Prodotto matriciale
Ciao a tutti,
Devo calcolare il momento angolare di un corpo in un moto di rotazione attorno ad un asse.
La velocità angolare è costante ed è uguale a $vec(omega)= omegahat(k)$
Il momento angolare è così definito:
$vec(K)(O)= sigma(O)vec(omega)$
$vec(K)(O)= [ ( I_(text(xx)) , I_(xy) , I_(xz) ),( I_(xy) , I_(yy) , I_(yz) ),( I_(xz) , I_(yz) , I_(zz) ) ] [ ( 0 ),( 0 ),( omega ) ] $
Vi vorrei chiedere, il risultato è:
$a) vec(K)(O)= I_(xz)omegahat(i) + I_(yz)omegahat(j) + I_(zz)omegahat(k)$
oppure
$b) vec(K)(O)= (I_(xz)omega+ I_(yz)omega + I_(zz)omega)hat(k)$
?
Potreste motivare la risposta?
Devo calcolare il momento angolare di un corpo in un moto di rotazione attorno ad un asse.
La velocità angolare è costante ed è uguale a $vec(omega)= omegahat(k)$
Il momento angolare è così definito:
$vec(K)(O)= sigma(O)vec(omega)$
$vec(K)(O)= [ ( I_(text(xx)) , I_(xy) , I_(xz) ),( I_(xy) , I_(yy) , I_(yz) ),( I_(xz) , I_(yz) , I_(zz) ) ] [ ( 0 ),( 0 ),( omega ) ] $
Vi vorrei chiedere, il risultato è:
$a) vec(K)(O)= I_(xz)omegahat(i) + I_(yz)omegahat(j) + I_(zz)omegahat(k)$
oppure
$b) vec(K)(O)= (I_(xz)omega+ I_(yz)omega + I_(zz)omega)hat(k)$
?
Potreste motivare la risposta?
Risposte
La seconda, quello è l'asse di rotazione, le componenti sugli altri assi sono tutte nulle.
Metti $\hat i,\hat j,\hat k$ nel vettore e fai i calcoli tu
è algebra lineare di base, cosa vuoi motivare?
è algebra lineare di base, cosa vuoi motivare?
Allora abbiamo un problema, perché su un esame ho visto che usa la $(a)$.
Edit: è corretto ho fatto i calcoli sotto
Se il SDR è in movimento, cambia qualcosa forse?
No, sempre hai k, e un asse di rotazione
L'esercizio in questione è:
Come potete vedere dall'immagine sottostante, anziché fare il prodotto matriciale nel modo $(b)$, viene fatto il prodotto matriciale nel modo $(a)$.
Come mai????
Come potete vedere dall'immagine sottostante, anziché fare il prodotto matriciale nel modo $(b)$, viene fatto il prodotto matriciale nel modo $(a)$.
Come mai????
Evidentemente non ha solo un asse di rotazione, visto che ha due momenti di inerzia angolare
"anonymous_be0efb":
Ciao a tutti,
Devo calcolare il momento angolare di un corpo in un moto di rotazione attorno ad un asse.
La velocità angolare è costante ed è uguale a $vec(omega)= omegahat(k)$
Il momento angolare è così definito:
$vec(K)(O)= sigma(O)vec(omega)$
$vec(K)(O)= [ ( I_(text(xx)) , I_(xy) , I_(xz) ),( I_(xy) , I_(yy) , I_(yz) ),( I_(xz) , I_(yz) , I_(zz) ) ] [ ( 0 ),( 0 ),( omega ) ] $
Vi vorrei chiedere, il risultato è:
$a) vec(K)(O)= I_(xz)omegahat(i) + I_(yz)omegahat(j) + I_(zz)omegahat(k)$
oppure
$b) vec(K)(O)= (I_(xz)omega+ I_(yz)omega + I_(zz)omega)hat(k)$
?
Potreste motivare la risposta?
Non ho letto il problema che hai messo dopo, ma la risposta a questa domanda è assolutamente la a, il motivo è perché così è definito il prodotto matrice vettore, proprio per questo si definisce il tensore di inerzia.
