Puro Rotolamento

[vivi996]

Buongiorno, sto preparando Fisica 2ed ho due esami che ho provato a svolgere, ma non sono sicura che il risultato sia corretto.
Elenco in ordine i due testi.

1°:
Una palla da biliardo di massa M e raggio R è colpita da una stecca inclinata di un angolo teta sul bordo (assumendo un sys di riferimento con l'origine nel punto di contatto e passante per il cm) di coordinate (-R,R) . Schematizzando il colpo come una forza impulsiva di durata molto breve I e sapendo che i coefficienti di attrito statico e cinematico sono mus e muc,calcolare:
1) L'angolo massimo teta0 tale per cui la velocità iniziale della palla è non nulla.
2) il tempo impiegato ad ottenere un moto di puro rotolamento se teta=teta0

Ok, l'impulso è l'integrale della forza nel tempo che è a sua volta uguale alla variazione di quantità di moto.
La forza che ho applicato ha due componenti, una orizzontale ,$Fcos\theta$ e una verticale $Fsin\theta$.
Adesso intuitivamente direi che la componente orizzontale di questa forza dev'essere maggiore della forza d'attrito per far si che si sposti. Ma non capisco bene come scomporre I dato che non è un vettore. E per la domanda dopo non posso usare la condizione di puro rotolamento che magari mi avrebbe aiutato trovando il momento angolare.

Per il secondo problema aspetto prima di capire questo.

[Faussone]

Secondo me l' angolo massimo oltre il quale la sfera non va più verso destra è circa 51gradi, il calcolo, per come la vedo io, va fatto considerando il coefficiente di attrito statico.
Se colpisco per esempio con angolo 53 gradi l'attrito statico impulsivo riesce a bilanciare l'impulso orizzontale del colpo e la sfera quindi solo ruoterà dopo l'urto in verso antiorario per cui non potrà muoversi verso destra.

[Shackle]

Alcuni giocatori di biliardo, dando colpi di stecca adeguati, sono in grado di far fare alla biglia praticamente ciò che vogliono. In particolare, mi sembra di capire che, con un colpo dall’alto verso il basso come nell'esercizio, la biglia vada sempre prima in avanti , poi si ferma e torna indietro. Questo è uno dei video che ho trovato, ma ce ne sono moltissimi:

https://www.youtube.com/watch?v=89djI54kXxw

[Faussone]

"Shackle": In particolare, mi sembra di capire che, con un colpo dall’alto verso il basso come nell'esercizio, la biglia vada sempre prima in avanti , poi si ferma e torna indietro. Questo è uno dei video che ho trovato, ma ce ne sono moltissimi:

Non va sempre avanti, dipende dall'angolo come illustrato da professorkappa.
Con lui solo non concordiamo sul coefficiente di attrito da considerare per il calcolo dell'angolo limite mi pare....

Poi se la biglia va avanti ruotando per così dire all'indietro, il fatto che dopo un po' torni o meno indietro dipende dai coefficienti di attrito e dai valori della velocità di rotazione e traslazione dopo il colpo.

[professorkappa]

@ Faussone.
Non concordo.

L'impostazione generale del problema e'

$(Icostheta-Isintheta)R=mvR+2/5momegaR^2$ [1]
$Icostheta+I_p=mv$ [2]

Se risolvi imponendo le condizioni di puro rotolamento $v=omegaR$ e $abs(I_p)
$tantheta>2/0.6$ che risolve per $theta>73.30$

Ora, armato di questa informazione cerchi la rotazione verso destra per il puro rotolamento, il che significa che deve essere verificata la [1] modificandola in

$(Icostheta-Isintheta)R>0$, equazione che verifica solo per $theta<45$, valore ovviamente non accettabile, quindi durante il MPR la biglia si muove sempre verso sx.

