Quantità di moto

[Manox]

Salve a tutti ho difficoltà a risolvere questo esercizio:

Un punto materiale di massa $ M $ si muove con velocità costante $ V0 $ su di un piano orizzontale liscio quando, ad un
certo istante, si divide in due frammenti puntiformi di massa $ m_1 $ e $ m_2$ . Il moto dei due frammenti rimane sul piano orizzontale deviando dalla direzione iniziale del moto della massa $ M $ degli angoli alfa e beta (vedi figura https://ibb.co/cNBdQ6W) . Si assuma che la massa totale del sistema si conservi (cioè $ M = m_1 + m_2 $) e che le velocità dei due frammenti siano in modulo uguali $ |V_{f1}
| = |V_{f2}
| = V $. Si chiede di calcolare:
I valori dei rapporti tra le masse $ m_1/M$ e $m_2/M$.

Per risolverlo applico la conservazione della quantità di moto in orizzontale e in verticale:

$ MV_0 = (m_1cos(alpha) + m_2cos(beta))V $ ;
$ 0 = m_1sin(alpha) − m_2sin(beta) $

Per trovare il rapporto delle masse di dovrebbe semplificare il sistema e ottenere una formula con tutti seni e/o coseni ma non riesco a risolverlo. Ringrazio chiunque mi aiuti.

[Faussone]

@Manox

Dopo il sistema di equazioni che hai scritto la fisica è finita e si tratta solo di algebra e goniometria (in particolare puoi ricordare per semplificare ulteriormente le formulette tipo $sin (alpha+beta)= sin alpha * cos beta + sin beta * cos alpha$ e simili...)

PS: Ho sistemato un poco meglio la visualizzazione delle formule che hai scritto.

[Manox]

Grazie dell'aiuto, ma, di preciso, quali formule dovrei usare? Non riesco a risolvere il sistema con i dati che ho che sono questi:
$ V0 = 5 m⁄s; alfa = 30°; beta = 60° $

[Shackle]

Le equazioni che devi usare le hai già scritte, come ti ha detto Faussone è solo questione di algebra e trigonometria. Per di più, gli angoli sono particolarmente semplici, cioè sai che :

$senalpha = 1/2 = cos beta$

$sen beta = cosalpha = (sqrt3)/2$

Perciò hai :

$m_1 /2 = m_2(sqrt3)/2 $
$MV_0 = (m_1(sqrt3)/2 + m_2/2)V $

inoltre : $M = m_1+m_2 $

Se poni :

$x=m_1/M $ e $y = m_2/M $

hai tre equazioni in tre incognite $x,y,V$ .

SEi in grado di andare avanti ? Io ho trovato (salvo errori) :

$V = V_0 (1+sqrt3)/2$
$y=m_2/M = 1/(1+sqrt3) $
$x =m_1/M = sqrt3/(1+sqrt3) $

[Manox]

Si, ottengo il tuo risultato dopo essermi ricavato la formula di $ m1/M $ o $ m2/M $ da $ M=m1+m2 $ e averla sostituita nell'equazione della conservazione della quantità di moto in verticale (dopo aver diviso entrambi i membri di essa per $ M $ ) per trovarne i valori numerici che sostituisco nell'altra equazione della quantità di moto ( in orizzontale) per trovare $ V0 $. Dico bene?

[Shackle]

Si, ma non complicarti la vita più del necessario. La parte fisica del problema l’hai già risolta, se la soluzione ti è chiara non tornarci su. Rimane solo da risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite, come detto.