[Problemi] - Fisica Sperimentale A
Ciao a tutti, avrei alcuni problemi da proporvi.
Per essi ho ricavato le soluzioni, ma non sono sicuro della loro esattezza.
Spero in un vostro aiuto!
Soluzione:
Utilizzando Pitagora, posso ricavare l'angolo $theta$ formato dalla fune superiore con l'asta.
Infatti, ad una certa velocità angolare le due funi si tenderanno fino a raggiungere l'estensione massima ($R$ è il raggio di rotazione della massa attorno all'asta):
$R = sqrt(2.5^2-0.75^2) = 2.3848 m$
$theta = arccos(0.75/2.5) = 72.542°$
Ora si ricava $omega_0$, la velocità angolare minima in corrispondenza alla quale la fune inferiore comincia a tendersi ($"Fp"$ forza peso, $"Fc"$ forza centripeta, $T$ trazione relativa alla fune superiore):
$"Fp"/cos(theta) = T = "Fc"/sin(theta)$
$"Fc" = "Fp"*tan(theta)$
$m*omega_0^2*R = m*g*tan(theta)$
$omega_0 = sqrt(g/R*tan(theta)) = 3.6156 "rad"/s$
$omega = 100*(2*pi)/60 = 10.47 "rad"/s$
$omega > omega_0$, quindi entrambe le funi sono in estensione.
Ora si ricavano i valori delle due tensioni $T_1$ e $T_2$, relative rispettivamente alla fune superiore ed inferiore:
$T_1 = "Fc"*sin(theta)+"Fp"*cos(theta) = m*omega^2*R*sin(theta)+m*g*cos(theta) = 505 N$
$T_2 = "Fc"*sin(theta)-"Fp"*cos(theta) = m*omega^2*R*sin(theta)-m*g*cos(theta) = 493 N$
Soluzione:
Si considera il caso dell'asta.
La minima velocità $v$ deve essere tale in modo che ($"Ep"$ è l'energia potenziale e si riferisce al punto più alto della rotazione, $"Ek"$ è l'energia cinetica posseduta dal corpo nel punto di minima quota):
$"Ep" = "Ek"$
$2*m*g*l = 1/2*m*v^2$
$v = sqrt(4*g*l) = 8.86 m/s$
Ora si considera il caso della fune.
Si indica $"Fp"$ forza peso, $"Fc"$ forza centripeta, $v_0$ velocità posseduta dalla massa nel punto di massima quota.
Nel punto di massima quota, dovranno essere verificate le seguenti condizioni:
$"Fp" = "Fc"$
$m*g = m*v_0^2/l$
$v_0 = sqrt(g*l)$
Per la conservazione dell'energia, dovrà essere:
$1/2*m*v^2 = 1/2*m*v_0^2+2*m*g*l$
Quindi in questo caso la velocità minima $v$ deve essere pari a:
$v = sqrt(5*g*l) = 9.9 m/s$
Soluzione:
Si indica con $"Fr"$ forza di reazione, $"Fa"$ forza di attrito.
$"Fr" = m*g*cos(15) = 9476 N$
$"Fa" = m*v^2/r-m*g*sin(15)$ = 3711 N
$vec "Fa"$ ha la stessa direzione di $vec "Fc"$, ma verso opposto.
Soluzione:
Nel punto di distacco, deve essere ($"Fc"$ forza centripeta, $"Fp"$ forza peso):
$"Fc" = "Fp"$
$m*v^2/R = m*g*sin(theta)$
Quindi:
$sin(theta) = v^2/(g*R)$
Per la conservazione dell'energia, si ha (nei punti $a$ e $p$):
$"Epa" = "Ekp" + "Epp"$
$m*g*R = 1/2*m*v^2+m*g*R*sin(theta)$
Quindi:
$sin(theta) = 1-v^2/(2*g*R)$
Eguagliando i termini, si ottiene la velocità $v$ nel punto di distacco:
$v = sqrt(2/3*g*R) = 4.429 m/s$
$theta = arcsin(2/3*g*R*1/(g*R)) = 41.81°$
La reazione vincolare nel punto $b$ vale:
$"Fr" = m*g*sin(theta_b)-m*v_b^2/R$
Si ricava $v_b$ ricorrendo alla conservazione dell'energia:
$v_b = sqrt(2*g*R(1-sin(theta_b)))$
Quindi la reazione vincolare vale:
$"Fr" = m*g(sin(theta_b)-2*(1-sin(theta_b))) = m*g*(3sin(theta_b)-2) = 8.807 N$
Soluzione:
Il campo è conservativo, dato che:
$(del "Fx")/(del y) = (del "Fy")/(del x)$
Il lavoro cioè non dipende dal percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo.
Dato che quindi esiste la funzione energia di potenziale, una volta ricavata, è possibile calcolare il lavoro svolto dalle forze del campo durante lo spostamento dal punto $A$ al punto $B$.
