Problemi su Trasformazioni Termodinamiche
Salve,
a causa del problema con la pandemia il professore ci ha assegnato degli esercizi sostitutivi ai compitini per le parti di termodinamica e relatività.
Purtroppo alcuni esercizi non sto riuscendo a risolverli e mi manca quel "ragionamento in più" per arrivare al risultato. Uno di questi esercizi per esempio ha come testo:
A $ n=1,5mol $ di un gas ideale biatomico vengono fatti seguire i due cicli schematizzati in figura. I cicli si somigliano, dato che le isocore e le isobare si sviluppano, rispettivamente, allo stesso volume $ V\_0=2.0*10^(‐2)m^3 $ e alla stessa pressione $ p\_0=2.026*10^5Pa $ , ma i due cicli si differenziano per la restante trasformazione, che è una isoterma nel ciclo (a) e un’adiabatica nel ciclo (b). Sapendo che nel ciclo (a) $ p\_1=3p\_0 $ e che nei due cicli il lavoro W compiuto dal gas è lo stesso, determinare:
a) il volume $ V\_1 $ nel ciclo (a) e la pressione $ p\_1' $ e il volume $ V\_1' $ nel ciclo (b);
b) i rendimenti dei due cicli, valutando quale sia maggiore.
Nel primo punto non ho avuto difficoltà siccome si trattava solo di applicare le formule delle trasformazioni termodinamiche in questione.
Per il secondo punto mi servirebbero 4 equazioni per trovare le incognite che sono $ p\_1' $,$ V\_1' $,$ T\_1' $ e $ T\_2 $, ma oltre ad usare le costanti presenti nelle trasformazioni, cioè $ V/T=cost $ , $ p/T=cost $ e $ pV^gamma =cost $ , non so proprio cosa utilizzare.
Ho provato usando il fatto che i lavori fatti dai cicli sono uguali ma vengono calcoli abbastanza complicati oppure o sbagliato qualcosa nelle formule usate e non sono riuscito a trovare quello che cercavo.
Volevo chiedere se era possibile darmi qualche idea che potesse aiutarmi a risolvere il groviglio in cui mi son cacciato.
Grazie mille in anticipo.
a causa del problema con la pandemia il professore ci ha assegnato degli esercizi sostitutivi ai compitini per le parti di termodinamica e relatività.
Purtroppo alcuni esercizi non sto riuscendo a risolverli e mi manca quel "ragionamento in più" per arrivare al risultato. Uno di questi esercizi per esempio ha come testo:
A $ n=1,5mol $ di un gas ideale biatomico vengono fatti seguire i due cicli schematizzati in figura. I cicli si somigliano, dato che le isocore e le isobare si sviluppano, rispettivamente, allo stesso volume $ V\_0=2.0*10^(‐2)m^3 $ e alla stessa pressione $ p\_0=2.026*10^5Pa $ , ma i due cicli si differenziano per la restante trasformazione, che è una isoterma nel ciclo (a) e un’adiabatica nel ciclo (b). Sapendo che nel ciclo (a) $ p\_1=3p\_0 $ e che nei due cicli il lavoro W compiuto dal gas è lo stesso, determinare:
a) il volume $ V\_1 $ nel ciclo (a) e la pressione $ p\_1' $ e il volume $ V\_1' $ nel ciclo (b);
b) i rendimenti dei due cicli, valutando quale sia maggiore.
Nel primo punto non ho avuto difficoltà siccome si trattava solo di applicare le formule delle trasformazioni termodinamiche in questione.
Per il secondo punto mi servirebbero 4 equazioni per trovare le incognite che sono $ p\_1' $,$ V\_1' $,$ T\_1' $ e $ T\_2 $, ma oltre ad usare le costanti presenti nelle trasformazioni, cioè $ V/T=cost $ , $ p/T=cost $ e $ pV^gamma =cost $ , non so proprio cosa utilizzare.
