Quale frazione di ossigeno perde la Terra nel corso di un anno?
Esercizietto di meccanica statistica che non riesco a interpretare:
Nei punti che precedono la domanda ho calcolato la velocità media verticale di una molecola di Ossigeno (assumendo no urti per semplificare) e risulta circa $332$ $m/s$. Quindi, supponendo che parta dal suolo con questa velocità verticale, una molecola di ossigeno ci mette in media $t_m=6300$ $s$ per tornare al suolo. Ho poi calcolato la probabilità che una molecola di ossigeno abbia velocità superiore a quella di fuga ($11$ ${km}/s$) e la chiameremo $P_{v_t}$, è un numero molto piccolo, tanto che la mia calcolatrice scientifica da $0$ come risultato. A questo punto il problema mi chiede di calcolare la frazione di ossigeno che "scappa" dalla terra ogni anno supponendo che ogni molecola venga "termalizzata" nel momento in cui ritorna al suolo (quindi in media dopo un tempo $t_m$).
Qualche idea su come calcolare questa quantità? Non capisco come inserire il tempo nel calcolo siccome la probabilità che ho calcolato è la probabilità che una molecola abbia $v_t$ in qualsiasi momento.
(P.S. Anche se non ho messo tutti i calcoli, essendo un problema di meccanica statistica ho usato la densità di probabilità per la velocità verticale $\rho(v_z)=\sqrt(\frac{m}{2 \pi k_b T})\cdot e^{-\frac{v_z^2 m}{2 k_b T}}$ )
Nei punti che precedono la domanda ho calcolato la velocità media verticale di una molecola di Ossigeno (assumendo no urti per semplificare) e risulta circa $332$ $m/s$. Quindi, supponendo che parta dal suolo con questa velocità verticale, una molecola di ossigeno ci mette in media $t_m=6300$ $s$ per tornare al suolo. Ho poi calcolato la probabilità che una molecola di ossigeno abbia velocità superiore a quella di fuga ($11$ ${km}/s$) e la chiameremo $P_{v_t}$, è un numero molto piccolo, tanto che la mia calcolatrice scientifica da $0$ come risultato. A questo punto il problema mi chiede di calcolare la frazione di ossigeno che "scappa" dalla terra ogni anno supponendo che ogni molecola venga "termalizzata" nel momento in cui ritorna al suolo (quindi in media dopo un tempo $t_m$).
Qualche idea su come calcolare questa quantità? Non capisco come inserire il tempo nel calcolo siccome la probabilità che ho calcolato è la probabilità che una molecola abbia $v_t$ in qualsiasi momento.
(P.S. Anche se non ho messo tutti i calcoli, essendo un problema di meccanica statistica ho usato la densità di probabilità per la velocità verticale $\rho(v_z)=\sqrt(\frac{m}{2 \pi k_b T})\cdot e^{-\frac{v_z^2 m}{2 k_b T}}$ )
Risposte
Premesso che non so darti la soluzione del tuo problema
Andando nella direzione degli auspici fatti nella discussione (sezione Generale) sulla natura del forum (Q&A vs cummunity)
provo a fornire qualche idea.
- Forse bisognerebbe conoscere il testo completo (magari c'è qualche elemento utile che non hai detto).
- Poi tu hai calcolato la velocità verticale, ma perchè proprio verticale? La velocità di fuga non ha bisogno di essere verticale, basta che vada in qualche modo in su
- La velocità, verticale o no, dipende dalla temperatura, e quindi dall'altezza: bisognerà conoscere la temperatura al limite superiore dell'atmosfera, mi pare
- Poi, quel tempo che chiami di "termalizzazione", che se ho capito bene è il tempo di ricircolo, per salire al limite superiore e tornare indietro: l'hai trovato tu, o è dato? E devo dire che non vedo perchè sarebbe importante.
- Per come la vedo io, sfuggono le molecole che hanno una velocità superiore a quella di fuga dopo l'ultimo urto (perchè, se urtano ancora, hanno perso la loro occasione). Questo non saprei come impostarlo. Cercherei di coinvolgere il cammino libero medio, che varia con la pressione e l'altezza, ma qui si tratta di un cammino libero infinito, e come dirlo?
Andando nella direzione degli auspici fatti nella discussione (sezione Generale) sulla natura del forum (Q&A vs cummunity)
provo a fornire qualche idea.
- Forse bisognerebbe conoscere il testo completo (magari c'è qualche elemento utile che non hai detto).
