Proiettile scagliato da moto rotatorio

[Falco5x]

Buongiorno a tutti.
Propongo il sottostante problema, per risolvere il quale ho dovuto sudare parecchio, non tanto nello scrivere le relazioni tra le grandezze fisiche in gioco, quanto piuttosto nel risolvere l'equazione differenziale finale, che mi ha richiesto parecchi artifici (e ho avuto anche un po' di fortuna).
Allora mi sono detto: possibile che non esista una via più breve della mia per risolvere questo problema?
Lo propongo dunque per invitare chi volesse cimentarsi a esporre la sua via di soluzione, e se sarà più breve e agevole della mia gliene sarò grato, e sarà un contributo utile per tutti.

(la mia soluzione non la metto qui subito per non influenzare; la metterò più avanti per confrontare i risultati)

Problema
Una guida tubolare liscia di lunghezza R = 0,5 m e di massa trascurabile è vincolata a un estremo sull'asse verticale di un motore, che la mette pertanto in rotazione su un piano orizzontale.
A metà della guida è inserito un proiettile di massa m = 0,01 Kg, che può scorrere nella guida senza attrito.
Il motore, inizialmente fermo, all'istante t = 0 inizia a mettere in rotazione la guida tubolare in senso antiorario, comunicando alla stessa una potenza costante pari a P = 4,86 KW
Al tempo t = tf (tempo finale), il proiettile raggiunge l'estremo della guida e viene proiettato all'esterno con velocità vf (velocità finale).
Determinare il modulo di questa velocità finale vf

[Falco5x]

"Shackle":L’energia non può essere “trasferita “ in tempo zero, mi spiace:

$Fdt = mdv$

Ah no? E allora cosa succede quando una palla da biliardo in movimento colpisce una seconda palla ferma di uguale massa in un moto unidimensionale? L'energia della prima palla non viene integralmente trasferita alla seconda palla in tenpo zero?
Ovviamente è una astrazione della realtà ma ci permette di fare i calcoli teorici.

(ma io so che tu ne sai quanto e piu di me, perché insisti a farmi scrivere spiegazioni inutili?!)

La mia soluzione la posto quando il profkappa mi dirà che ha esaurito i suoi nobili tentativi.

[Shackle]

Una cosa è la realtà, un’altra è l’astrazione dalla realtà. Il trasferimento dell’energia NON avviene in tempo zero. L’astrazione la fai per fare i conti, ma non esiste alcuna azione istantanea, in fisica classica. Io non mi metterei a giocare col prodotto $0*\infty$ , in fisica. Se riprendi a bassa velocità un urto di una pallina su un muro, ti accorgi che , nel $\Deltat$ del contatto, si deforma la pallina e il muro, si creano onde sonore e quindi pure l’arla si deforma (lasciatemi dire così). Insomma succedono un sacco di cose.
Ma noi supponiamo che l’urto sia istantaneo, per fare i conti.

[Falco5x]

Bene. A questo punto direi di smetterla di dire cose che sappiamo benissimo entrambi e attendiamo il placet di profkappa per palesare i miei calcoli.

[professorkappa]

Placeo, placeo.
Per I prossimi 2 o 3 giorni non mi ci posso dedicare.
Tu posta con spoiler magari, sono curioso se riesco a trovare una via, ma in tutta onestà la vedo dura.

[Falco5x]

Bene allora procedo.
Anticipo il risultato: $v_f=90m/s$
In spoiler i dettagli di calcolo.

