Problemino cinematica
Un uomo vuole attraversare a nuoto un fiume di larghezza l=20m , puntando in direzione normale alle sponde.
La velocità di spostamento dell'uomo relativa all'acqua è costante e pari a 3,6km/h.
Se la velocità dell'acqua del fiume varia con la distanza y dalla sponda di partenza secondo la legge: $v=5*10^(-3)y(l-y)m/s$ ,
si determini l'ascissa del punto di arrivo B.
Mi viene suggerito di calcolare l'integrale della funzione v(y) tra 0 e 20m.
In effetti il risultato è giusto, ma non riesco a capire come mai bisogni agire in questo modo.
La velocità di spostamento dell'uomo relativa all'acqua è costante e pari a 3,6km/h.
Se la velocità dell'acqua del fiume varia con la distanza y dalla sponda di partenza secondo la legge: $v=5*10^(-3)y(l-y)m/s$ ,
si determini l'ascissa del punto di arrivo B.
Mi viene suggerito di calcolare l'integrale della funzione v(y) tra 0 e 20m.
In effetti il risultato è giusto, ma non riesco a capire come mai bisogni agire in questo modo.
Risposte
Sì, in effetti ad un certo punto ci vuole un integrale, ma è giusto che tu chieda di capire il procedimento, se no il problema non serve a niente…
Assumi un rif. cartesiano con origine nel punto di partenza A , asse $x$ parallelo alle sponde del canale,positivo verso destra, asse $y$ perpendicolare , positivo verso l’alto del foglio. Il punto B sarà sulla sponda avente $y=l=20m$ . Supponi quindi che l’acqua abbia velocità $v_x=ky(l-y)$ rispetto alle sponde, dove ho indicato con $k$ il fattore $5*10^(-3)m^(-1)*s^(-1)$ . (Perchè $k$ ha queste dimensioni?)
Il nuotatore ha velocità $v_y$ rispetto all’acqua , pari a $3,6(km)/h=1m/s$ ,giusto? Devi infatti esprimere le velocità nelle stesse unità di misura.
Ti ricordo ora un risultato di cinematica del moto relativo : $\vecv_a=\vecv_r+\vecv_(tr)$ , cioè : la velocità assoluta è somma vettoriale della velocità relativa e della velocità di trascinamento . Nel nostro caso, la velocità relativa è quella del nuotatore rispetto all’acqua (..il nuotatore punta sempre verso la sponda opposta …) , la velocità di trascinamento è quella dell’acqua (verso destra).
Ma conosciamo i moduli di queste velocità : $ v_r =v_y=1m/s$ , e $v_(tr)= v_x=ky(l-y)$ .
Disegna il triangolo delle velocità : la velocità assoluta è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo , che ha per cateto parallelo ad $y$ la velocità relativa $ v_r =v_y$ e per cateto parallelo ad $x$ la velocità di trascinamento $v_(tr)= v_x=ky(l-y)$ . Ci sei ?
Ora, puoi moltiplicare le tre velocità per un tempo elementare $dt$, e ottieni altrettanti spostamenti elementari $ds$ , $dy$ , $dx$ . In altri termini , puoi ”leggere” il triangolo delle velocità come triangolo degli spostamenti elementari.
Lo spostamento $ds$ è un elemento della traiettoria assoluta ( cioè, riferita alle sponde)del nuotatore.
Perciò , deve essere (guarda il triangolo) : $(dx)/(dy)=v_x/v_y= (ky(l-y))/v_r=(kly)/v_r-(ky^2)/v_r$ , da cui si ricava che :
$dx=((kl)/v_r*y-k/v_r*y^2)dy$ . $(1)$
Ti rendi conto di come varia il rapporto delle velocità da una sponda all’altra ? C’è un termine lineare con y , da cui si sottrae un termine di 2° grado …Potresti anche vedere dove è massimo…e dove si annulla!
La (1) ti dà lo spostamento elementare $dx$ del nuotatore verso destra. Si tratta di una semplice equazione differenziale a variabili separate. Se non conosci le equazioni differenziali, puoi anche dire che $x_B$ si ottiene integrando il 2° membro della (1) tra 0 ed l . Se esegui correttamente l’integrale, trovi che :
$x_B=(kl^3)/(6*v_r)$ (2)
Sostituendo i valori numerici , dovresti avere : $x_B=6,667m$
La traiettoria assoluta del nuotatore inizia e termina con tangente parallela all’asse y : perché?
Assumi un rif. cartesiano con origine nel punto di partenza A , asse $x$ parallelo alle sponde del canale,positivo verso destra, asse $y$ perpendicolare , positivo verso l’alto del foglio. Il punto B sarà sulla sponda avente $y=l=20m$ . Supponi quindi che l’acqua abbia velocità $v_x=ky(l-y)$ rispetto alle sponde, dove ho indicato con $k$ il fattore $5*10^(-3)m^(-1)*s^(-1)$ . (Perchè $k$ ha queste dimensioni?)
Il nuotatore ha velocità $v_y$ rispetto all’acqua , pari a $3,6(km)/h=1m/s$ ,giusto? Devi infatti esprimere le velocità nelle stesse unità di misura.
Ti ricordo ora un risultato di cinematica del moto relativo : $\vecv_a=\vecv_r+\vecv_(tr)$ , cioè : la velocità assoluta è somma vettoriale della velocità relativa e della velocità di trascinamento . Nel nostro caso, la velocità relativa è quella del nuotatore rispetto all’acqua (..il nuotatore punta sempre verso la sponda opposta …) , la velocità di trascinamento è quella dell’acqua (verso destra).