Capitan Harlock dice (b), Faussone dice (a), tornerò a casa dopodomani purtroppo e non ho i libri con me adesso, quindi non posso consultare fonti ufficiali.
Di chi mi fido?
Di chi mi fido?
Giusto $ P=(0,0,Iw) $
Dimenticavo le componenti di I
Dimenticavo le componenti di I
"anonymous_be0efb":
Capitan Harlock dice (b), Faussone dice (a), tornerò a casa dopodomani purtroppo e non ho i libri con me adesso, quindi non posso consultare fonti ufficiali.
Di chi mi fido?
Alla cieca non devi fidarti di nessuno, anche se ovviamente ho ragione io
"Capitan Harlock":
Giusto $ P=(0,0,Iw) $
Dimenticavo le componenti di I
Ah sì ora è chiaro davvero...
Mi ricordi l'utente lucacs, che è sparito di recente. Anche lui lo trovavo per me incomprensibile.
Speriamo che quello che ho scritto in latex venga visualizzato bene
Ho fatto quello che avresti dovuto fare tu, cioè il calcolo a mano:
$\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\omega \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0I_{xx} + 0 I_{xy} + \omega I_{xz} \\
0I_{yx} + 0 I_{yy} + \omega I_{yz} \\
0I_{zx} + 0 I_{zy} + \omega I_{zz}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\omega I_{xz}\\
\omega I_{yz} \\
\omega I_{zz}
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
\omega I_{xz} \,(\hat i) \\
\omega I_{yz} \,(\hat j) \\
\omega I_{zz} \,(\hat k)
\end{pmatrix}
\to
\omega I_{xz} \,\hat i+\omega I_{yz} \,\hat j + \omega I_{zz} \,(\hat k)
$
Ho fatto quello che avresti dovuto fare tu, cioè il calcolo a mano:
$\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\omega \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0I_{xx} + 0 I_{xy} + \omega I_{xz} \\
0I_{yx} + 0 I_{yy} + \omega I_{yz} \\
0I_{zx} + 0 I_{zy} + \omega I_{zz}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\omega I_{xz}\\
\omega I_{yz} \\
\omega I_{zz}
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
\omega I_{xz} \,(\hat i) \\
\omega I_{yz} \,(\hat j) \\
\omega I_{zz} \,(\hat k)
\end{pmatrix}
\to
\omega I_{xz} \,\hat i+\omega I_{yz} \,\hat j + \omega I_{zz} \,(\hat k)
$
Ovviamente non viene visualizzato correttamente ma alla fine c'è
$\omega I_{xz} \hat i+\omega I_{yz} \hat j + \omega I_{zz} \hat k$
E' corretta la (a)
$\omega I_{xz} \hat i+\omega I_{yz} \hat j + \omega I_{zz} \hat k$
E' corretta la (a)
Grazie a tutti!!!
Consiglio
@anonymous_be0efb
Faccio qualche semplice considerazione di carattere fisico, non scrivo formule perché già sono state scritte, e mi riferisco all’esercizio.
Il sistema dato è un sistema continuo piano, giace nel piano yz . Questo dice subito che l’asse x è un asse principale di inerzia essendo perpendicolare al piano. Senza neanche pensare alle formule, si può dire che i momenti centrifughi che hanno, nei pedici, la coordinata $x$ , devono essere nulli :
$(I_(xy) =0)\wedge (I_(xz) =0)$
come naturalmente i loro simmetrici rispetto alla diagonale principale. L’unico momento centrifugo non nullo è $I_(yz) $, e il suo simmetrico. A questo proposito, occorre dire che il testo ha una piccola pecca : si è dimenticato di dire se M>m oppure il contrario . Se fosse M>m, e quindi il CM fosse in M , il prodotto di inerzia $I_(yz)$ dovrebbe essere negativo, credo. Non è chiaro.
Gli elementi della diagonale principale della matrice di inerzia sono i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati, e naturalmente deve essere :
$I_(text(xx))= I_(yy)+I_(zz)$
per le proprietà dei m.i. dei sistemi piani.
