=ML^2/3$.
Se come polo prendi G, nella definizione stessa scritta da te si annulla $G-O$, quindi $Gamma_A=ML^2/12$.
La definizione si applica integralmente, senza semplificazioni, se prendi un qualsiasi polo, purche' fisso
Il polo A e' mobile, quindi il termine $dotx_A$ e' nullo (la velocita' del baricentro e solo di rotazione attorno ad A).
Il baricentro non e' CR.
Quindi rimuovendo $dotx_A$, ottieni $Gamma_A=ML^2/3$.
Se come polo prendi G, nella definizione stessa scritta da te si annulla $G-O$, quindi $Gamma_A=ML^2/12$.
La definizione si applica integralmente, senza semplificazioni, se prendi un qualsiasi polo, purche' fisso
Quindi vuoi dire che per $Gamma_A$ se rimuovo $dot(x)_A$ dalla seguente :
$Gamma_A = M(l/2 cos theta i + l/2sen theta j) xx [(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j] + 1/12ml^2k$
si ha:
$Gamma_A = M(l/2 cos theta i + l/2sen theta j) xx [(- l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j] + 1/12ml^2k$
$Gamma_A = M(l/2 cos theta i + l/2sen theta j) xx [(dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j] + 1/12ml^2k$
si ha:
$Gamma_A = M(l/2 cos theta i + l/2sen theta j) xx [(- l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j] + 1/12ml^2k$
Rimuivila dall'"espressione compattata" che hai scritto su.
Ok!
E quindi da questa:
$Gamma_A = M[(l/2 cos theta)^2 - (l/2sen theta)*(- l/2 dot(theta) sentheta ) + 1/12Ml^2] k$
come arrivi ad avere $Gamma_A = M(L^2)/3$ , questo?
Forse qui intendevi scrivere $Gamma_G=ML^2/12$, e comunque poi si tratta della formula tabulata per un asta di lunghezza $l$ e massa $M$ , vero?
E quindi da questa:
$Gamma_A = M[(l/2 cos theta)^2 - (l/2sen theta)*(- l/2 dot(theta) sentheta ) + 1/12Ml^2] k$
come arrivi ad avere $Gamma_A = M(L^2)/3$ , questo?
"professorkappa":
Se come polo prendi G, nella definizione stessa scritta da te si annulla $G-O$, quindi $Gamma_A=ML^2/12$.
Forse qui intendevi scrivere $Gamma_G=ML^2/12$, e comunque poi si tratta della formula tabulata per un asta di lunghezza $l$ e massa $M$ , vero?
"Antonio_80":
Ok!
E quindi da questa:
$Gamma_A = M[(l/2 cos theta)^2 - (l/2sen theta)*(- l/2 dot(theta) sentheta ) + 1/12Ml^2] k$
come arrivi ad avere $Gamma_A = M(L^2)/3$ , questo?
Fai semplicemente i conti.....
Oppure noti che per Steiner, $I_A=I_G+M(l^2/4)$
"Antonio_80":
Forse qui intendevi scrivere $Gamma_G=ML^2/12$, e comunque poi si tratta della formula tabulata per un asta di lunghezza $l$ e massa $M$ , vero?
Si, errore di copia-incolla. Era G, non A
Il momento angolare rispetto a un polo baricentrale fisso o mobile e' $I_G\omega$.
Bada che il valore di I non e' "tabulato". Si ricava molto semplicemente dalla definizione di momento di inerzia.
Io pensavo che avessi fatto calcoli per il momento di inerzia!
???
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