$$\eqalign{
& {E_r}{\text{ energia totale}}{\text{, }}{K_r}{\text{ energia cinetica e }}{U_r}{\text{ energia potenziale nel sistema relativo rotante}} \cr
& r{\text{ distanza del proiettile dal centro di rotazione}}{\text{, }}\dot r{\text{ velocita' radiale del proiettile}}{\text{, }}m{\text{ massa del proiettile}} \cr
& \Omega {\text{ velocita' angolare della rotazione del motore}}{\text{, }}\ddot r{\text{ accelerazione radiale del proiettile}} \cr
& {\text{L momento angolare del proiettile}} \cr
& \tau {\text{ momento torcente del motore}} \cr
& K{\text{ energia cinetica totale del proiettile}} \cr
& P{\text{ potenza costante}} \cr
& R{\text{ lunghezza della guida rotante}} \cr
& \frac{R}
{2}{\text{ distanza iniziale del proiettie dal centro}} \cr
& {t_f}{\text{ tempo finale}}{\text{, nel quale il proiettile esce dalla guida rotante}} \cr
& {K_f}{\text{ energia cinetica finale (proiettile uscente dalla guida)}} \cr
& {v_f}{\text{ velocita' finale del proiettile}} \cr} $$
$$\eqalign{
& {E_r} = {K_r} + {U_r} = 0 \cr
& {K_r} = {1 \over 2}m{{\dot r}^2} \cr
& - {{d{U_r}} \over {dr}} = m{\Omega ^2}r = {{d{K_r}} \over {dr}} = m\ddot r \cr
& L = m\Omega {r^2} \cr
& {{dL} \over {dt}} = m\dot \Omega {r^2} + 2m\Omega r\dot r = \tau \cr
& \tau = {P \over \Omega } \cr
& \left\{ \matrix{
m\ddot r = {{d{K_r}} \over {dr}} = m{\Omega ^2}r \hfill \cr
m\dot \Omega {r^2} + 2m\Omega r\dot r = {P \over \Omega } \hfill \cr} \right. \cr
& P = \left( {m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}{r^2} + 2m{\Omega ^2}r} \right)\dot r = \left( {m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}{r^2} + 2{{d{K_r}} \over {dr}}} \right)\dot r \cr
& {{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}} = 2m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}r + m{\Omega ^2} \cr
& {{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}r = 2m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}{r^2} + m{\Omega ^2}r = 2m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}{r^2} + {{d{K_r}} \over {dr}} \cr
& {1 \over 2}{{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}r - {1 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}} = m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}{r^2} \cr
& P = \left( {m\Omega {{d\Omega } \over {dr}}{r^2} + 2{{d{K_r}} \over {dr}}} \right)\dot r = \left( {{1 \over 2}{{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}r - {1 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}} + 2{{d{K_r}} \over {dr}}} \right)\dot r = \left( {{1 \over 2}{{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}r + {3 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}}} \right)\dot r \cr
& Pdt = \left( {{1 \over 2}{{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}r + {3 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}}} \right)dr \cr
& \int {r{{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}dr} = r{{d{K_r}} \over {dr}} - \int {{{d{K_r}} \over {dr}}dr} = r{{d{K_r}} \over {dr}} - {K_r} \cr
& K = \int_0^t {Pdt = {1 \over 2}\int_0^r {{{{d^2}{K_r}} \over {d{r^2}}}rdr} } + {3 \over 2}\int_0^r {{{d{K_r}} \over {dr}}dr} = {1 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}}r - {1 \over 2}{K_r} + {3 \over 2}{K_r} = {1 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}}r + {K_r} \cr
& K = {1 \over 2}{{d{K_r}} \over {dr}}r + {K_r} \cr
& {K_r} = {1 \over 2}m{{\dot r}^2} \cr
& {{d{K_r}} \over {dr}} = m\dot r{{d\dot r} \over {dr}} = m\dot r{{d\dot r} \over {dt}}{{dt} \over {dr}} = m{{\dot r\ddot r} \over {\dot r}} = m\ddot r \cr
& K = {1 \over 2}m\ddot rr + {1 \over 2}m{{\dot r}^2} \cr
& \ddot rr + {{\dot r}^2} - {{2K} \over m} = 0 \cr
& {{d\left( {r\dot r} \right)} \over {dt}} - {{2K} \over m} = 0 \cr
& K = Pt \cr
& \int_0^\zeta {d\left( {r\dot r} \right)} = {{2P} \over m}\int_0^t {tdt} \cr
& r\dot r = r{{dr} \over {dt}} = {P \over m}{t^2} \cr
& \int_{{R \over 2}}^r {rdr} = {P \over m}\int_0^t {{t^2}dt} \cr
& {{{r^2}} \over 2} - {{{R^2}} \over 8} = {P \over m}{{{t^3}} \over 3} \cr
& t = \root 3 \of {{{3m} \over {2P}}\left( {{r^2} - {{{R^2}} \over 4}} \right)} \cr
& {t_f} = \root 3 \of {{{3m} \over {2P}}\left( {{R^2} - {{{R^2}} \over 4}} \right)} = \root 3 \of {{{9m{R^2}} \over {8P}}} \cr
& {K_f} = P{t_f} = {1 \over 2}\root 3 \of {9m{P^2}{R^2}} = {1 \over 2}m{v_f}^2 \cr
& {v_f} = \root 3 \of {{{3PR} \over m}} \cr
& P = 4,86KW\quad R = 0,5m\quad m = 0,01Kg \cr
& {v_f} = 90{m \over s} \cr} $$

[Palliit]

A me integrando il sistema differenziale era uscito: $v_F=3/4 ((3PR)/m)^(1/3)$, devo aver fatto qualche casino.

[Falco5x]

"Palliit":

A me integrando il sistema differenziale era uscito: $v_F=3/4 ((3PR)/m)^(1/3)$, devo aver fatto qualche casino.

Beh a parte il 3/4 i risultati sono uguali. Potrei anche aver fatto io il casino
Ma tu che metodo hai usato per integrare? più rapido del mio?

[Palliit]

Più rapido non lo so, dipende da quanto scrivi in fretta .

Dette:

(1) $" "d/(dt)(omegar^2)=P/(momega)" "$,

(2) $" "omega^2r=ddotr" "to" "(omegar^2)^2=ddotr*r^3" "$;

derivando quest'ultima rispetto al tempo (indico con $dotddotr$ la derivata terza) hai:

(2.bis) $" "2omegar^2*d/(dt)(omegar^2)=dotddotr*r^3+3ddotr*r^2*dotr" "$;

semplifichi per $r^2$ e sostituisci a primo membro la (1):

$2omega*P/(momega)=dotddotr*r+3*ddotr*dotr" "$;

per l'espressione a secondo membro hai:

$dotddotr*r+3*ddotr*dotr=d/(dt)(ddotr*r)+2*ddotr*dotr" "=d/(dt)(ddotr*r+dotr^2)" "=d^2/(dt^2)(r*dotr)" "=1/2d^3/(dt^3)(r^2)" "$,

che in buona sostanza porta a: $" "d^3/(dt^3)(r^2)=(4P)/m" "$.