Ho provato usando il fatto che i lavori fatti dai cicli sono uguali ma vengono calcoli abbastanza complicati oppure o sbagliato qualcosa nelle formule usate e non sono riuscito a trovare quello che cercavo.
Volevo chiedere se era possibile darmi qualche idea che potesse aiutarmi a risolvere il groviglio in cui mi son cacciato.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Non stai sfruttando il fatto che il gas sia biatomico.
Questo ti dovrebbe suggerire qualcosa sul calore specifico e sul calore scambiato
Questo ti dovrebbe suggerire qualcosa sul calore specifico e sul calore scambiato
@_Tyrant_
Del primo ciclo sai tutto quindi, puoi pertanto calcolare anche il lavoro netto del ciclo.
Riguardo al secondo puoi scrivere la relazione tra pressioni e volumi tra gli estremi dell'adiabatica; inoltre puoi esprimere il lavoro netto del ciclo solo in funzione di $p_1'$ e $V_1'$ che sono le incognite, basta usare la relazione dei gas perfetti in caso per eliminare eventuali temperature.
Imponi poi che i due lavori siano uguali.
Quindi hai 2 equazioni e due incognite alla fine.
A quel punto una volta che sai praticamente tutte le variabili termodinamiche nei punti calcolare il calore assorbito (lungo isoterma e isocora per il primo e lungo isocora per il secondo) è facile. Noti i calori assorbiti e i lavori fatti calcoli quindi i due rendimenti.
Prova.
Del primo ciclo sai tutto quindi, puoi pertanto calcolare anche il lavoro netto del ciclo.
Riguardo al secondo puoi scrivere la relazione tra pressioni e volumi tra gli estremi dell'adiabatica; inoltre puoi esprimere il lavoro netto del ciclo solo in funzione di $p_1'$ e $V_1'$ che sono le incognite, basta usare la relazione dei gas perfetti in caso per eliminare eventuali temperature.
Imponi poi che i due lavori siano uguali.
Quindi hai 2 equazioni e due incognite alla fine.
A quel punto una volta che sai praticamente tutte le variabili termodinamiche nei punti calcolare il calore assorbito (lungo isoterma e isocora per il primo e lungo isocora per il secondo) è facile. Noti i calori assorbiti e i lavori fatti calcoli quindi i due rendimenti.
Prova.
Ok grazie mille! @Faussone
Ho provato a fare così, spero di non aver fatto errori
Allora nel primo ciclo abbiamo i punti, partendo dal vertice riferito all'angolo retto, ($ p\_0 $ , $ V\_0 $, $ T\_0 $); ($ p\_1 $ , $ V\_0 $, $ T\_1 $); ($ p\_0 $ , $ V\_1 $, $ T\_1 $).
Quindi il lavoro netto è:
$ W=0+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)+nR(T\_1-T\_0) $
Nel secondo invece abbiamo i punti, sempre partendo dal vertice riferito all'angolo retto, ($ p\_0 $ , $ V\_0 $, $ T\_0 $); ($ p\_1' $ , $ V\_0 $, $ T\_1' $); ($ p\_0 $ , $ V\_1' $, $ T\_2 $)
Quindi il lavoro sarà:
$ W=0+nc\_v(T\_1'-T\_2)+nR(T\_2-T\_0)=p\_0(V\_0-V\_1')+ 1/(gamma -1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') $
Per arrivare a questa uguaglianza ho usato nel caso dell'isobara semplicemente la definizione di lavoro, per l'adiabatica ho usato l'equazione dei gas perfetti.
Poi uguaglio i lavori.
L'unica cosa che forse da un po' fastidio è il logaritmo.
Ho provato a fare così, spero di non aver fatto errori
Allora nel primo ciclo abbiamo i punti, partendo dal vertice riferito all'angolo retto, ($ p\_0 $ , $ V\_0 $, $ T\_0 $); ($ p\_1 $ , $ V\_0 $, $ T\_1 $); ($ p\_0 $ , $ V\_1 $, $ T\_1 $).