Ma conosciamo i moduli di queste velocità : $ v_r =v_y=1m/s$ , e $v_(tr)= v_x=ky(l-y)$ .
Disegna il triangolo delle velocità : la velocità assoluta è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo , che ha per cateto parallelo ad $y$ la velocità relativa $ v_r =v_y$ e per cateto parallelo ad $x$ la velocità di trascinamento $v_(tr)= v_x=ky(l-y)$ . Ci sei ?
Ora, puoi moltiplicare le tre velocità per un tempo elementare $dt$, e ottieni altrettanti spostamenti elementari $ds$ , $dy$ , $dx$ . In altri termini , puoi ”leggere” il triangolo delle velocità come triangolo degli spostamenti elementari.
Lo spostamento $ds$ è un elemento della traiettoria assoluta ( cioè, riferita alle sponde)del nuotatore.
Perciò , deve essere (guarda il triangolo) : $(dx)/(dy)=v_x/v_y= (ky(l-y))/v_r=(kly)/v_r-(ky^2)/v_r$ , da cui si ricava che :
$dx=((kl)/v_r*y-k/v_r*y^2)dy$ . $(1)$
Ti rendi conto di come varia il rapporto delle velocità da una sponda all’altra ? C’è un termine lineare con y , da cui si sottrae un termine di 2° grado …Potresti anche vedere dove è massimo…e dove si annulla!
La (1) ti dà lo spostamento elementare $dx$ del nuotatore verso destra. Si tratta di una semplice equazione differenziale a variabili separate. Se non conosci le equazioni differenziali, puoi anche dire che $x_B$ si ottiene integrando il 2° membro della (1) tra 0 ed l . Se esegui correttamente l’integrale, trovi che :
$x_B=(kl^3)/(6*v_r)$ (2)
Sostituendo i valori numerici , dovresti avere : $x_B=6,667m$
La traiettoria assoluta del nuotatore inizia e termina con tangente parallela all’asse y : perché?
ehi ho trovato proprio lo stesso problema preparandomi per l'esame di fisica...e infatti quell'integrale mi ha mandata in tilt! Leggendo però, ammetto che non ho capito bene. Non conoscendo le equazioni differenziali, ho pensato di integrare, ma il punto è che mi sfugge l'ultima formula scritta, quella " xB=...". Non capisco da dove venga quel 6 a denominatore e non capisco perchè l sia elevato alla terza. Probabilmente perchè mi sono persa nel discorso del triangolo delle forze subito sopra credo...potreste rispiegarmelo?
$x_B=int_0^l((kl)/v_r*y - k/v_r*y^2)dy=k/v_r*int_0^l(l*y - y^2)dy=k/v_r*[l*1/2*y^2-1/3*y^3]_0^l=$
$k/v_r*[1/2*l^3-1/3*l^3]=(k*l^3)/(6*v_r)$.
$k/v_r*[1/2*l^3-1/3*l^3]=(k*l^3)/(6*v_r)$.
grazie mille!adesso ho capito!
ciao scusate se scrivo su questo vecchio esercizio ma io l ho svolto in modo diverso senza utilizzare equazioni differenziali ma scomponendo il problema lungo i suoi assi coordinati ovvero parto dal tuo discorso della velocità assoluta come somma della velocità relativa e quella di trascinamento... vorrei sapere se è comunque giusto il mio discorso grazie della risposta
$\vecv_(ass)=\vecv_r+\vecv_(tra)$
scompongo tale relazione vettoriale in relazioni scalari sul sistema di riferimento da voi citato sopra
1)$vx_(ass)=0+kx(l-x)$
2)$vy_(ass)=1+0$
gli zeri li ho messi per farvi capire il mio ragionamento... ovvero nella prima equazione scalare la velocita relativa è nulla in quanto l'uomo si muovo solo lungo l asse delle y..mentre nella seconda equazione la velocità di trascinamento è nulla in quanto lungo la direzione y la velocità dell' acqua è nulla quindi l uomo non "acquista" velocità dovuta all'acqua per arrivare sull altra sponda
dalla seconda equazione mi trovo il tempo impiegato per fare l attraversata
$t1=d/v=20s$
mentre per sapere la distanza delle x integro la velocità rispetto al tempo impiegato
$x(t)=int_(t0)^(t1)kx(l-x) dt=6.67$
spero che mi confermiate il mio ragionamento
$\vecv_(ass)=\vecv_r+\vecv_(tra)$
scompongo tale relazione vettoriale in relazioni scalari sul sistema di riferimento da voi citato sopra
1)$vx_(ass)=0+kx(l-x)$
2)$vy_(ass)=1+0$
gli zeri li ho messi per farvi capire il mio ragionamento... ovvero nella prima equazione scalare la velocita relativa è nulla in quanto l'uomo si muovo solo lungo l asse delle y..mentre nella seconda equazione la velocità di trascinamento è nulla in quanto lungo la direzione y la velocità dell' acqua è nulla quindi l uomo non "acquista" velocità dovuta all'acqua per arrivare sull altra sponda
dalla seconda equazione mi trovo il tempo impiegato per fare l attraversata
$t1=d/v=20s$
mentre per sapere la distanza delle x integro la velocità rispetto al tempo impiegato
$x(t)=int_(t0)^(t1)kx(l-x) dt=6.67$
spero che mi confermiate il mio ragionamento
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