Integri tre volte e trovi:

$" "r^2(t)=(2P)/(3m)t^3+C_1t^2+C_2t+C_3" "$;

le tre costanti le fissi con le condizioni al contorno: $r(0)=R/2$ , $dotr(0)=ddotr(0)=0" "$(se non sbaglio la pallina parte da ferma e con $omega$ iniziale nulla, per cui dalla (2) si deduce che ha anche accelerazione nulla), per cui dovrebbe risultare:

(3) $" "r^2(t)=(2P)/(3m)t^3+R^2/4" "$;

dalla richiesta: $r^2(t_F)=R^2" "$ ottieni:$" "t_F=1/2root(3)((9mR^2)/P)" "$;

derivando la (3) hai: $" "2*r*dotr=(2P)/mt^2" "$ che per $t=t_F" "$dà per $v=dotr$ quanto ho scritto prima.

Salvo miei errori, ovviamente.

EDIT:

un errore l'ho già visto, $dotr$ è solo la componente radiale della velocità. Ma una volta trovato $t_F$ , si calcola il lavoro compiuto dal motore come $P*t_F$ ed uguagliandolo all'energia cinetica si trova $v_F$ , che in effetti non ha quel $3/4$ del risultato che ho postato.

[Falco5x]

OK Palliit!
Tutte le strade portano a Roma.
(se si trovano strade utili).

[professorkappa]

"Palliit":Più rapido non lo so, dipende da quanto scrivi in fretta .

Dette:

(1) $" "d/(dt)(omegar^2)=P/(momega)" "$,

(2) $" "omega^2r=ddotr" "to" "(omegar^2)^2=ddotr*r^3" "$;

derivando quest'ultima rispetto al tempo (indico con $dotddotr$ la derivata terza) hai:

(2.bis) $" "2omegar^2*d/(dt)(omegar^2)=dotddotr*r^3+3ddotr*r^2*dotr" "$;

semplifichi per $r^2$ e sostituisci a primo membro la (1):

$2omega*P/(momega)=dotddotr*r+3*ddotr*dotr" "$;

per l'espressione a secondo membro hai:

$dotddotr*r+3*ddotr*dotr=d/(dt)(ddotr*r)+2*ddotr*dotr" "=d/(dt)(ddotr*r+dotr^2)" "=d^2/(dt^2)(r*dotr)" "=1/2d^3/(dt^3)(r^2)" "$,

che in buona sostanza porta a: $" "d^3/(dt^3)(r^2)=(4P)/m" "$.


Integri tre volte e trovi:

$" "r^2(t)=(2P)/(3m)t^3+C_1t^2+C_2t+C_3" "$;

le tre costanti le fissi con le condizioni al contorno: $r(0)=R/2$ , $dotr(0)=ddotr(0)=0" "$(se non sbaglio la pallina parte da ferma e con $omega$ iniziale nulla, per cui dalla (2) si deduce che ha anche accelerazione nulla), per cui dovrebbe risultare:

(3) $" "r^2(t)=(2P)/(3m)t^3+R^2/4" "$;

dalla richiesta: $r^2(t_F)=R^2" "$ ottieni:$" "t_F=1/2root(3)((9mR^2)/P)" "$;

derivando la (3) hai: $" "2*r*dotr=(2P)/mt^2" "$ che per $t=t_F" "$dà per $v=dotr$ quanto ho scritto prima.

Salvo miei errori, ovviamente.

EDIT:

un errore l'ho già visto, $dotr$ è solo la componente radiale della velocità. Ma una volta trovato $t_F$ , si calcola il lavoro compiuto dal motore come $P*t_F$ ed uguagliandolo all'energia cinetica si trova $v_F$ , che in effetti non ha quel $3/4$ del risultato che ho postato.

Ecco, vedi ad arrendersi? Ho intrapreso esattamente questa strada, ma arrivato alla derivata terza mi son detto "ma va, non puo' essere, e quando mai la risolvo una differenziale cosi?" e ho mollato li . Vabbe;, complimenti a entrambi, ho dovuto alzare bandiera bianca.

[Falco5x]

"professorkappa":[Ecco, vedi ad arrendersi? Ho intrapreso esattamente questa strada, ma arrivato alla derivata terza mi son detto "ma va, non puo' essere, e quando mai la risolvo una differenziale cosi?" e ho mollato li . Vabbe;, complimenti a entrambi, ho dovuto alzare bandiera bianca.

Capisco perfettamente. Io non considero nemmeno le derivate terze, mi spaventano già abbastanza le seconde. Mi fossi incamminato sulla strada di Palliit sarei tornato indietro. Sono un pavido!
Buona giornata a tutti.