- Poi tu hai calcolato la velocità verticale, ma perchè proprio verticale? La velocità di fuga non ha bisogno di essere verticale, basta che vada in qualche modo in su
- La velocità, verticale o no, dipende dalla temperatura, e quindi dall'altezza: bisognerà conoscere la temperatura al limite superiore dell'atmosfera, mi pare
- Poi, quel tempo che chiami di "termalizzazione", che se ho capito bene è il tempo di ricircolo, per salire al limite superiore e tornare indietro: l'hai trovato tu, o è dato? E devo dire che non vedo perchè sarebbe importante.
- Per come la vedo io, sfuggono le molecole che hanno una velocità superiore a quella di fuga dopo l'ultimo urto (perchè, se urtano ancora, hanno perso la loro occasione). Questo non saprei come impostarlo. Cercherei di coinvolgere il cammino libero medio, che varia con la pressione e l'altezza, ma qui si tratta di un cammino libero infinito, e come dirlo?
Ciao, grazie della risposta, cerco di fare un po' di chiarezza.
-L'esercizio innanzitutto chiede di considerare soltanto la componente verticale della velocità
-Il tempo di termalizzazione l'ho calcolato assumendo zero urti sapendo che la velocità verticale iniziale è 332 m/s come $t=2V/g$
-Tra le semplificazioni c'è quella di considerare la temperatura costante a $300$ $K$, so che è ultra irrealistico ma suppongo che l'esercizio serva solo per esercitarsi con il calcolo delle probabilità.
-Per il calcolo dell'ultimo punto chiede di supporre che le particelle non si urtino tra di loro ma urtino solo con il terreno e se urtano con il terreno si "termalizzano", cioè raggiungono la velocità media, quindi come dici tu perdono la loro occasione di fuggire.
EDIT: Forse è una cosa semplice del tipo: ogni 6300 secondi avviene un urto con probabilità P che la velocità risultante sia maggiore o uguale a quella terminale quindi conto gli urti in un anno $N_{urti}=\frac{S_{an no}}{6300}$, quindi il numero medio di molecole che riescono a sfuggire in un anno sarà $N_{urti} \cdot P$
-L'esercizio innanzitutto chiede di considerare soltanto la componente verticale della velocità
-Il tempo di termalizzazione l'ho calcolato assumendo zero urti sapendo che la velocità verticale iniziale è 332 m/s come $t=2V/g$
-Tra le semplificazioni c'è quella di considerare la temperatura costante a $300$ $K$, so che è ultra irrealistico ma suppongo che l'esercizio serva solo per esercitarsi con il calcolo delle probabilità.
-Per il calcolo dell'ultimo punto chiede di supporre che le particelle non si urtino tra di loro ma urtino solo con il terreno e se urtano con il terreno si "termalizzano", cioè raggiungono la velocità media, quindi come dici tu perdono la loro occasione di fuggire.
EDIT: Forse è una cosa semplice del tipo: ogni 6300 secondi avviene un urto con probabilità P che la velocità risultante sia maggiore o uguale a quella terminale quindi conto gli urti in un anno $N_{urti}=\frac{S_{an no}}{6300}$, quindi il numero medio di molecole che riescono a sfuggire in un anno sarà $N_{urti} \cdot P$
Ah, vabbè. Se le ipotesi sono queste (le chiami ultra irrealistiche, io userei un termine più colorito) allora va bene tutto.
Però non ho capito: praticamente tu consideri una molecola come un proiettile sparato verso l'alto, non urta niente, e il tempo di salita è quello che dici tu. Ma in questo modo, quando arriva in cima è fermo.
Se consideri che l'attraversamento dell'atmosfera non ha effetti, allora tanto vale chiedersi quante molecole, al suolo, hanno la velocità di fuga. Anzi, perchè solo al suolo? Tutte le molecole sono eleggibili, al suolo o no.
E poi, supporre che ci sia un urto, ossia un rimescolamento di carte, ogni 6300 s , quando sono invece dell'ordine, credo, dei milioni al secondo, vuol proprio dire mettersi nel mondo dei sogni.
Però non ho capito: praticamente tu consideri una molecola come un proiettile sparato verso l'alto, non urta niente, e il tempo di salita è quello che dici tu. Ma in questo modo, quando arriva in cima è fermo.
Se consideri che l'attraversamento dell'atmosfera non ha effetti, allora tanto vale chiedersi quante molecole, al suolo, hanno la velocità di fuga. Anzi, perchè solo al suolo? Tutte le molecole sono eleggibili, al suolo o no.
E poi, supporre che ci sia un urto, ossia un rimescolamento di carte, ogni 6300 s , quando sono invece dell'ordine, credo, dei milioni al secondo, vuol proprio dire mettersi nel mondo dei sogni.
Sì in effetti anche a me ha lasciato perplesso. Per onor di completezza lascio qui il testo dell'intero esercizio
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