Proiezione velocità di un punto lungo piano inclinato
Ciao a tutti.
Un dubbio di natura teorica sui vettori.
Supponiamo di avere un piano inclinato di un angolo $pi/4$ e di altezza $h$.
Sulla cima di questo piano inclinato viene lanciato un punto materiale con velocità $V_0$ diretta unicamente lungo l'orizzontale.
Fissiamo un SDR con origine nel punto dove si trova inizialmente il punto materiale, con asse $x$ diretto lungo l'orizzontale (verso destra) ed asse $y$ lungo la verticale (verso l'alto).
L'unica forza in gioco sarà la forza peso (si trascura la forza d'attrito viscoso).
Il punto materiale cadrà sul piano inclinato.
Viene chiesto di calcolare la proiezione del vettore velocità sul piano inclinato al momento dell'impatto.
Supponendo di avere il valore delle componenti del vettore velocità lungo $x$ e lungo $y$
ovvero
$dot(x)(t_f)= alpha$
$dot(y)(t_f)= beta$
come posso calcolare tale proiezione? pur conoscendo i moduli ed il verso, non so quale sarà la direzione del vettore velocità quando il punto materiale impatterà sul piano inclinato.
Un dubbio di natura teorica sui vettori.
Supponiamo di avere un piano inclinato di un angolo $pi/4$ e di altezza $h$.
Sulla cima di questo piano inclinato viene lanciato un punto materiale con velocità $V_0$ diretta unicamente lungo l'orizzontale.
Fissiamo un SDR con origine nel punto dove si trova inizialmente il punto materiale, con asse $x$ diretto lungo l'orizzontale (verso destra) ed asse $y$ lungo la verticale (verso l'alto).
L'unica forza in gioco sarà la forza peso (si trascura la forza d'attrito viscoso).
Il punto materiale cadrà sul piano inclinato.
Viene chiesto di calcolare la proiezione del vettore velocità sul piano inclinato al momento dell'impatto.
Supponendo di avere il valore delle componenti del vettore velocità lungo $x$ e lungo $y$
ovvero
$dot(x)(t_f)= alpha$
$dot(y)(t_f)= beta$
come posso calcolare tale proiezione? pur conoscendo i moduli ed il verso, non so quale sarà la direzione del vettore velocità quando il punto materiale impatterà sul piano inclinato.
Risposte
Orienta l'asse x verso destra e l'asse y verso il basso, sicché la retta a cui appartiene l'ipotenusa abbia equazione y=x.
Il punto materiale, lanciato con velocità $v_0hati$ , descrive la solita traiettoria parabolica. Calcola le coordinate del punto di intersezione di questa parabola con la retta $y=x$ , e hai quindi le coordinate del punto di impatto P.
Dopo di che, il vettore velocità in P ha componente orizzontale sempre uguale a $v_0$ , e componente verticale...
Il punto materiale, lanciato con velocità $v_0hati$ , descrive la solita traiettoria parabolica. Calcola le coordinate del punto di intersezione di questa parabola con la retta $y=x$ , e hai quindi le coordinate del punto di impatto P.
Dopo di che, il vettore velocità in P ha componente orizzontale sempre uguale a $v_0$ , e componente verticale...
"Shackle":
Orienta l'asse x verso destra e l'asse y verso il basso, sicché la retta a cui appartiene l'ipotenusa abbia equazione y=x.
Il punto materiale, lanciato con velocità $v_0hati$ , descrive la solita traiettoria parabolica. Calcola le coordinate del punto di intersezione di questa parabola con la retta $y=x$ , e hai quindi le coordinate del punto di impatto P.
Dopo di che, il vettore velocità in P ha componente orizzontale sempre uguale a $v_0$ , e componente verticale...
Buongiorno Shackle! Grazie per la tua risposta.
Nelle prime 4 righe chiarissimo.
Non capisco le ultime 2.
Come fa, il vettore velocità ad avere componente orizzontale uguale a $v_0$ nel momento dell'impatto?
$v_0$ sarà la mia velocità iniziale di "lancio", orientata unicamente lungo l'orizzontale.
Quando tale punto materiale andrà ad impattare contro il piano inclinato, mi aspetto che avrà una velocità lungo l'orizzontale del tutto diversa da $v_0$ (e calcolabile derivando la legge oraria lungo $x$).
Dato che non capisco questo passaggio, non so ricavarmi neanche la componente verticale e completare dunque la tua frase.
