Proiettare accelerazione di un punto che si muove su una circonferenza (dubbio facile?!?)

[giovi095]

ciao a tutti ragazzi, scrivo perché mi sto perdendo su un bicchier d'acqua.

stavo risolvendo un esercizio che mi chiedeva di trovare l'equazione pura del moto, e avendo trovato le coordinate lagrangiane di questo devo cercare di proiettare l'accelerazione lungo la direzione tangenziale e radiale.

il problema è (in sintesi) "una circonferenza su cui sono liberi di scorrere su di essa 2 punti P e Q, che sono legati tra loro da una molla di costante $k > 0$. é comunque data una forza $\vec F = (x - y)e_1 + 2(x-y)e_2$ che contiene la forza peso, ma non considera la forza elastica e non c'è attrito.

la domanda è trovare le equazioni pure di equilibrio, e le equazioni pure del moto.

per la prima, ho definito 2 coordinate lagrangiane, $q_1 = \alpha, q_2 = \beta$, ottenendo quindi i vettori OP e OQ in questo modo:

$OP =R(cos\alphae_1 + sen\alphae_2)$
$OQ = R(-sen\betae_1 + cos\betae_2)$

ho controllato se la forza è coservativa oppure non lo è, di conseguenza (se fossi in $RR^3$ dal momento che il suo dominio è un insieme semplicemente connesso avrei dovuto calcolare il suo rotore e vedere se è $=0$), in questo caso, invece, non è necessario e basta fare ${\partialF_1}/{\partial y} = {\partial F_2}/{\partial x}$

facendo i calcoli, ci si rende conto che le 2 quantità calcolate, non sono uguali, quindi la forza non è conservativa.

ora per calcolare le equazioni pure di equilibrio, posso procedere in 2 modi:

1) equazioni cardinali della dinamica
2) metodo delle potenze virtuali

metodo 1) Equazioni cardinali della dinamica

si ha che $ \vec F + \vec \Phi = \vec 0$
questo dev'essere fatto sia su P che su Q, quindi si ha che:

$F(P) + kPQ + \Phi (P) = 0$
$F(Q) + kQP + \Phi (Q) = 0$

qui per riuscire a fare qualcosa devo trovare una direzione che mi permetta di eliminare le reazioni vincolari, e quella tangente alla guida (che è quindi una circonferenza) è quella che scelgo.

individuo quindi 2 versori:

$u_R = (cos\alphae_1 + sen\alphae_2)$
$u_T =(-sen\betae_1 + cos\betae_2)$

riscrivo quindi la la prima equazione in questo modo:

$[R(cos\alpha-sen\alpha)e_1+2R(cos\alpha-sen\alpha) + k(-R(cos\alphae_1 + sen\alphae_2)+R(-sen\betae_1 + cos\betae_2)) + \Phi (P) = 0 ] * u_T$

facendo i calcoli ottengo quindi l'equazione pura di equilibrio

$Rsen^2\alpha 2Rcos^2\alpha - 3Rcos\alphasen\alpha + 2kRcos\alphasen\alpha = 0$

metodo 2 avrei potuto usare il metodo delle potenze virtuali

$(F(P) + F_el(P)) * v_P + (F(Q) + F_el(Q))*v_Q = 0$

$[R(cos\alpha-sen\alpha)e_1+2R(cos\alpha-sen\alpha) + k(-R(cos\alphae_1 + sen\alphae_2)+R(-sen\betae_1 + cos\betae_2))]*(dOP)/(dt) ...$

e si continua con il ragionamento anche per le forze in Q.

se si deve, invece, calcolare le equazioni pure del moto si deve procedere con questi 2 possibili metodi:

1) equazioni cardinali della dinamica
2) equazioni di lagrange


$[R(cos\alpha-sen\alpha)e_1+2R(cos\alpha-sen\alpha) + k(-R(cos\alphae_1 + sen\alphae_2)+R(-sen\betae_1 + cos\betae_2)) + \Phi (P) = mR((-cos\alpha dot alpha^2 -ddot \alpha sen\alpha)e_1 + (ddot \alphacos\alpha - sen\alpha dot alpha^2)e_2) ] * u_T$

ora la mia domanda banale è riguardante gli ultimi passaggi, è giusto proiettare tutto lungo $u_T$? in questo modo si eliminerebbero le reazioni vicolari, ma soprattutto, se dovessi proiettare l'accelerazione (sapendo che la nostra guida è una curva, ha 2 componenti, una tangenziale e una radiale, come posso proiettarla lungo le direzioni radiali e tangenziali? in questo modo?)

$R((-cos\alpha dot alpha^2 -ddot \alpha sen\alpha)e_1 + (ddot \alphacos\alpha - sen\alpha dot alpha^2)e_2) ] * u_T$

$R((-cos\alpha dot alpha^2 -ddot \alpha sen\alpha)e_1 + (ddot \alphacos\alpha - sen\alpha dot alpha^2)e_2) ] * (-sen\betae_1 + cos\betae_2)$

$R((-cos\alpha dot alpha^2 -ddot \alpha sen\alpha)e_1 + (ddot \alphacos\alpha - sen\alpha dot alpha^2)e_2) ] * u_R$

$R((-cos\alpha dot alpha^2 -ddot \alpha sen\alpha)e_1 + (ddot \alphacos\alpha - sen\alpha dot alpha^2)e_2) ] * (cos\alphae_1 + sen\alphae_2)$

se riuscite ad aiutarmi sarebbe fantastico, avrei anche delle domande su Lagrange, ma mi piacerebbe fissare molto bene questi argomenti

[Brufus1]

Ma il versore $u_R $ che in realtà si scrive $ \hat u_R $ ed il versore $u_T $ che in realtà si scrive $\hat u_T $ sarebbero ortogonali tra loro?

[Faussone]

@giovi095
Stai chiedendo in pratica se per fare una proiezione sia corretto sfruttare il prodotto scalare. Certo che è corretto!
Da quello in pratica se vuoi discende il fare il prodotto matriciale con matrice di rotazione.

Qui una recente discussione in cui si proietta in direzione radiale e circonferenziale per scrivere equazioni del moto in coordinate polari.