Quindi il lavoro netto è:
$ W=0+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)+nR(T\_1-T\_0) $
Nel secondo invece abbiamo i punti, sempre partendo dal vertice riferito all'angolo retto, ($ p\_0 $ , $ V\_0 $, $ T\_0 $); ($ p\_1' $ , $ V\_0 $, $ T\_1' $); ($ p\_0 $ , $ V\_1' $, $ T\_2 $)
Quindi il lavoro sarà:
$ W=0+nc\_v(T\_1'-T\_2)+nR(T\_2-T\_0)=p\_0(V\_0-V\_1')+ 1/(gamma -1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') $
Per arrivare a questa uguaglianza ho usato nel caso dell'isobara semplicemente la definizione di lavoro, per l'adiabatica ho usato l'equazione dei gas perfetti.
Poi uguaglio i lavori.
L'unica cosa che forse da un po' fastidio è il logaritmo.
Non ho capito molto di quello che hai fatto...
Il lavoro delle isobare (in entrambi i cicli ovviamente) lo calcoli come $p Delta V$, no?
Il lavoro delle isobare (in entrambi i cicli ovviamente) lo calcoli come $p Delta V$, no?
Si nel primo ciclo effettivamente ho usato una formula che avevo sugli appunti per l'isobara e mi ha complicato i calcoli.... e probabilmente non è nemmeno troppo corretta.
Anche nel secondo ciclo ho sbagliato e ho usato la formula per la $ Delta U=nc\_v Delta T $ ma poi mi son corretto usando $ pDelta V $.
E' stato un po' confusionale, disattenzione mia mi scuso.
Anche nel secondo ciclo ho sbagliato e ho usato la formula per la $ Delta U=nc\_v Delta T $ ma poi mi son corretto usando $ pDelta V $.
E' stato un po' confusionale, disattenzione mia mi scuso.
Purtroppo non mi vengono comunque i calcoli perché il fattore gamma mi sta dando dei grossi problemi e non so bene come risolvere la situazione.
Scusate se sembro insistente, è solo che mi è una grossa gatta da pelare questo esercizio.
Scusate se sembro insistente, è solo che mi è una grossa gatta da pelare questo esercizio.
Se non metti le equazioni che ora stai usando è difficile aiutarti.
Allora sto usando:
$ { ( W\_1=W\_2 ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma):} $
cioè:
$ { ( p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)=p\_0(V\_0-V\_1')+1/(gamma-1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma ):} $
Siccome nella prima uguaglianza non ci sono fattori $ gamma $ all'esponente, quando inserisco le variabili nella seconda diventa un po' complicato il calcolo. Probabilmente devo utilizzare delle formule/proprietà differenti o c'è un modo che non ho notato per semplificare i calcoli.
$ { ( W\_1=W\_2 ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma):} $
cioè:
$ { ( p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)=p\_0(V\_0-V\_1')+1/(gamma-1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma ):} $
Siccome nella prima uguaglianza non ci sono fattori $ gamma $ all'esponente, quando inserisco le variabili nella seconda diventa un po' complicato il calcolo. Probabilmente devo utilizzare delle formule/proprietà differenti o c'è un modo che non ho notato per semplificare i calcoli.
"_Tyrant_":
Allora sto usando:
$ { ( W\_1=W\_2 ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma):} $
cioè:
$ { ( p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)=p\_0(V\_0-V\_1')+1/(gamma-1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma ):} $
Corretto.
In caso va risolto in maniera iterativa magari partendo come primo tentativo da $V_1'=V_1$, il procedimento logico comunque è quello.
Purtroppo continuo a non riuscire a risolvere questo sistema. Grazie mille per l'aiuto @Faussone che comunque mi ha dato una grandissima mano a capire la logica che sta dietro all'esercizio 
.