Quindi possiamo soddisfare la condizione di partenza verso destra solo durante il MRT, per cui [1] e [2] si riscrivono cosi

$(Icostheta-Isintheta)R=mvR+2/5momegaR^2$ [1]
$Icostheta+mu_dIsintheta=mv$ [2]

La risoluzione l'ho scritta nel mio primo intervento, e' $tantheta<1/mu_d$ da cui $theta<55.0$

[Shackle]

Non voglio entrare nel merito delle vostre analisi, non mi ci metto neppure con questo esercizio, che pone una domanda nebulosa. Qui di rotolamento puro secondo me non se ne parla proprio, se non quando la palla torna appunto all’indietro. Il problema equivale a dire che la biglia subisce inizialmente una velocità di traslazione $vecv_0$ , diretta verso destra in figura, e una velocità angolare $omega_0$ antioraria, che se fosse impressa da sola farebbe rotolare la palla verso sinistra. Hai mai giocato da ragazzo con una palla, lanciandola sul pavimento con una rotazione iniziale verso di te ? Non so se è chiaro...la palla va in avanti ma poi torna indietro.

Dammi tempo, che qualcosa trovo.

[professorkappa]

@ shackle, la nebulosita' si toglie sostituendo alla domanda del testo il suggerimento dato da Fauss, ovvero, per quale angolo la biglia parte verso dx.
Sotto questa premessa e con i numeri dell'esercizio, la risoluzione e' quella che ho dato poc'anzi (a meno di errori di concetto o di calcolo; mi basta rileviate i primi, quelli di calcolo si aggiustano).

Ho parecchia familiarita' con gli effetti delle palle di biliardo. Ci ho passato il dopo mensa universitario e dare effetti a partite alla Goriziana (con molto poco successo, devo dire, non ho mai calibrato il tiro).

Il rotolamento puro esiste, anche qui, se picchi la stecca verticalmente abbastanza da alzare il massimo attrito. Il problema e' che a quel punto hai poco impuslo in avanti, e la palla ti rotola all'indietro immediatamente a causa della rotazione antioraria impressa dalla componente verticale.

[Faussone]

@pk

Mi torna tutto, infatti concordi in pratica con quanto scritto qui.
Solo che la condizione limite per il moto verso destra per me va fatta con $mu_s$.


D'altronde se abbiamo un blocco su un piano (supponiamo in assenza di gravità) e applichiamo ad esso una forza orizzontale $F$ e una forza verticale $N$ che lo spinge sul piano allora il blocco non si muove fino a che
$F poi appena la forza supera quel valore limite inizia a muoversi e vale:

$m a = F-N mu_d$

Chi legge ci penserà e vedrà, credo che senza altri interventi di chi ha posto il problema posso chiudere qui.

EDIT: Precisato un po' meglio perchè va presa la $mu_s$ nella condizione limite.

[professorkappa]

"Faussone":
poi appena la forza supera quel valore limite inizia a muoversi e vale:

$m a = F-N mu_d$

Ma e' proprio questo il punto.
Se colpisci con un angolo inferiore a 73 gradi, la biglia rototrasla, non si muove di MRP, perche abbiamo detto che il MRP puo avvenire solo se la colpisci tra 73 e 90 gradi.
Pertanto tutti cioo' che attiene a $0

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[Faussone]

@pk
Temo stiamo allungando inutilmente questa discussione....

Faccio solo notare che in quelle condizioni sono d'accordo ad usare $mu_d$ per determinare il moto una volta assodato come avvenga, il punto è che l'angolo di transizione limite per avere velocità iniziale verso destra va determinato, per me, usando il $mu_s$ come per l'anologia del blocco.

[professorkappa]

Nemmeno a me va di allungarla, però occorre capirsi.
L esempio del blocco è corretto ma fuorviante: se la F fosse impulsiva hai un transitorio brevissimo in cui agisce $mu_s$. Talmente breve da poterlo trascurare e dover scrivere tutto con attrito dinamico. La forza F(t) schizza oltre il valore massimo ammissibile in tempo nullo a tutti gli effetti pratici.
È ovviamente difficile valutare cosa succede durante il tempo dell'urto, ma la gran parte del fenomeno urto averrebbe in condizioni dinamiche.
È il motivo per cui se dai un colpo a un corpo incastrato riesci a sbloccarlo: si instaura immediatamente l' attrito dinamico, quello statico dura per una frazione molto ma molto bassa del tempo totale di impulso.
Mi fermo anche io; a prescindere dalla diversità di vedute, quando un esercizio fa discutere in maniera propositiva, resta un ottimo spunto per far ragionare chi legge.