Risposta brevissima, sono impegnato. Conosci il moto parabolico dei gravi? Immagina per ora un piano orizzontale di impatto per il grave. Quando arriva a terra, quali sono le componenti della velocità?
"Shackle":
Risposta brevissima, sono impegnato. Conosci il moto parabolico dei gravi? Immagina per ora un piano orizzontale di impatto per il grave. Quando arriva a terra, quali sono le componenti della velocità?
Ciao Shackle, penso che tu abbia tirato fuori la mia lacuna.
"Quando arriva a terra, quali sono le componenti della velocità?"
Non lo so. Hai qualche testo/argomento da consigliarmi?
Risposta lampo 
: del moto dei gravi sono pieni i libri di fisica 1 , ma anche questo forum, usa "cerca..."
Scusa ma ora è proprio impossibile.
: del moto dei gravi sono pieni i libri di fisica 1 , ma anche questo forum, usa "cerca..." Scusa ma ora è proprio impossibile.
"Shackle":
Risposta lampo
Scusa ma ora è proprio impossibile.
Ci mancherebbe Shackle, anche troppo gentile!!
Ti aiuto. Guarda la figura :
Ignora, per ora, la bisettrice $y=x$.
Lancia un proiettile con velocità iniziale $vecv_0 = v_(0x)hati$, da una certa altezza H rispetto al suolo, rappresentato con linea tratteggiata orizzontale; nel moto del proiettile, si ha che la componente orizzontale della velocità, in ogni punto, rimane uguale a quella iniziale : $v_x = v_(0x) $ , e questo vale in ogni punto della traiettoria parabolica, anche nel punto P di impatto col suolo. LA componente verticale vale invece : $v_y = sqrt(2gy) $ , in ogni punto di ordinata $y$ , e questo dovresti capirlo da solo. Quindi in P essa vale $sqrt(2gH)$ .
Hai dunque le componenti della velocità nel punto P di impatto col suolo. Ora, se P giace sulla bisettrice $y=x$ , cambia qualcosa nelle componenti cartesiane di $vecV_P$ ? Evidentemente NO . Si tratta quindi di passare dalle componenti cartesiane alle componenti in un riferimento con origine in P e assi ruotati di $\pi/4$ rispetto agli assi $(x,y)$. In sostanza, uno degli assi ruotati è la stessa retta $y=x$ , l’altro è perpendicolare a questa in P .
È solo una questione di geometria analitica.
Ignora, per ora, la bisettrice $y=x$.
Lancia un proiettile con velocità iniziale $vecv_0 = v_(0x)hati$, da una certa altezza H rispetto al suolo, rappresentato con linea tratteggiata orizzontale; nel moto del proiettile, si ha che la componente orizzontale della velocità, in ogni punto, rimane uguale a quella iniziale : $v_x = v_(0x) $ , e questo vale in ogni punto della traiettoria parabolica, anche nel punto P di impatto col suolo. LA componente verticale vale invece : $v_y = sqrt(2gy) $ , in ogni punto di ordinata $y$ , e questo dovresti capirlo da solo. Quindi in P essa vale $sqrt(2gH)$ .
Hai dunque le componenti della velocità nel punto P di impatto col suolo. Ora, se P giace sulla bisettrice $y=x$ , cambia qualcosa nelle componenti cartesiane di $vecV_P$ ? Evidentemente NO . Si tratta quindi di passare dalle componenti cartesiane alle componenti in un riferimento con origine in P e assi ruotati di $\pi/4$ rispetto agli assi $(x,y)$. In sostanza, uno degli assi ruotati è la stessa retta $y=x$ , l’altro è perpendicolare a questa in P .
È solo una questione di geometria analitica.
Che e' un ottimo metodo
$v_x =v_(x') cos(vartheta) -v_(y') sin(vartheta) $
$v_y=v_(x') sin(vartheta) +v_(y') cos(vartheta) $
Come vedi e' un prodotto tra un vettore e una particolare matrice di rotazione di SO(2)
$v_x =v_(x') cos(vartheta) -v_(y') sin(vartheta) $
$v_y=v_(x') sin(vartheta) +v_(y') cos(vartheta) $
Come vedi e' un prodotto tra un vettore e una particolare matrice di rotazione di SO(2)
"Shackle":
..
Hai dunque le componenti della velocità nel punto P di impatto col suolo. Ora, se P giace sulla bisettrice $y=x$ , cambia qualcosa nelle componenti cartesiane di $vecV_P$ ? Evidentemente NO . Si tratta quindi di passare dalle componenti cartesiane alle componenti in un riferimento con origine in P e assi ruotati di $\pi/4$ rispetto agli assi $(x,y)$. In sostanza, uno degli assi ruotati è la stessa retta $y=x$ , l’altro è perpendicolare a questa in P .
