Punti lungo l'asse tra due cariche puntiformi.

[J. Shepard]

q (+)------------------------(+) 2q

Si trovino, se esistono, i punti lungo l'asse del sistema di cariche puntiformi in figura, nei quali:

a) Il potenziale elettrico V sia nullo.

b) Il campo elettrico E sia nullo.


Vorrei esporre le mie considerazioni come ho fatto in altri problemi ma qui non so nemmeno da dove partire. Quanlcuno può aiutarmi?

[J. Shepard]

[alephy]

Basta scrivere l'espressione del potenziale nei punti dell'asse, e non penso che tu abbia difficoltà fin qui. Il potenziale sarà dunque funzione di x. Adesso poni tutto uguale a zero, e trovi le soluzioni in x. Stessa cosa per il campo elettrico, dato che nei punti dell'asse è diretto proprio lungo l'asse stesso.
Ricorda però che il potenziale dipende soltanto dal modulo della distanza tra la carica e un certo punto, e le due cariche sono dello stesso segno...può quindi annullarsi?

[naffin]

Non sai da dove partire? Non sai scrivere campo e potenziale di due cariche puntiformi?

[J. Shepard]

Così va bene?

a)
Deve essere V(x) = 0, dove

V(x) = V1(x) + V2(x) = Kq / |x| + K(2q) / |d - x|.

Pertanto:

Kq / |x| + K(2q) / |d - x| = 0, cioè:

1 / |x| + 2 / |d - x| = 0

Ma questa è un'equazione impossibile, dato che ciascuno dei due addendi è positivo e quindi la loro somma non può dare 0.

Non esiste quindi alcun punto dell'asse del sistema nel quale il potenziale elettrico sia nullo.

b)
Dev'essere E(x) = E1(x) + E2(x) = 0. Dobbiamo distinguere:

{x < 0
{E(x) = - Kq / x^2 - K(2q) / (d - x)^2 = 0
U
{0 < x < d
{E(x) = Kq / x^2 - K(2q) / (d - x)^2 = 0
U
{x > d
{E(x) = Kq / x^2 + K(2q) / (d - x)^2 = 0, cioè:

{x < 0
{-1 / x^2 - 2 / (d - x)^2 = 0
U
{0 < x < d
{1 / x^2 - 2 / (d - x)^2 = 0
U
{x > d
{1 / x^2 + 2 / (d - x)^2 = 0.

Ma il primo e il terzo sistema sono impossibili dato che somma di termini concordi, mai nulla.
Rimane allora il sistema centrale:

{0 < x < d
{1 / x^2 - 2 / (d - x)^2 = 0

{0 < x < d
{(d - x)^2 - 2x^2 = 0

{0 < x < d
{d^2 - 2dx - x^2 = 0

x^2 + 2dx - d^2 = 0

Δ/4 = d^2 + d^2 = 2d^2 = (√2d)^2

{0 < x < d
{x1 = - (1 + √2)d V x2 = (√2 - 1) d

Esiste quindi un solo punto sull'asse del sistema nel quale il suo campo elettrico sia nullo e tale punto si trova fra le due cariche a distanza:

x = (√2 - 1) d ≈ 0,414 d

da quella di sinistra (d = distanza fra le due cariche)...