Punto materiale con accelerazione dipendente da velocità
Salve a tutti, quesito di fisica I:
Si consideri un punto materiale in moto con accelerazione $a=-kv$ dove $k=4s^-1$ Si ricavi la legge oraria assumendo che inizialmente il punto materiale si trovi nell'origine con velocità $ v_0=3 m/s$ . In quanto tempo la particella si ferma? Qual è la distanza percorsa in tale intervallo?
La mia strategia: $a=(dv)/dt$ $rArr$ $-kv=(dv)/dt$ separo le variabili, ottengo $-kdt=(dv)/v$ integro ambo i membri: -$-k\int_(t_0)^t dt'$ = $\int_(v_0)^v (dv')/(v')$ $rArr$ $-k(t-t_0)=logv-logv_0$ $rArr$ $-kt = log (v/(v_0))$ e qui sorge il problema in quanto questa funzione non è definita in $v=0$ (il punto si ferma). La funzione $v(t)$, da integrare ricavando la legge oraria sarebbe: $v=v_0e^(-kt)$
Sbaglio l'integrazione o sono sulla buona strada? Grazie.
Si consideri un punto materiale in moto con accelerazione $a=-kv$ dove $k=4s^-1$ Si ricavi la legge oraria assumendo che inizialmente il punto materiale si trovi nell'origine con velocità $ v_0=3 m/s$ . In quanto tempo la particella si ferma? Qual è la distanza percorsa in tale intervallo?
La mia strategia: $a=(dv)/dt$ $rArr$ $-kv=(dv)/dt$ separo le variabili, ottengo $-kdt=(dv)/v$ integro ambo i membri: -$-k\int_(t_0)^t dt'$ = $\int_(v_0)^v (dv')/(v')$ $rArr$ $-k(t-t_0)=logv-logv_0$ $rArr$ $-kt = log (v/(v_0))$ e qui sorge il problema in quanto questa funzione non è definita in $v=0$ (il punto si ferma). La funzione $v(t)$, da integrare ricavando la legge oraria sarebbe: $v=v_0e^(-kt)$
Sbaglio l'integrazione o sono sulla buona strada? Grazie.
Risposte
Ciao. A me sembra corretto quanto hai fatto, si potrebbe dare una risposta alla domanda posta dal quesito con un tollerabile abuso di linguaggio (peraltro frequente in Fisica) ammettendo che la velocità si annulli quando $t$ è $+infty$, sulla base del fatto che la velocità tende a zero per $t to+infty$. Lo spazio percorso diventa allora il limite, sempre per $t to +infty$, della funzione posizione $s(t)$, che peraltro risulta finito, salvo errori miei.
Ciao, grazie per la risposta! Quindi in pratica la particella si ferma in un tempo infinito...
Per quanto riguarda lo spazio percorso, andando nuovamente a integrare mi ritrovo con $s(t)=v_0/-K(e^(-kt)-e^(-kt_0) )$ che per $t to +infty$ con $t_0=0$ dovrebbe fare $3/4$ ... Spazio percorso in tempo infinito 0.75m
Per quanto riguarda lo spazio percorso, andando nuovamente a integrare mi ritrovo con $s(t)=v_0/-K(e^(-kt)-e^(-kt_0) )$ che per $t to +infty$ con $t_0=0$ dovrebbe fare $3/4$ ... Spazio percorso in tempo infinito 0.75m
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