Problemini
Un elicottero ha una massa di 840 kilgrammi e le pale dell'elica principale sono lunghe 3 metri.Esso si mantiene in aria in posizione stazionaria spingendo verso il basso l'aria con il moto dell' elica princiaple.
Fissando per la densità dell'aria il valore di 1,20kg/m^3, calcola il valore della velocità con cui l'aria viene spinta giu dalle pale dell'elica.
Si calcoli inoltre la potenza spesa per mantenere in assetto l'elicottero,senza considerare le dispersioni di energia dovute agli attriti oppure ad altre cause.
PROBLEMA 2
Un asta sottile omogenea di lunghezza 2l e massa M giace su di un piano orizzontale liscio.Una pallina di massa m si muove in direzione perpendicolare all'asta e la colpisce ad un estremità.
Dopo l'urto si osserva che l'asta ruota mentre il suo centro di massa è in moto.
Dopo una rotazione di 180 gradi l'atra estremità della sbarra colpisce la pallina:questa situazione si ha soltanto per un dato rapporto tra le masse dei due oggetti.
Si calcoli il valore di a=M/m
Quali sono le velocità della pallina e del centro di massa dopo il secondo urto?
Si tenga presente che l'attrito con il piano è trascurabile e l'urto è elastico; la velocità della pallina e quella del centro di massa dell'asta hanno sempre la stessa direzione il momento di inerzia dell'asta rispetto ad un asse passante per il suo baricentro è I=1/3 Ml^2
Fissando per la densità dell'aria il valore di 1,20kg/m^3, calcola il valore della velocità con cui l'aria viene spinta giu dalle pale dell'elica.
Si calcoli inoltre la potenza spesa per mantenere in assetto l'elicottero,senza considerare le dispersioni di energia dovute agli attriti oppure ad altre cause.
PROBLEMA 2
Un asta sottile omogenea di lunghezza 2l e massa M giace su di un piano orizzontale liscio.Una pallina di massa m si muove in direzione perpendicolare all'asta e la colpisce ad un estremità.
Dopo l'urto si osserva che l'asta ruota mentre il suo centro di massa è in moto.
Dopo una rotazione di 180 gradi l'atra estremità della sbarra colpisce la pallina:questa situazione si ha soltanto per un dato rapporto tra le masse dei due oggetti.
Si calcoli il valore di a=M/m
Quali sono le velocità della pallina e del centro di massa dopo il secondo urto?
Si tenga presente che l'attrito con il piano è trascurabile e l'urto è elastico; la velocità della pallina e quella del centro di massa dell'asta hanno sempre la stessa direzione il momento di inerzia dell'asta rispetto ad un asse passante per il suo baricentro è I=1/3 Ml^2
Risposte
innanzitutto,poichè l' elicottero è in equilibrio, la forza esercitata dall'aria sulle pale, dovrà eguagliare la forza peso... sappiamo che $F=m*a$ ovvero $F=(m*v)/t$; adesso si consideri un elemento di volume con superficie $A$ e altezza $h=v*t$:
$F=(rho*A*v*t)*v/t$ ovvero
$F=rho*A*v^2$ dove v è la velocità dell' aria;
adesso, la superficie A sarà quella spazzata dalle pale dell' elicottero (quindi $A=pi*l^2$ dove l è la lunghezza delle pale), e adesso uguagliando la formula sopra trovata per F al peso P, si ha:
$P=rho*pi*l^2*v^2$ da cui
$v=sqrt(P/(rho*pi*l^2)$ adesso basta inserire i dati numerici e si ha la velocità dell' aria...
la potenza spesa dal motore è l'energia cinetica della massa d'aria sul tempo, ovvero
$W=1/2*(rho*A*v*t)*v^2/t=1/2*rho*A*v^3$ e sostituendo i numeri alle lettere si ottiene W.
ciao
$F=(rho*A*v*t)*v/t$ ovvero
$F=rho*A*v^2$ dove v è la velocità dell' aria;
adesso, la superficie A sarà quella spazzata dalle pale dell' elicottero (quindi $A=pi*l^2$ dove l è la lunghezza delle pale), e adesso uguagliando la formula sopra trovata per F al peso P, si ha:
$P=rho*pi*l^2*v^2$ da cui
$v=sqrt(P/(rho*pi*l^2)$ adesso basta inserire i dati numerici e si ha la velocità dell' aria...
