Q.M. domande...
qualche domandina di meccanica quantistica:
1. Operatore traslazione infinitesima:
$fr T(dx)=1-i p/h dx$
(h dovrebbe essere "h tagliato in realtà, ma non so come farlo!!)
bene dalla definizione so che $fr T(dx)|x>$=$|x+dx>$
sapreste mostrarmelo usando la definizione dell'operatore che ho dato sopra (o meglio, che dà il Sakurai!), a me non torna!
2. Operatori Unitari:
dalla definizione un operatore è unitario, se, composto col suo hermitiano coniugato, dà l'operatore unità.
prima domanda: sapreste dimostrare che il determinante di un operatore unitario (scritto evidentemente in forma matriciale) vale 1?
seconda domanda:
sul libro, ma anche da altre parti, trovo scritto che in analogia con i numeri complessi, dato un operatore hermitiano A, a partire da questo si può costruire un operatore unitario, semplicemente facendone l'esponenziale complesso.
$A$ -> $e^(iA)$
Fin qui non ho particolari problemi, mi pare evidente che moltiplicando per il $e^(-iA)$ (A è hermitiano), ottengo 1..
la mia domanda è: qual'è la rappresentazione matriciale di questo nuovo operatore??? potete farmi qualche esempio?
grazie
il vecchio
1. Operatore traslazione infinitesima:
$fr T(dx)=1-i p/h dx$
(h dovrebbe essere "h tagliato in realtà, ma non so come farlo!!)
bene dalla definizione so che $fr T(dx)|x>$=$|x+dx>$
sapreste mostrarmelo usando la definizione dell'operatore che ho dato sopra (o meglio, che dà il Sakurai!), a me non torna!
2. Operatori Unitari:
dalla definizione un operatore è unitario, se, composto col suo hermitiano coniugato, dà l'operatore unità.
prima domanda: sapreste dimostrare che il determinante di un operatore unitario (scritto evidentemente in forma matriciale) vale 1?
seconda domanda:
sul libro, ma anche da altre parti, trovo scritto che in analogia con i numeri complessi, dato un operatore hermitiano A, a partire da questo si può costruire un operatore unitario, semplicemente facendone l'esponenziale complesso.
$A$ -> $e^(iA)$
Fin qui non ho particolari problemi, mi pare evidente che moltiplicando per il $e^(-iA)$ (A è hermitiano), ottengo 1..
la mia domanda è: qual'è la rappresentazione matriciale di questo nuovo operatore??? potete farmi qualche esempio?
grazie
il vecchio
Risposte
niente eh? proprio nessuno sa darmi qualche delucidazione? Ma possibile che le domande me la faccio tutte io??? 
ciao a tutti
il vecchio
ciao a tutti
il vecchio
In effetti il Sakurai, con la notazione bra-ket non è chiarissimo e diventa un po' prolisso. Per convincersi della forma dell'operatore di traslazione, conviene leggere il paragrafo del Landau sul momento. Per una trasformazione infinitesima si ha $\psi(vec(r)+\delta vec(r)) = \psi(vec(r)) + \delta vec(r) \cdot \grad \psi(vec(r)) = (1+\delta vec(r) \cdot grad) \psi(vec(r))$. È immediato vedere che il termine entro parentesi è proprio $1 - \frac{i}{\h} \delta vec(r) \cdot vec(p)$ (anche a me \hbar o \hslash non funziona). Tenendo conto che $|x> = \psi(vec(r))$, $|x+dx> = \psi(vec(r)+\delta vec(r))$ ...
Vale in generale $det(A)=det(A^+)$, e poichè per una matrice unitaria $det(A A^+)=det(I)=1$, $|det(A)|=1$. Che sia proprio $det(A)=1$ mi sembra un po' restrittivo.
In generale, un esponenziale di una matrice non si esprime come matrice in forma elementare.
Vale in generale $det(A)=det(A^+)$, e poichè per una matrice unitaria $det(A A^+)=det(I)=1$, $|det(A)|=1$. Che sia proprio $det(A)=1$ mi sembra un po' restrittivo.
In generale, un esponenziale di una matrice non si esprime come matrice in forma elementare.
tutto chiaro, grazie!
mi resta cmq la domanda dell'esponenziale...se l'esponenziale di una matrice è un operatore dovrei poterlo eprimere sottoforma di matrice no?
mi resta cmq la domanda dell'esponenziale...se l'esponenziale di una matrice è un operatore dovrei poterlo eprimere sottoforma di matrice no?