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"_Tyrant_":
Purtroppo continuo a non riuscire a risolvere questo sistema. Grazie mille per l'aiuto @Faussone che comunque mi ha dato una grandissima mano a capire la logica che sta dietro all'esercizio
Bene, prego!
Grazie di avermi ringraziato, non è scontato qui, mi sorprende e mi fa sempre piacere quando accade
Riguardo a come risolvere, se riesci a lavorare il sistema di equazioni fino ad arrivare per esempio a:
$V_1'=f((V_1')^gamma)+const$
dove $f((V_1')^gamma)$ è una generica funzione della variabile $(V_1')^gamma$.
Puoi partire da una $V_1'$ di tentativo (magari uguale a $V_1$) calcolare la nuova $V_1'$ che ti risulta e continuare vedendo se arrivi a convergenza.
Se converge otterresti la soluzione per $V_1'$.
Allora io ho posto:
$ { ( p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)-p\_0V\_0=-p\_0V\_1'+1/(gamma-1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma ):} $
$ p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)-p\_0V\_0 = K$ (costante)
Quindi:
$ { (K =-p\_0V\_1'+1/(gamma-1)((p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gammaV\_0-p\_0V\_1')),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gammaV\_0):} $
$ { (K + p\_0V\_1'+1/(gamma-1)(p\_0V\_1')=1/(gamma-1)((p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^(gamma-1))),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gamma):} $
Sapendo che $ gamma = 7/5 $ diventa (salto un po' di calcoli):
$ { (K + 7/2(p\_0V\_1')=5/2((p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^(gamma-1))),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gamma):} $
$ { (V\_1'=5/7((V\_1'^gamma)/V\_0^(gamma-1))-K'),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gamma):} $
con $ K'= (2K)/(7p\_0) $
Successivamente come posso continuare con la convergenza? @Faussone
$ { ( p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)-p\_0V\_0=-p\_0V\_1'+1/(gamma-1)(p\_1'V\_0-p\_0V\_1') ),( p\_0V\_1'^gamma =p\_1'V\_0^gamma ):} $
$ p\_0(V\_0-V\_1)+nRT\_1ln(V\_1/V\_0)-p\_0V\_0 = K$ (costante)
Quindi:
$ { (K =-p\_0V\_1'+1/(gamma-1)((p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gammaV\_0-p\_0V\_1')),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gammaV\_0):} $
$ { (K + p\_0V\_1'+1/(gamma-1)(p\_0V\_1')=1/(gamma-1)((p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^(gamma-1))),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gamma):} $
Sapendo che $ gamma = 7/5 $ diventa (salto un po' di calcoli):
$ { (K + 7/2(p\_0V\_1')=5/2((p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^(gamma-1))),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gamma):} $
$ { (V\_1'=5/7((V\_1'^gamma)/V\_0^(gamma-1))-K'),( p\_1' = (p\_0V\_1'^gamma)/V\_0^gamma):} $
con $ K'= (2K)/(7p\_0) $
Successivamente come posso continuare con la convergenza? @Faussone
Bene, hai tutto per provare ora (non ho controllato i passaggi ma mi fido 
)!
Assumi un $V_1'$ iniziale (per esempio pari a $V_1$), lo metti nel membro a destra dell'espressione di $V_1'$ a cui sei arrivato e trovi un nuovo valore per $V_1'$, quindi rifai la stessa cosa di nuovo fino a convergenza (se converge).
Puoi fare anche con Excel in caso per fare prima.
)! Assumi un $V_1'$ iniziale (per esempio pari a $V_1$), lo metti nel membro a destra dell'espressione di $V_1'$ a cui sei arrivato e trovi un nuovo valore per $V_1'$, quindi rifai la stessa cosa di nuovo fino a convergenza (se converge).
Puoi fare anche con Excel in caso per fare prima.
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