È solo una questione di geometria analitica.
Okay, giustamente la velocità lungo $x$ rimane uguale perché non ho accelerazione lungo $x$, mentre la velocità lungo $y$ avrà un certo valore a causa dell'accelerazione $g$.
Passo quindi dal sistema di riferimento iniziale ad uno ruotato di 45 gradi.
Dato che uno degli assi ruotati è perpendicolare alla retta $y=x$, la proiezione della sua componente sarà zero, mentre la componente dell'altro asse sarà il valore della proiezione.
Sbaglio?
ricordando che
$dot(x)(t_f)= alpha$
$dot(y)(t_f)= beta$
Se avessi mantenuto gli assi $x$ orizzontale ed $y$ verticale iniziali, sarebbe stato sbagliato scrivere:
$sqrt((alpha cos(45°))^2 + (beta cos(135°))^2)$
?
Perché dici che la componente di $vecv$ sulla normale al piano inclinato è nulla? Sarebbe come dire che la velocità è parallela al piano inclinato! No, la parabola interseca il p.i. Fatti una bella figura, e ragiona meglio sugli angoli!
"Shackle":
Perché dici che la componente di $vecv$ sulla normale al piano inclinato è nulla? Sarebbe come dire che la velocità è parallela al piano inclinato! No, la parabola interseca il p.i. Fatti una bella figura, e ragiona meglio sugli angoli!
Buongiorno Shackle!
la componente di $vecv$ sulla normale al piano inclinato non è nulla,
però se ho una componente lungo la verticale ed una componente lungo l'orizzontale, ed effettuo una rotazione di 45°, avrò una componente lungo la normale al piano ed una componente tangente al piano.
Dal momento in cui la proiezione della componente normale al piano sul piano è nulla (sono perpendicolari), posso concludere che la proiezione della velocità sul piano sarà uguale alla sola componente tangente al piano. No?
Ma perché non applichi le trasformazioni, le hanno create apposta per semplificati la vita.
"Gabrio":
Ma perché non applichi le trasformazioni, le hanno create apposta per semplificati la vita.
Perché non ho mai visto queste trasformazioni.
la componente di $vecv$ sulla normale al piano inclinato non è nulla,
però se ho una componente lungo la verticale ed una componente lungo l'orizzontale, ed effettuo una rotazione di 45°, avrò una componente lungo la normale al piano ed una componente tangente al piano.
si , certo, e sono quelle che devi determinare, ma se non fai una figura buona, non vedi come fare!
Dal momento in cui la proiezione della componente normale al piano sul piano è nulla (sono perpendicolari), posso concludere che la proiezione della velocità sul piano sarà uguale alla sola componente tangente al piano. No?
Non ho capito che ragionamento fai. Le due componenti $v_x$ e $v_y$ originali, che ho messo sul disegno, danno entrambe i propri contributi alle due componenti $v_(x’)$ e $v_(y’)$ sugli assi x’ e y’ , ruotati di 45º rispetto ai precedenti .
Comunque , non occorre neppure determinare le componenti nel riferimento ruotato, basta un po’ di geometria elementare. Guarda la figura seguente: detto $alpha$ l’angolo di impatto con un ideale suolo orizzontale passante per P : $tg\alpha = v_y/v_x $ , l’angolo di impatto col piano inclinato di 45º è uguale a $beta = alpha -45º$ .
"Shackle":
...
okay, le Le due componenti originali danno entrambe i propri contributi alle due componenti $v_x’$ e $v_y’$ sugli assi $x’$ e $y’$, ruotati di 45º rispetto ai precedenti, sono d'accordo.
Ma, dal momento che ciò che mi interessa è "calcolare la proiezione del vettore velocità sul piano inclinato al momento dell'impatto", e dato che $y'$ e $v_y'$ sono perpendicolari a tale piano, mi basterà $v_x'$. No?
Se ti interessa solo $v_(x’)$ , certo che ti basta. Ma la cosa interessante sarebbe capire, se per esempio il proiettile lanciato fosse una palla, come poi rimbalza questa palla, quindi in realtà ti serve tutta la velocità $vecv$ , e l’angolo che forma col piano inclinato, ovvero con la normale.
"Shackle":
Se ti interessa solo $v_(x’)$ , certo che ti basta. Ma la cosa interessante sarebbe capire, se per esempio il proiettile lanciato fosse una palla, come poi rimbalza questa palla, quindi in realtà ti serve tutta la velocità $vecv$ , e l’angolo che forma col piano inclinato, ovvero con la normale.
