Proiezione velocità di un punto lungo piano inclinato

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti.

Un dubbio di natura teorica sui vettori.

Supponiamo di avere un piano inclinato di un angolo $pi/4$ e di altezza $h$.






Sulla cima di questo piano inclinato viene lanciato un punto materiale con velocità $V_0$ diretta unicamente lungo l'orizzontale.
Fissiamo un SDR con origine nel punto dove si trova inizialmente il punto materiale, con asse $x$ diretto lungo l'orizzontale (verso destra) ed asse $y$ lungo la verticale (verso l'alto).
L'unica forza in gioco sarà la forza peso (si trascura la forza d'attrito viscoso).
Il punto materiale cadrà sul piano inclinato.
Viene chiesto di calcolare la proiezione del vettore velocità sul piano inclinato al momento dell'impatto.


Supponendo di avere il valore delle componenti del vettore velocità lungo $x$ e lungo $y$
ovvero

$dot(x)(t_f)= alpha$
$dot(y)(t_f)= beta$

come posso calcolare tale proiezione? pur conoscendo i moduli ed il verso, non so quale sarà la direzione del vettore velocità quando il punto materiale impatterà sul piano inclinato.

[CLaudio Nine]

"Shackle":Guarda la mia figura per favore. Tenuto conto che : $sen(\pi/4) = cos (\pi/4)= sqrt2/2$ , si ha :

$v_(x’) = (v_x + v_y) sqrt2/2$
$v_(y’) = (v_y-v_x) sqrt2/2 $

Ripeto l’invito a studiare per bene il calcolo vettoriale, se vuoi arrivare a padroneggiare la materia.

Grazie mille Shackle! Oggi mi sono dato alla geometria analitica tutto il giorno.

Correggimi se sbaglio, se ne hai voglia:

Se ho un due assi ortogonali $x$ ed $y$ ed un vettore $vecv_1$ di componenti $v_(1x); v_(1y)$
e voglio effettuare una rotazione di un angolo $vartheta$ di tale vettore, avrò che le componenti si trasformeranno in

$v_(1x)'= v_(1x) cos(vartheta) - v_(1y) sin(vartheta)$
$v_(1y)'= v_(1x) sin(vartheta) + v_(1y) cos(vartheta)$

tu hai scritto:
$v_(x’) = (v_x + v_y) sqrt2/2$
$v_(y’) = (v_y-v_x) sqrt2/2 $

perché $vartheta= -pi/4$, giusto?

[Gabrio2]

Perche' il seno e il coseno di $pi/4$ e $-pi/4$ quanto valgono?
Certo

[Shackle]

Guarda, io non me le ricordo mai a memoria le trasformazioni di coordinate per rotazione degli assi !

Preferisco guardare la figura e ricavarle direttamente , come ho fatto anche stavolta. Comunque , leggiti questo :

http://www1.mat.uniroma1.it/people/garr ... ione13.pdf

trovi le trasformazioni a pag 134

NB : le componenti di un vettore che ha il primo estremo nell’origine sono le coordinate del secondo estremo.

voglio effettuare una rotazione di un angolo ϑ di tale vettore

la rotazione non è del vettore, é delle coordinate .

[Gabrio2]

Ma no sono facili, basta ricordare come e' fatta la matrice antisimmetrica delle rotazioni, che poi è legata ai numeri complessi.

[Shackle]

Certo che sono facili. Talmente facili che non vale la pena ricordarsele a memoria; io me le ricavo ogni volta.
Ma con Claudio non è il caso di parlare di matrici di rotazione e numeri complessi, meglio parlare di triangoli rettangoli.

[CLaudio Nine]

Grazieeeeeeee