Il fatto che $vecomega= omegahatk$ non implica, nel caso in esame, che il vettore momento angolare sia parallelo a $vecomega$, poichè l’asse $z$ non è principale di inerzia.
Perciò, sommando tutto quanto sopra, succede che il vettore momento angolare ha una componente non nulla sull’asse $y$ e una non nulla sull’asse $z$, mentre la componente sull’asse $x$ è nulla. Il vettore ruota con la stessa velocità angolare della lamina.
Faccio qualche semplice considerazione di carattere fisico, non scrivo formule perché già sono state scritte, e mi riferisco all’esercizio.
Il sistema dato è un sistema continuo piano, giace nel piano yz . Questo dice subito che l’asse x è un asse principale di inerzia essendo perpendicolare al piano. Senza neanche pensare alle formule, si può dire che i momenti centrifughi che hanno, nei pedici, la coordinata $x$ , devono essere nulli :
$(I_(xy) =0)\wedge (I_(xz) =0)$
come naturalmente i loro simmetrici rispetto alla diagonale principale. L’unico momento centrifugo non nullo è $I_(yz) $, e il suo simmetrico. A questo proposito, occorre dire che il testo ha una piccola pecca : si è dimenticato di dire se M>m oppure il contrario . Se fosse M>m, e quindi il CM fosse in M , il prodotto di inerzia $I_(yz)$ dovrebbe essere negativo, credo. Non è chiaro.
Gli elementi della diagonale principale della matrice di inerzia sono i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati, e naturalmente deve essere :
$I_(text(xx))= I_(yy)+I_(zz)$
per le proprietà dei m.i. dei sistemi piani.
Il fatto che $vecomega= omegahatk$ non implica, nel caso in esame, che il vettore momento angolare sia parallelo a $vecomega$, poichè l’asse $z$ non è principale di inerzia.
Perciò, sommando tutto quanto sopra, succede che il vettore momento angolare ha una componente non nulla sull’asse $y$ e una non nulla sull’asse $z$, mentre la componente sull’asse $x$ è nulla. Il vettore ruota con la stessa velocità angolare della lamina.
Ma infatti, quella non è la componente di un vettore.
È la componente di un in tensore
Quando scrivo $ P(0,0,omegaI) $ sono le componenti rispetto agli assi principali di inerzia, che giustamente come fatto osservare, non sono necessariamente orientati come quelli di $ vecomega $
È un esercizio truccarolo
È la componente di un in tensore
Quando scrivo $ P(0,0,omegaI) $ sono le componenti rispetto agli assi principali di inerzia, che giustamente come fatto osservare, non sono necessariamente orientati come quelli di $ vecomega $
È un esercizio truccarolo
"Capitan Harlock":
[...]
È un esercizio truccarolo
Lascia perdere. Il truccarolo qui sei tu che non ti fai capire e confondi le cose.
La domanda iniziale era chiara (persino banale) la tua risposta era sbagliata, l'esercizio poi anche era abbastanza chiaro, seppure forse leggermente incompleto come notato da Kanal, ma non c'entra nulla con la tua risposta sbagliata.
Suggerirei a chi ti legge di prenderti con le molle e non tanto perché a volte sbagli (quello può capitare a tutti), ma perché quando lo fai invece di riconoscerlo intorbidisci ancora di più le acque e peggiori le cose per chi ti legge e sta cercando di capire.
La sicumera che spesso metti nelle tue risposte poi rende il tutto molto fastidioso (e ridicolo).
PS.
Ringrazio per gli attestati di stima ricevuti che mi fanno molto piacere ovviamente, ma anche le mie risposte vanno lette con attenzione e tanto senso critico, pure a me è capitato di dire sciocchezze, nonostante provi sempre a metterci molta attenzione nelle risposte che do e non sfoggio sicurezza se non posso permettermelo. Poi quando ho sbagliato l'ho sempre ammesso chiaramente, anche perché se sbaglio imparo qualcosa in genere (come minimo a stare più attento in alcuni aspetti)
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