Come si potrebbe comunque calcolare il lavoro svolto seguendo quella determinata traiettoria?
Per essi ho ricavato le soluzioni, ma non sono sicuro della loro esattezza.
Spero in un vostro aiuto!
Soluzione:
Utilizzando Pitagora, posso ricavare l'angolo $theta$ formato dalla fune superiore con l'asta.
Infatti, ad una certa velocità angolare le due funi si tenderanno fino a raggiungere l'estensione massima ($R$ è il raggio di rotazione della massa attorno all'asta):
$R = sqrt(2.5^2-0.75^2) = 2.3848 m$
$theta = arccos(0.75/2.5) = 72.542°$
Ora si ricava $omega_0$, la velocità angolare minima in corrispondenza alla quale la fune inferiore comincia a tendersi ($"Fp"$ forza peso, $"Fc"$ forza centripeta, $T$ trazione relativa alla fune superiore):
$"Fp"/cos(theta) = T = "Fc"/sin(theta)$
$"Fc" = "Fp"*tan(theta)$
$m*omega_0^2*R = m*g*tan(theta)$
$omega_0 = sqrt(g/R*tan(theta)) = 3.6156 "rad"/s$
$omega = 100*(2*pi)/60 = 10.47 "rad"/s$
$omega > omega_0$, quindi entrambe le funi sono in estensione.
Ora si ricavano i valori delle due tensioni $T_1$ e $T_2$, relative rispettivamente alla fune superiore ed inferiore:
$T_1 = "Fc"*sin(theta)+"Fp"*cos(theta) = m*omega^2*R*sin(theta)+m*g*cos(theta) = 505 N$
$T_2 = "Fc"*sin(theta)-"Fp"*cos(theta) = m*omega^2*R*sin(theta)-m*g*cos(theta) = 493 N$
Soluzione:
Si considera il caso dell'asta.
La minima velocità $v$ deve essere tale in modo che ($"Ep"$ è l'energia potenziale e si riferisce al punto più alto della rotazione, $"Ek"$ è l'energia cinetica posseduta dal corpo nel punto di minima quota):
$"Ep" = "Ek"$
$2*m*g*l = 1/2*m*v^2$
$v = sqrt(4*g*l) = 8.86 m/s$
Ora si considera il caso della fune.
Si indica $"Fp"$ forza peso, $"Fc"$ forza centripeta, $v_0$ velocità posseduta dalla massa nel punto di massima quota.
Nel punto di massima quota, dovranno essere verificate le seguenti condizioni:
$"Fp" = "Fc"$
$m*g = m*v_0^2/l$
$v_0 = sqrt(g*l)$
Per la conservazione dell'energia, dovrà essere:
$1/2*m*v^2 = 1/2*m*v_0^2+2*m*g*l$
Quindi in questo caso la velocità minima $v$ deve essere pari a:
$v = sqrt(5*g*l) = 9.9 m/s$
Soluzione:
Si indica con $"Fr"$ forza di reazione, $"Fa"$ forza di attrito.
$"Fr" = m*g*cos(15) = 9476 N$
$"Fa" = m*v^2/r-m*g*sin(15)$ = 3711 N
$vec "Fa"$ ha la stessa direzione di $vec "Fc"$, ma verso opposto.
Soluzione:
Nel punto di distacco, deve essere ($"Fc"$ forza centripeta, $"Fp"$ forza peso):
$"Fc" = "Fp"$
$m*v^2/R = m*g*sin(theta)$
Quindi:
$sin(theta) = v^2/(g*R)$
Per la conservazione dell'energia, si ha (nei punti $a$ e $p$):
$"Epa" = "Ekp" + "Epp"$
$m*g*R = 1/2*m*v^2+m*g*R*sin(theta)$
Quindi:
$sin(theta) = 1-v^2/(2*g*R)$
Eguagliando i termini, si ottiene la velocità $v$ nel punto di distacco:
$v = sqrt(2/3*g*R) = 4.429 m/s$
$theta = arcsin(2/3*g*R*1/(g*R)) = 41.81°$
La reazione vincolare nel punto $b$ vale:
$"Fr" = m*g*sin(theta_b)-m*v_b^2/R$
Si ricava $v_b$ ricorrendo alla conservazione dell'energia:
$v_b = sqrt(2*g*R(1-sin(theta_b)))$
Quindi la reazione vincolare vale:
$"Fr" = m*g(sin(theta_b)-2*(1-sin(theta_b))) = m*g*(3sin(theta_b)-2) = 8.807 N$
Soluzione:
Il campo è conservativo, dato che:
$(del "Fx")/(del y) = (del "Fy")/(del x)$
Il lavoro cioè non dipende dal percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo.