La definizione di esponenziale di matrice è ricondotta allo sviluppo in serie $e^A=\sum_n \frac{A^n}{n!}$, e questa relazione definisce una matrice ma in genere non è facile calcolarne gli elementi. Se ti interessa, ricordo alcuni casi in cui ci si riesce. Per esempio, per una matrice diagonale vale $exp((\lambda_1,0),(0,lambda_2))=((e^{\lambda_1},0),(0,e^{\lambda_1}))$, ed è anche possibile farlo per matrici nilpotenti, per esempio $A=((0,1),(0,0))$: poichè $A^2=0$, lo sviluppo in serie dà $e^A=I+A=((1,1),(0,1))$. Nel caso di matrici 2x2 antisimmetriche, con lo sviluppo si può dimostrare che $exp((x,-y),(y,x))=e^x((cosy,-siny),(siny,cosy))$.
PS. Nella risposta precedente ho perso un coniugio: vale in effetti $det(A) = (det(A^+))^(\star)$.
PS. Nella risposta precedente ho perso un coniugio: vale in effetti $det(A) = (det(A^+))^(\star)$.
chiarissimo...grazie!
volevo proporvi un'altra domanda...forse un pò più di carattere filosofico...
la funzione d'onda è diffusa in tutto lo spazio, cioè non ha più senso pensare la posizione di una particella
e questo si vede da esperimenti di doppia fenditura, ma sparando un elettrone alla volta; dato che si crea ugualmente una figura di interferenza significa che la funzione d'onda dell'elettrone interferisce con se stessa e perchè lo faccia ne segue che passa da entrambe le fenditure.
Perchè a seguito di una misura la funzione d'onda collassa in una autofunzione dell' osservabile cosa significa? cioè in teoria un osservabile applicato ad una funzione d'onda dovrebbe rendere una quantità che è proporzionale al coseno direttore della f d'onda lungo l'autofunzione
O*psi(x,t)= somme(Ci*Oi* ai(x,t)) dove Oi è l'autovalore associato alla autofunzione ai
la funzione d'onda è diffusa in tutto lo spazio, cioè non ha più senso pensare la posizione di una particella
e questo si vede da esperimenti di doppia fenditura, ma sparando un elettrone alla volta; dato che si crea ugualmente una figura di interferenza significa che la funzione d'onda dell'elettrone interferisce con se stessa e perchè lo faccia ne segue che passa da entrambe le fenditure.
Perchè a seguito di una misura la funzione d'onda collassa in una autofunzione dell' osservabile cosa significa? cioè in teoria un osservabile applicato ad una funzione d'onda dovrebbe rendere una quantità che è proporzionale al coseno direttore della f d'onda lungo l'autofunzione
O*psi(x,t)= somme(Ci*Oi* ai(x,t)) dove Oi è l'autovalore associato alla autofunzione ai
E' sostanzialmente come dici tu. Se prendi una generica funzione d'onda di una particella ad un grado di libertà (nessun altro vincolo) e, ad esempio, applichi l'operatore posizione, trovi la soluzione (che è un numero reale) come dici tu. Tuttavia tale valore è un autovalore dell'operatore, in corrispondenza del quale esiste un autostato. Infatti in questo caso lo spettro dell'operatore posizione è continuo.
P.
P.
Infatti in questo caso lo spettro dell'operatore posizione è continuo.
cosa intendi?
e il collasso della funzione d'onda dove avviene? e cosa implica?
ho trovato spiegazioni ma nessuna era soddisfacente secondo me...
Intendo dire che il numero di autostati e autovalori è infinito e continuo.
Il collasso della funzione d'onda è comunque un argomento che per la sua complessità (al di la dell'idea di base che senz'altro avrai afferrato visto che dici di esserti documentato, e che quindi non sto a ripeterti) non sono senz'altro in grado di spiegarti in maniera esauriente, tantopiu' che l'argomento è a tutt'oggi dibattuto. L'ultimo libro di Greene (Spazio, tempo e realtà) affronta l'argomento in maniera semplice e chiara.
Ciao
P.
Il collasso della funzione d'onda è comunque un argomento che per la sua complessità (al di la dell'idea di base che senz'altro avrai afferrato visto che dici di esserti documentato, e che quindi non sto a ripeterti) non sono senz'altro in grado di spiegarti in maniera esauriente, tantopiu' che l'argomento è a tutt'oggi dibattuto. L'ultimo libro di Greene (Spazio, tempo e realtà) affronta l'argomento in maniera semplice e chiara.
Ciao
P.
già, infatti in tutto quello che ho letto (documenti da internet devo trovare qualcosa di più formale) si parla di interazione tra sistemi macro e microscopici; ora, questa può essere a livello pratico una spiegazione, ma nella teoria questo collasso non dovrebbe avvenire (a meno di non considerare volutamente anche un'interferenza del sistema osservante), e non riesco a capire se in realtà cè qualche giustificazione matematica o no.
