Punto materiale in moto
ciao a tutti.
ecco un esercizio che non riesco a fare
un punto materiale si muove in un piano lungo una curva di equazione $ρ=2ρ_0/(1+cosθ)$ con velocità avente modulo costante $v$.
determinare la traiettoria in forma cartesiana, detta $P'$ la proiezione del punto sull'asse x determinare l'equazione finta del moto e l'equazione differenziale del moto di P'
il mio problema è ricavare l'equazione cartesiana.. non so some muovermie
ecco un esercizio che non riesco a fare
un punto materiale si muove in un piano lungo una curva di equazione $ρ=2ρ_0/(1+cosθ)$ con velocità avente modulo costante $v$.
determinare la traiettoria in forma cartesiana, detta $P'$ la proiezione del punto sull'asse x determinare l'equazione finta del moto e l'equazione differenziale del moto di P'
il mio problema è ricavare l'equazione cartesiana.. non so some muovermie
Risposte
Usando le coordinate polari mi sembra venga una parabola con vertice distante $\rho_0$ dal centro ...
"marixg":
il mio problema è ricavare l'equazione cartesiana...
La curva è espressa in forma polare $\rho(\theta)$. Ricordando che:
\[
\begin{cases}
\rho = \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
\end{cases}
\]
e sostituendo nell'equazione parametrica polare puoi ricavare la forma cartesiana $g(x,y) = 0$
sostituendo ottengo:
$(x^2+y^2)^(1/2)-2p_0((x^2+y^2)^(1/2))/(1+x)=0$ è giusto?
per trovare l'equazione differenziale del moto di P' come si procede?
$(x^2+y^2)^(1/2)-2p_0((x^2+y^2)^(1/2))/(1+x)=0$ è giusto?
per trovare l'equazione differenziale del moto di P' come si procede?
L'equazione è quasi giusta, a me viene: \[ g(x,y) := \sqrt{x^2 + y^2} - \frac{2p_0}{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}} = 0\]
Volendo poi con un po' di calcoli potresti esplicitare la $y$...
L'equazione del moto la puoi ottenere integrando la velocità
Volendo poi con un po' di calcoli potresti esplicitare la $y$...
L'equazione del moto la puoi ottenere integrando la velocità
"Emar":
La curva è espressa in forma polare $\rho(\theta)$. Ricordando che:
\[
\begin{cases}
\rho = \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
\end{cases}
\]
e sostituendo nell'equazione parametrica polare puoi ricavare la forma cartesiana $g(x,y) = 0$
come si ottengono queste relazioni?
la velocità radiale è la derivata di ρ ed è : $(x+y)/(x^2+y^2)^(1/2)$
la velocità trasversa invece è ρ per la derivata di θ e mi viene:
$(x^2+y^2)^(1/2)cos^(-2)(x/(x^2+y^2)^(1/2))sen^(-1)(x/(x^2+y^2)^(1/2))(y(y-x)(x^2+y^2)^(1/2))$
giusto?
la velocità trasversa invece è ρ per la derivata di θ e mi viene:
$(x^2+y^2)^(1/2)cos^(-2)(x/(x^2+y^2)^(1/2))sen^(-1)(x/(x^2+y^2)^(1/2))(y(y-x)(x^2+y^2)^(1/2))$
giusto?
"marixg":
[quote="Emar"]La curva è espressa in forma polare $\rho(\theta)$. Ricordando che:
\[
\begin{cases}
\rho = \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
\end{cases}
\]
e sostituendo nell'equazione parametrica polare puoi ricavare la forma cartesiana $g(x,y) = 0$
come si ottengono queste relazioni?[/quote]
Tali relazioni si ottengono da semplici osservazioni geometriche. Prova a disegnare gli assi cartesiani e poi un sistema di riferimento polare. Il raggio $\rho$ non sarà altro che la distanza dal centro, ovvero quel che ho scritto e $x$ (cateto), sarà l'ipotenusa, ovvero $\rho$, moltiplicato il coseno dell'angolo compreso $\theta$. Invertendo la formula ottieni la seconda che ho scritto.
"marixg":
la velocità radiale è la derivata di ρ...
Non ho capito che calcoli hai fatto nell'ultimo messaggio... Mi sembra che tu stia confondendo l'aspetto geometrico con quello cinematico.
gia' hai ragione .. faccio confusione.. potresti aiutarmi a fare chiarezza?
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