la potenza spesa dal motore è l'energia cinetica della massa d'aria sul tempo, ovvero
$W=1/2*(rho*A*v*t)*v^2/t=1/2*rho*A*v^3$ e sostituendo i numeri alle lettere si ottiene W.
ciao
L'ho già visto da qualche altra parte l'esercizio dell'elicottero , siamo sicuri che sia risolvibile con i soli dati riportati ? non conta anche come sono fatte le pale? visto che l'aria nel passaggio attraverso le pale subisce una variazione sia della quantità di moto che del momento angolare , altrimenti la forza che eserciterebbe sulle pale sarebbe nulla, cosa significa trovare la velocità dell'aria?
@ nnsoxke
sì, mi ricordo di aver già risolto questo problema un po' di tempo fa, è da qualche parte nei test di fisica della normale...
ciao
sì, mi ricordo di aver già risolto questo problema un po' di tempo fa, è da qualche parte nei test di fisica della normale...
ciao
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Jack non pensi di usare l'equazione di Newton (che è una eq. differenziale) in una maniera un filino spregiudicata?
Che cosa sarebbe quell' a=v/t, e soprattutto cos'è v, cos'è t?
Tu stai mischiando la meccanica con una teoria dell'interazione, sono due cose diverse, le teorie delle interazioni si inquadrano nella meccanica.
Cioè F=m*a, ora a sappiamo esattamente cos'è e anche m, è F il punto, devi fornire una espressione (traendola da una teoria della interazione) di F in funzione della v dell'aria.
Come ad esempio un moto viscoso "F=m*a"(=meccanica, generale) + "F=-k*v" (=teoria dell'attrito viscoso, particolare)
Se non giustifichi non si può accettare la tua idea.
Jack non pensi di usare l'equazione di Newton (che è una eq. differenziale) in una maniera un filino spregiudicata?
Che cosa sarebbe quell' a=v/t, e soprattutto cos'è v, cos'è t?
Tu stai mischiando la meccanica con una teoria dell'interazione, sono due cose diverse, le teorie delle interazioni si inquadrano nella meccanica.
Cioè F=m*a, ora a sappiamo esattamente cos'è e anche m, è F il punto, devi fornire una espressione (traendola da una teoria della interazione) di F in funzione della v dell'aria.
Come ad esempio un moto viscoso "F=m*a"(=meccanica, generale) + "F=-k*v" (=teoria dell'attrito viscoso, particolare)
Se non giustifichi non si può accettare la tua idea.
provo a spiegarmi meglio...
la forza applicata alla massa d' aria $m$ è uguale alla variazione della quantità di moto della massa d'aria nel tempo:
$F=(Deltamv_(aria))/(Deltat)$
dove $v_(aria)$ rappresenta la velocità dell'aria e $Deltat$ un intervalllo di tempo
adesso, la massa $m$ è riscrivibile come $m=rho*DeltaV$ dove $DeltaV$ è l'elemento di volume, ovvero $V=A*Deltah$
cioè, poichè $Deltah=v_(aria)*Deltat$ si ha nella prima formula:
$F=v_(aria)*(Deltah)/(Deltat)*rho*A=rho*A*v_(aria)^2$...
il resto viene come scritto sopra...
riamane spregiudicato anche così?
ciao
la forza applicata alla massa d' aria $m$ è uguale alla variazione della quantità di moto della massa d'aria nel tempo:
$F=(Deltamv_(aria))/(Deltat)$
dove $v_(aria)$ rappresenta la velocità dell'aria e $Deltat$ un intervalllo di tempo
adesso, la massa $m$ è riscrivibile come $m=rho*DeltaV$ dove $DeltaV$ è l'elemento di volume, ovvero $V=A*Deltah$
cioè, poichè $Deltah=v_(aria)*Deltat$ si ha nella prima formula:
$F=v_(aria)*(Deltah)/(Deltat)*rho*A=rho*A*v_(aria)^2$...
il resto viene come scritto sopra...
riamane spregiudicato anche così?
ciao
Da una parte di tico: no, perché effettivamente adesso è più rigoroso.