(Come per il principio di Heisenberg derivante dalla struttura di spazio Hilbertiano usata)
Purtroppo sono agli inizi e ho le idee un pò confuse
Grazie per il consiglio gli darò sicuramente un'occhiata.
Ciao
(Come per il principio di Heisenberg derivante dalla struttura di spazio Hilbertiano usata)
Purtroppo sono agli inizi e ho le idee un pò confuse
Grazie per il consiglio gli darò sicuramente un'occhiata.
Ciao
P.S. a proposito, qualcuno sa fornirmi le linee guida di una dimostrazione formale del principio di indeterminazione di Heisenberg?
".Pupe.":
Vedi ad es.
http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_ ... Heisenberg
Ciao
P.
ragionando per operatori Hermitiani [A,B]=i C dove anche C è Hermitiano
allo stesso modo /A,B/=D dove D operatore Hermitiano (non riesco a fare la graffa allora uso /)
quando arrivo al punto $<1/2(i*C+D)>^2$ non vedo perchè devo buttare via D che lo so calcolare e peggiorare così la stima...
vabbè cmq anche se la stima è molto approssimativa immagino serva solo per dire che non si possono restringere le incertezze a piacere...
grazie .Pupe.
il collasso è una cosa puramente sperimentale allora...confermate?
sto impazzendo con tutta questo materiale sulla quantistica... il prof ci ha dato delle linee guida ma non riesco a trovare libri soddisfacenti, lui ce li consiglia in inglese...
ma il libro di Dirac comè? me lo consigliate?
grazie .Pupe.
il collasso è una cosa puramente sperimentale allora...confermate?
sto impazzendo con tutta questo materiale sulla quantistica... il prof ci ha dato delle linee guida ma non riesco a trovare libri soddisfacenti, lui ce li consiglia in inglese...
ma il libro di Dirac comè? me lo consigliate?
Mah, sì e no, l'introduzione è molto pregevole ma a me è sembrato più ostico del famigerato Landau.
Che invece ti consiglio calorosamente.
Ti metti lì, con calma, senza fretta di voltar pagina!!!!
Lo leggi, lo rileggi, ancora lo leggi, poi ti rifai il discorso, ti riscrivi i passaggi e poi forse lo capisci, ma quando lo capisci sei il padrone, fidati!
Che invece ti consiglio calorosamente.
Ti metti lì, con calma, senza fretta di voltar pagina!!!!
Lo leggi, lo rileggi, ancora lo leggi, poi ti rifai il discorso, ti riscrivi i passaggi e poi forse lo capisci, ma quando lo capisci sei il padrone, fidati!
grazie maxos,
si mi piace capirle le cose...
ma parla anche di quantistica relativistica? e poi oltre a queste 2 teorie cosa cè? ho sentito parlare di quantum loop gravity che cos'è?...
scusate l'ignoranza quasi totale su questi argomenti...
riguardo alla stima di heisenberg e al collasso che mi dici? sai qualche giustificazione?
si mi piace capirle le cose...
ma parla anche di quantistica relativistica? e poi oltre a queste 2 teorie cosa cè? ho sentito parlare di quantum loop gravity che cos'è?...
scusate l'ignoranza quasi totale su questi argomenti...
riguardo alla stima di heisenberg e al collasso che mi dici? sai qualche giustificazione?
Ci sono diversi volumi del Landau, uno dei quali è dedicato proprio alla meccanica quantistica relativistica (ma è tra quelli che non ho letto).
Tuttavia per quanto riguarda la mia esperienza con gli altri volumi sono d'accordo con Maxos. Diro' di piu': in particolar modo ai tempi del dottorato trovavo spesso ottimi spunti per la soluzione di problemi che dovevo affrontare per il mio lavoro dai problemi svolti sul Landau. Nel senso che molto spesso se ero in difficoltà a risolvere alcuni problemi particolari spulciavo il Landau e saltava fuori l'idea (mi riferisco in particolare alla fluidodinamica).
P.
Tuttavia per quanto riguarda la mia esperienza con gli altri volumi sono d'accordo con Maxos. Diro' di piu': in particolar modo ai tempi del dottorato trovavo spesso ottimi spunti per la soluzione di problemi che dovevo affrontare per il mio lavoro dai problemi svolti sul Landau. Nel senso che molto spesso se ero in difficoltà a risolvere alcuni problemi particolari spulciavo il Landau e saltava fuori l'idea (mi riferisco in particolare alla fluidodinamica).
P.
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