Shackle, provo a generalizzare la situazione perché il mio è proprio un problema con i vettori:
Se ho un vettore con due componenti lungo due assi generici $x$ e $y$ e devo calcolare la proiezione di questo vettore lungo un asse che forma un angolo $phi$ con $x$, come si fa?
Mettiamo caso che, per esempio,
$v_x=alpha$
$v_y=beta$
$phi=pi/6$
In generale , si fa con le formule di trasformazione delle componenti , per rotazione degli assi. Ma aiutati col disegno, perchè la figura dice molto, come nel caso del disegno che ho fatto io. Sapresti trovare le componenti di $vecv$ rispetto agli assi $(x’,y’)$ ruotati di $\pi/4$ ?
Sono come le formule di trasformazione delle coordinate cartesiane per rotazione degli assi, la traslazione non c’entra. Si ricavano con la trigonometria.
Ma se hai di queste lacune, ti conviene prendere una dispensa di calcolo vettoriale , o anche geometria analitica, e guardartelo . Ce ne sono a bizzeffe sul web.
Sono come le formule di trasformazione delle coordinate cartesiane per rotazione degli assi, la traslazione non c’entra. Si ricavano con la trigonometria.
Ma se hai di queste lacune, ti conviene prendere una dispensa di calcolo vettoriale , o anche geometria analitica, e guardartelo . Ce ne sono a bizzeffe sul web.
"Shackle":
In generale , si fa con le formule di trasformazione delle componenti , per rotazione degli assi. Ma aiutati col disegno, perchè la figura dice molto, come nel caso del disegno che ho fatto io. Sapresti trovare le componenti di $vecv$ rispetto agli assi $(x’,y’)$ ruotati di $\pi/4$ ?
Sono come le formule di trasformazione delle coordinate cartesiane per rotazione degli assi, la traslazione non c’entra. Si ricavano con la trigonometria.
Ma se hai di queste lacune, ti conviene prendere una dispensa di calcolo vettoriale , o anche geometria analitica, e guardartelo . Ce ne sono a bizzeffe sul web.
Ciao Shackle, un po' mi sto vergognando per avere ancora questi problemi con i vettori.
Comunque ho ragionato un po' con un amico e abbiamo risolto in questo modo (posto immagine scritta da lui sulla quale concordiamo)
Io non capisco ancora come mai questi esercizi vengono risolti scrivendo (chiamando $veci$ e $vecj$ i versori degli assi $x$ ed $y$, ed essendo l'angolo uguale a $pi/4$):
$(veci- vecj)/sqrt(2)$
questa parte proprio non la capisco.
Guarda la mia figura per favore. Tenuto conto che : $sen(\pi/4) = cos (\pi/4)= sqrt2/2$ , si ha :
$v_(x’) = (v_x + v_y) sqrt2/2$
$v_(y’) = (v_y-v_x) sqrt2/2 $
cioè devi proiettare ciascuna componente sull’ asse x’ ovvero y’ , e sommarle algebricamente. Questo è un caso particolare, poiché l’angolo che gli assi con apice formano con quelli senz’apice è di 45º . Altrimenti, per un angolo generico di rotazione ci vuole un po’ piú di trigonometria, ma non è la fine del mondo.
Comunque va bene anche quello che hai scritto tu , e cioè, con i tuoi simboli : $v_(x’) = v_f cosgamma $ , Togli il punto su $v_f$, il punto indica una derivata rispetto al tempo.
Ripeto l’invito a studiare per bene il calcolo vettoriale, se vuoi arrivare a padroneggiare la materia.
$v_(x’) = (v_x + v_y) sqrt2/2$
$v_(y’) = (v_y-v_x) sqrt2/2 $
cioè devi proiettare ciascuna componente sull’ asse x’ ovvero y’ , e sommarle algebricamente. Questo è un caso particolare, poiché l’angolo che gli assi con apice formano con quelli senz’apice è di 45º . Altrimenti, per un angolo generico di rotazione ci vuole un po’ piú di trigonometria, ma non è la fine del mondo.
Comunque va bene anche quello che hai scritto tu , e cioè, con i tuoi simboli : $v_(x’) = v_f cosgamma $ , Togli il punto su $v_f$, il punto indica una derivata rispetto al tempo.
Ripeto l’invito a studiare per bene il calcolo vettoriale, se vuoi arrivare a padroneggiare la materia.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo