Proiettile scagliato da moto rotatorio

[Falco5x]

Buongiorno a tutti.
Propongo il sottostante problema, per risolvere il quale ho dovuto sudare parecchio, non tanto nello scrivere le relazioni tra le grandezze fisiche in gioco, quanto piuttosto nel risolvere l'equazione differenziale finale, che mi ha richiesto parecchi artifici (e ho avuto anche un po' di fortuna).
Allora mi sono detto: possibile che non esista una via più breve della mia per risolvere questo problema?
Lo propongo dunque per invitare chi volesse cimentarsi a esporre la sua via di soluzione, e se sarà più breve e agevole della mia gliene sarò grato, e sarà un contributo utile per tutti.

(la mia soluzione non la metto qui subito per non influenzare; la metterò più avanti per confrontare i risultati)

Problema
Una guida tubolare liscia di lunghezza R = 0,5 m e di massa trascurabile è vincolata a un estremo sull'asse verticale di un motore, che la mette pertanto in rotazione su un piano orizzontale.
A metà della guida è inserito un proiettile di massa m = 0,01 Kg, che può scorrere nella guida senza attrito.
Il motore, inizialmente fermo, all'istante t = 0 inizia a mettere in rotazione la guida tubolare in senso antiorario, comunicando alla stessa una potenza costante pari a P = 4,86 KW
Al tempo t = tf (tempo finale), il proiettile raggiunge l'estremo della guida e viene proiettato all'esterno con velocità vf (velocità finale).
Determinare il modulo di questa velocità finale vf

[Shackle]

Chi non muore si rivede...

Dai un'occhiata a questi due link :


viewtopic.php?f=19&t=137615&hilit=disco+scanalatura&start=10#p875762

fisica-newtoniana-t96913.html?hilit=%20fisica%20newtoniana#p645353

il secondo è quello citato nel primo.

[Falco5x]

Ciao Shackle, [ot]il più contento per non essere morto sono ovviamente io .
Sono tornato un po' per nostalgia, un po' perché i motivi che mi avevano indotto ad andarmene mi sembrano decaduti... o almeno lo spero, starò in guardia.[/ot]
Venendo al mio problema: la novità è che qui non si conservano né la velocità angolare, né l'energia, né il momento angolare. L'unica grandezza che rimane costante è la potenza fornita dal motore, è questo il guizzo di novità che mi ha fatto davvero sudare nel trovare la soluzione analitica. L'ho trovata alla fine, ma a prezzo di arzigogoli abbastanza lunghi. Ma io non sono un bravo matematico, ho il dubbio di essermi complicato inutilmente la vita.
Vuoi provare a risolverlo? prendilo come un invito a fare meglio di quanto non sia riuscito a fare io (nel senso di trovare una via più breve della mia). Un invito allargato ovviamente a chiunque voglia partecipare.

[Shackle]

Vuoi provare a risolverlo?

Ci guarderò. Ora però devo pensare a guarire, ieri mi sono operato di cataratta...Chi dice che è una cosa da nulla? Posso stare al computer ( ma non dovrei) solo pochissimo tempo.

Quindi nel tuo problema solo la potenza del motore è costante...Uhmmm...

[Falco5x]

[ot]

"Shackle":ieri mi sono operato di cataratta...Chi dice che è una cosa da nulla?

'azz....
forse a me tocca a novembre...

Paura! [/ot]

[Shackle]

[ot]Guarda , questa è la seconda che faccio. Per fortuna non ho tre occhi... LA prima l'ho fatta 5 anni fa, e fu molto brigosa e complicata , per una serie di problemi di antica data che non ti dico ( specie traumi sul lavoro, ma lasciamo stare...), per cui la vissi come una faccenda alquanto seria, e lo era. Questa di ieri era una "cosa normale" , ed in effetti il chirurgo ha finito in 10/15 minuti.
Ma il brutto viene dopo , con l'occhio che brucia e a volte dà delle fitte , come se ti piantassero degli aghi ....Però il secondo giorno va già molto meglio , via, oggi rispetto a ieri è quasi un paradiso... [/ot]

[professorkappa]

@Falco
Beato te. Io ho scritto l'equazione (una) ma dopo 3 ore e 30 secondi, ho gettato la spugna. Mi farebbe piacere vedere come l'hai risolta.

Il sistema a cui arrivo, in 30 secondi. usando le equazioni della dinamica:

$m(rdotomega+2omegadotr)omegar=P$
$omega^2r=ddotr$

Le 3 ore per (non) risolverlo....
Non trovo altre equazioni

Alle stesse equazioni arrivo usando energia e momento angolare. Il che mi conforta, ma non mi risolve il sistema.

[Falco5x]

Ti ringrazio per i tentativi caro Prof., riconosco la mia bastardaggine per aver postato un problema del genere. Sono perfettamente conscio di averlo risolto per pura botta di c..o, che non voglio qui assolutamemte spacciare per mia bravura (in matematica sono abbastanza una frana). Adesso non ho tempo, spero di farcela in giornata a postare la soluzione. A presto!

P.s. la tua impostazione del sistema differenziale mi pare corretta.

[professorkappa]

Invece è un bel problemino. Aspetta a postare la soluzione. Sto guidando, ma forse ci sono arrivato...

[Falco5x]

"professorkappa":Sto guidando, ma forse ci sono arrivato...

attento a non tamponare qualcuno, ragionare di fisica finché si guida non è proibito ma nemmeno raccomandato!

[professorkappa]

Ok, l'intuizione mi e' venuta in macchina (non preoccuparti, il messaggino e' stato scritto in pausa caffe' )

Uso lo spoiler, just in case.

Dunque, correggimi se sbaglio:
basta notare che la prima equazione e' la derivata di $omegar^2$

Quindi da $[d(omegar^2)]/[dt]=P/m$, integrando si trova

$omegar^2=P/mt+C$

All'istante t=0 la velocita' angolare e' nulla quindi $C=0$ indipendentemente da $r(0)$ da cui $omega=[Pt]/[mr^2]$

Sostituendo nella seconda

$[P^2t^2]/[m]=[d dotr]/[dt]r^3$

Integrando entrambi i membri, a sx avremo $int([P^2t^2]/[2m]dt)=[P^2t^3]/[6m]+C$

Mentre a dx, integrando per parti si ha $int([d dotr]/[dt]r^3)=r^3dotr-r^3$

Integrando nuovamente

$[P^2t^4]/[24m]+Ct+B$

E a destra, sempre per parti,

$int(r^3dotr-r^3)=1/3r^4-1/4r^4=1/12r^4$

Da cui

$r^4=[P^2t^4]/[2m]+Ct+B$

Con le condizioni al contorno t=0

A questo punto, avendo r(t), non dovrebbe essere complicato ottenere da $omega=[Pt]/[mr^2]$ anche la $omega(t)$ (sembra essere un integrale notevole, ma a dire il vero non l'ho fatto, potrebbe essere anche piu' difficile con quella radice quarta).

La difficolta' stava a vedere che la prima equazione e' la derivata di $omegar^2$, cosa che mi e' proprio sfuggita.
Il resto e' un calcolo molto laborioso ma non difficilissimo (integrazione per parti 2 volte rompe un po'...)

Comunque non e' un esercizietto facile facile

Fammi sapere se ho commesso qualche grossolano errore o se la tua via e' piu' facile!

Un caro saluto; come ha datto Shackle, ci mancavi (non l'ha detto, ma si capiva)

[Falco5x]

"professorkappa":Dunque, correggimi se sbaglio:
basta notare che la prima equazione e' la derivata di $omegar^2$

Quindi da $[d(omegar^2)]/[dt]=P/m$, integrando si trova

$omegar^2=P/mt+C$

Mi fermo qui perché ho subito una difficoltà.
io direi:
$$\eqalign{
& {{d\left( {\omega {r^2}} \right)} \over {dt}} = \dot \omega {r^2} + 2\omega r\dot r \cr
& {{d\left( {\omega {r^2}} \right)} \over {dt}} = {P \over {m\omega }} \cr} $$

che poi è come dire semplicemente che la derivata del momento angolare è il momento delle forze (o coppia).
Nella tua espressione mi pare che manchi la $\omega$ a denominatore sotto la P...
Che dici?

[professorkappa]

Dico che mi e' saltato un quadrato, credo nel trascrivere da carta.

Correggo il post precedente!!!