Dall'altra ti chiedo scusa perché avevo letto male il testo del problema, e adesso che hai specificato il principio di base ho capito tutto ed effettivamente il procedimento è corretto.
Dall'altra ti chiedo scusa perché avevo letto male il testo del problema, e adesso che hai specificato il principio di base ho capito tutto ed effettivamente il procedimento è corretto.
Comunque io continuo a credere che l'inclinazione delle pale, il loro numero, e la loro area, siano dati necessari per la risoluzione. L'aria deviata dalle pale eserciterà infatti una reazione verso l'alto su di esse ed anche un'altra in senso longitudinale che crea una coppia frenante, per quello poi si chiede di calcolare la potenza richiesta al motore...
Io ho provato a risolverlo in questo modo ... Ho trovato l'equazione di moto dell'aria nell'ipotesi che nell'attraversare le pale subisca una accelerazione costante ed ho applicato l'equazione di continuità v=v0+at , s=1/2 at^2+v0t , rvA=r0v0A
dove v0 e v sono le componenti della velocità dell'aria lungo la direzione dell'asse di rotazione delle pale nella sezione di ingresso e in una generica , r0 e r le densità, s la distanza dalla sezione di ingresso... Eliminando t dalle prime due e sostintuendo v nella terza equazione si ricava r... A questo punto si integra r*A su tutta l'altezza delle pale e si ricava la massa totale di aria che in ogni istante viene accelerata dalle pale , quindi
P=ma=r0 v0 A sqrt(v0^2 + 2ha), dove h è l'altezza delle pale (distanza tra la sezione di ingresso e quella di uscita)... Introducendo la velocità media vm= h/T (T è il tempo totale impiegato dall'aria per attraversare le pale) e vf = v0 + aT (vf è la velocità di uscita) si ottiene:
P= r0 v0 A sqrt(v0^2 + 2 vm (vf - v0)) questa equazione in generale non dà risultato con i soli dati che si hanno perchè come si vede ci sono due incognite, ma se si ha che il valore vf-v0 è trascurabile rispetto v0, allora il termine sotto radice diventa circa uguale a v0^2 e l'equazione diventa:
P= r0 v0^2 A
Per quanto riguarda la seconda parte sono daccordo con cavalli, l'aria non viene solo accelerata verso il basso ma anche in direzione tangenziale alle pale e in direzione radiale, se sono trascurabili questi altri due contributi allora la soluzione data può andare bene.
dove v0 e v sono le componenti della velocità dell'aria lungo la direzione dell'asse di rotazione delle pale nella sezione di ingresso e in una generica , r0 e r le densità, s la distanza dalla sezione di ingresso... Eliminando t dalle prime due e sostintuendo v nella terza equazione si ricava r... A questo punto si integra r*A su tutta l'altezza delle pale e si ricava la massa totale di aria che in ogni istante viene accelerata dalle pale , quindi
P=ma=r0 v0 A sqrt(v0^2 + 2ha), dove h è l'altezza delle pale (distanza tra la sezione di ingresso e quella di uscita)... Introducendo la velocità media vm= h/T (T è il tempo totale impiegato dall'aria per attraversare le pale) e vf = v0 + aT (vf è la velocità di uscita) si ottiene:
P= r0 v0 A sqrt(v0^2 + 2 vm (vf - v0)) questa equazione in generale non dà risultato con i soli dati che si hanno perchè come si vede ci sono due incognite, ma se si ha che il valore vf-v0 è trascurabile rispetto v0, allora il termine sotto radice diventa circa uguale a v0^2 e l'equazione diventa:
P= r0 v0^2 A
Per quanto riguarda la seconda parte sono daccordo con cavalli, l'aria non viene solo accelerata verso il basso ma anche in direzione tangenziale alle pale e in direzione radiale, se sono trascurabili questi altri due contributi allora la soluzione data può andare bene.
Ma l'aria rimbalza sulle pale o viene da esse "pettinata"? A me immediatamente era venuta in mente la prima idea, ossia che si comportasse in modo simile alla luce quando viene riflessa... Quale dei due fenomeni avviene? Oppure quando l'uno e quando l'altro?