Dato che quindi esiste la funzione energia di potenziale, una volta ricavata, è possibile calcolare il lavoro svolto dalle forze del campo durante lo spostamento dal punto $A$ al punto $B$.
Come si potrebbe comunque calcolare il lavoro svolto seguendo quella determinata traiettoria?
Risposte
"Pidgeon":
Il lavoro cioè non dipende dal percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo.
Dato che quindi esiste la funzione energia di potenziale, una volta ricavata, è possibile calcolare il lavoro svolto dalle forze del campo durante lo spostamento dal punto $A$ al punto $B$.
Come si potrebbe comunque calcolare il lavoro svolto seguendo quella determinata traiettoria?
Si tratta di calcolare un integrale curvilineo.
Dopo aver scelto una parametrizzazione per la curva si tratta di calcolare $L=\int_C\vecF(\vecr)*\vecdr=\int_a^b\vecF(\vecr(t))*\vecr'(t)dt$.
Nel tuo caso hai una circonferenza di centro $(x=0,y=5/\sqrt(3))$ e di raggio $5/sqrt(3)$ percorsa in senso antiorario, ed una parametrizzazione è data da $x(t)=5/sqrt(3)sin(t),y(t)=-5/\sqrt(3)(1+(3)cos(t+\pi))$, con $0<=t<=arcsin(\sqrt(3)/5)$.
Ora bisogna calcolare il vettore tangente $r'(t)$ e sostituire il tutto nell'espressione sopra.
Come vedi viene un conto molto complicato che non sarebbe assolutamente agevole da calcolare direttamente.
Si vede subito che l'eserizio sei è sbagliato... Già la prima uguaglianza è sbagliata...
"Eredir":
[quote="Pidgeon"]Il lavoro cioè non dipende dal percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo.
Dato che quindi esiste la funzione energia di potenziale, una volta ricavata, è possibile calcolare il lavoro svolto dalle forze del campo durante lo spostamento dal punto $A$ al punto $B$.
Come si potrebbe comunque calcolare il lavoro svolto seguendo quella determinata traiettoria?
Si tratta di calcolare un integrale curvilineo.
Dopo aver scelto una parametrizzazione per la curva si tratta di calcolare $L=\int_C\vecF(\vecr)*\vecdr=\int_a^b\vecF(\vecr(t))*\vecr'(t)dt$.
Nel tuo caso hai una circonferenza di centro $(x=0,y=5/\sqrt(3))$ e di raggio $5/sqrt(3)$ percorsa in senso antiorario, ed una parametrizzazione è data da $x(t)=5/sqrt(3)sin(t),y(t)=-5/\sqrt(3)(1+(3)cos(t+\pi))$, con $0<=t<=arcsin(\sqrt(3)/5)$.
Ora bisogna calcolare il vettore tangente $r'(t)$ e sostituire il tutto nell'espressione sopra.
Come vedi viene un conto molto complicato che non sarebbe assolutamente agevole da calcolare direttamente.[/quote]
Grazie per la risposta.
I miei sospetti sono dunque fondati: bisogna ricorrere al calcolo dell'integrale!
Mi chiedevo però se ci fosse una soluzione alternativa, dato che tale esercizio potrà essere proposto all'esame e forse non sarà conveniente effettuare troppi calcoli.
"cavallipurosangue":
Si vede subito che l'eserizio sei è sbagliato... Già la prima uguaglianza è sbagliata...
Ti riferisci all'esercizio della semisfera?
Per l'uguaglianza ho considerato la componente della forza perso lungo la forza centripeta, la gravità tende a far rimanere la massa sulla superficie mentre la forza centrifuga la fa allontanare.
Quindi al momento del distacco, la componente della forza peso non dovrebbe uguagliare la forza centrifuga?
In cosa consiste l'errore?
ah ok allora si
Perfetto, restano da confermare 4 esercizi 
.
.
"Pidgeon":
I miei sospetti sono dunque fondati: bisogna ricorrere al calcolo dell'integrale!
Mi chiedevo però se ci fosse una soluzione alternativa, dato che tale esercizio potrà essere proposto all'esame e forse non sarà conveniente effettuare troppi calcoli.
Trovare il potenziale a partire dall'uguaglianza delle derivate miste non è difficile.
Calcolare quell'integrale curvilineo invece direi che lo è abbastanza.
"Eredir":
[quote="Pidgeon"]I miei sospetti sono dunque fondati: bisogna ricorrere al calcolo dell'integrale!
Mi chiedevo però se ci fosse una soluzione alternativa, dato che tale esercizio potrà essere proposto all'esame e forse non sarà conveniente effettuare troppi calcoli.
Trovare il potenziale a partire dall'uguaglianza delle derivate miste non è difficile.
Calcolare quell'integrale curvilineo invece direi che lo è abbastanza.
[/quote]Si mi riferivo proprio all'integrale
.Purtroppo il tempo a disposizione per l'esame sarà breve...
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