[professorkappa]

Hai ragione tu. Mi e' saltato un omega che invalida l'integrale.
Tutto da rifare

[Shackle]

Non so se è risolvibile. 3 vecchi ingegneri come noi dovrebbero sapere che la potenza è uguale alla coppia per la velocità angolare : $ P = C\omega$ . Se $P= "cost" $, è tuttavia il prodotto di due variabili . Forse perché vedo poco...( ) [nota]In miglioramento, il problema ora sono gli occhiali che non vanno più bene , né da lontano né da vicino...[/nota], ma non vedo una seconda condizione per $C$ e $\omega$.
Consiglio : prendete $m=1$ , vi liberate di zavorra inutile.

Scrivo poco, scusate, cosí mi affatico.

[Falco5x]

"Shackle":Non so se è risolvibile. 3 vecchi ingegneri come noi ....

1. E' risolvibile visto che ho risolto , anche se a prezzo di "simpatiche" tortuosità che presto sarò felice di condividere con voi, anche se so che tenterete subito di smontarmele Non capisco cosa vuoi dire quando affermi che manca una condizione. Se la potenza è costante (cioè è un gradino da t=0 in poi), e si dice che la $\omega$ parte da zero, la coppia parte da infinito. Spero che ciò non sconvolga nessuno perché assume immediatamente valori finiti. La singolarità è solo per t=0 e basta. Ma forse non ho capito l'osservazione.
2. m=1 non mi piace perché mi sballa la dimensionalità delle equazioni, cosa che dovrebbe far rabbrividire ogni ingegnere.
3. Vecchi sarete voi, io sono diversamente giovane.

[Shackle]

L’osservazione è proprio quella, lo scalino iniziale, che mi dà disturbo. Non c’è transitorio in questa macchina? Mmm...
Assumere m=1 faciliterebbe solo la scrittura, non porta scompiglio nelle grandezze fisiche in gioco. Ma sei libero di fare come vuoi, ci mancherebbe!
Ho preparato forbici, lamette, asce...

[Falco5x]

"Shackle":L’osservazione è proprio quella, lo scalino iniziale, che mi dà disturbo. Non c’è transitorio in questa macchina? Mmm...

Il fatto che la coppia sia infinita solo per t=0 disturba forse meno che avere una forza impulsiva in un problema di urti. In quest'ultimo caso infatti l'impulso è ad area finita perché trasmette quantità di moto finita, e quindi energia finita diversa da zero in tempo zero. Nel caso della presente coppia invece si tratta di un impulso ad area zero perché se avesse area finita produrrebbe in tempo zero un momento angolare diverso da zero. Ma questo non può essere perché altrimenti l'energia avrebbe un gradino, mentre invece è una rampa lineare.
Insomma finché potenza ed energia sono funzioni limitate, la plausibilità fisica non è in discussione, a mio parere (forse).

[Shackle]

Il fatto che la coppia sia infinita solo per t=0 disturba forse meno che avere una forza impulsiva in un problema di urti. In quest'ultimo caso infatti l'impulso è ad area finita perché trasmette quantità di moto finita, e quindi energia finita diversa da zero in tempo zero.

Come fa un impulso a trasmettere energia finita , diversa da zero, in tempo zero

[Falco5x]

"Shackle":

Il fatto che la coppia sia infinita solo per t=0 disturba forse meno che avere una forza impulsiva in un problema di urti. In quest'ultimo caso infatti l'impulso è ad area finita perché trasmette quantità di moto finita, e quindi energia finita diversa da zero in tempo zero.

Come fa un impulso a trasmettere energia finita , diversa da zero, in tempo zero

Se un corpo riceve un urto (teorico) viene sollecitato da una forza F impulsiva. L'area di questo impulso (in un grafico F-t) è pari alla quantità di moto assunta istantaneamente dal corpo immediatamente dopo l'urto. Cioè il corpo assume istantaneamente una velocità V, e quindi una energia cinetica finita.
E' ovvio però che questa energia non viene dal nulla, proviene dal sistema che urta il corpo, quindi non viene prodotta in tempo zero (altrimenti il sistema fornitore avrebbe potenza infinita) ma solo trasferita in tempo zero. Questo volevo dire.

[Shackle]

L’energia non può essere “trasferita “ in tempo zero, mi spiace:

$Fdt = mdv$

Non c’ era bisogno della spiegazione...Posta la tua soluzione, va’ !