Insomma, dovete capire che non c'entra nulla la natura dell'interazione tra pale ed aria, il problema è squisitamente dinamico, è esattamente identico ad un problema di urto, dove nessumo si sogna di chiedersi che succede al momento esatto dello scontro.
La soluzione di jack è giustissima.
La soluzione di jack è giustissima.
Se è come un problema d'urto, allora bisogna sapere come l'aria viene deviata, no? Quindi non credi che l'inclinazione della pale sia rilevante?
"cavallipurosangue":
Se è come un problema d'urto, allora bisogna sapere come l'aria viene deviata, no? Quindi non credi che l'inclinazione della pale sia rilevante?
a me, da incompetente, sembra che lo sia
faccio un ragionamento "à la curva di Laffer"
se sono orizzontali (e simmetriche) non danno un cotributo positivo verso l'alto
se sono verticali, idem
quindi ci sarà un livello di inclinazione ottimale (come Laffer dice per la tassazione)
detto questo, però la domanda era:
"Fissando per la densità dell'aria il valore di 1,20kg/m^3, calcola il valore della velocità con cui l'aria viene spinta giu dalle pale dell'elica."
magari forse la risposta a questa domanda non dipende dai dubbi di sopra. Anche perché si chiede la componente vericale della velocità con cui l'aria è sbattuta giù
un po' come se fosse un razzo a reazione
Già adesso che leggo con piu attenzione il testo me ne convinco. Se bisogna trovare solo la velocità verticale ok, ma io prima avevo pensato quel verso il basso, come una direzione qualsiasi, con verso del vettore puntante perso il basso... Ok allora la soluzione di jack. 
La differenza che c'è tra un elicottero ed un razzo è che nel razzo l'aria (o meglio i fumi) vengono accelerati a partire da un velicità nulla(o meglio quella del razzo, comq nota) per cui si può scrivere v=at , mentre nell'elicottero la velocità all'ingresso delle pale è diversa da 0 per cui bisogna scrivere v = v0 + at .
Quello che otteniamo dal secondo e dal terzo principio della dinamica è che la variazione della quantità di moto dell'aria deve essere uguale al peso dell'elicottero ma questo non ci permette da solo di calcolare velocità di ingresso e di uscita.
La densità dell'aria nel passaggio attraverso le pale non può rimanere perfettamente costante perchè la velocità aumenta e vale l'equazione di continuità r0 v0 A = r v A , dalla quale si ricava però che nell'ipotesi che v sia circa uguale a v0 anche r è circa uguale a r0.
Quello che otteniamo dal secondo e dal terzo principio della dinamica è che la variazione della quantità di moto dell'aria deve essere uguale al peso dell'elicottero ma questo non ci permette da solo di calcolare velocità di ingresso e di uscita.
La densità dell'aria nel passaggio attraverso le pale non può rimanere perfettamente costante perchè la velocità aumenta e vale l'equazione di continuità r0 v0 A = r v A , dalla quale si ricava però che nell'ipotesi che v sia circa uguale a v0 anche r è circa uguale a r0.
Ma lascia perdere, allora cosa vuol dire? Allora è ovvio che un gas perfetto lasciato libero se davvero non ha interazioni interne non andrà mai all'equilibrio, però qui il problema è matematicamente fondato, e questo per un Fisico basta.
Se stessimo a queste disquisizioni, la Fisica non potrebbe esistere concettualmente, è Galileo che ha distinto arbitrariamente (ed è questo il punto) tra qualità primarie e secondarie dei corpi.
Non è un problema di teoria dei mezzi continui! In questo caso tale proprietà è secondaria.
Come del resto il concetto di urto è classicamente assurdo perché l'accelerazione in quel momento sarebbe infinita!
Se stessimo a queste disquisizioni, la Fisica non potrebbe esistere concettualmente, è Galileo che ha distinto arbitrariamente (ed è questo il punto) tra qualità primarie e secondarie dei corpi.
Non è un problema di teoria dei mezzi continui! In questo caso tale proprietà è secondaria.
Come del resto il concetto di urto è classicamente assurdo perché l'accelerazione in quel momento sarebbe infinita!
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