Problemi con alcuni esercizi di fisica 1 sulle molle
1 problema) Un corpo di massa M = 5kg inizialmente in quiete, è attaccato ad una molla di costante elastica K = 500 N/m ancorata al soffitto. La molla è inizialmente a riposo (nè estesa, nè compressa). determinare: a) l'estensione della molla quando la massa M raggiunge la massima velocità durante la caduta; b) la massima velocità raggiunta da M; c) la massima estensione della molla
mio ragionamento: a me hanno insegnato che una molla sotto la sola azione della forza elastica si muove di moto armonico; ma quindi questo significa che quella velocità che richiede il problema è omega? perchè io so che $omega^2 = K^2/m^2$
2 problema) una massa m = 3kg è collegata ad una molla, di massa trascurabile, mediante una puleggia. La puleggia è priva di attrito e la massa è lasciata libera da ferma quando la molla non è in tensione. Se la massa scende di 10 cm prima di invertire il suo moto, trovare a) la costante elastica della molla; b) la velocità della massa quando essa si trova a 5 cm dal suo punto di partenza
in questo problema sono proprio in alto mare, anche se so che se la massa scende di 10 cm, a meno che la molla sia giocattolo e quindi il corpo se la porta via, la molla si allungherà di altrettanti 10 cm; e che la forza elastica si oppone di rimando alla tensione della fune.
3) Un sasso di massa M = 3kg viene lasciato cadere da un'altezza h = 40 cm su una molle di costante elastica K, a riposo. Il sasso comprime al massimo la molla di una distanza s = 10 cm, si determini: a) la velocità con cui il sasso colpisce la molla e il suo tempo di volo (si trascuri l'attrito dell'aria); b) la costante elastica della molla; c) la forza totale agente sul sasso alla massima compressione della molla.
In quest'ultimo caso avevo pensato di usare il principio di conservazione dell'energia. Non sono sicura, per come è posto il problema, che tutta l'energia potenziale posseduta dal sasso prima che questo cada si trasformi in energia potenziale elastica.
mio ragionamento: a me hanno insegnato che una molla sotto la sola azione della forza elastica si muove di moto armonico; ma quindi questo significa che quella velocità che richiede il problema è omega? perchè io so che $omega^2 = K^2/m^2$
2 problema) una massa m = 3kg è collegata ad una molla, di massa trascurabile, mediante una puleggia. La puleggia è priva di attrito e la massa è lasciata libera da ferma quando la molla non è in tensione. Se la massa scende di 10 cm prima di invertire il suo moto, trovare a) la costante elastica della molla; b) la velocità della massa quando essa si trova a 5 cm dal suo punto di partenza
in questo problema sono proprio in alto mare, anche se so che se la massa scende di 10 cm, a meno che la molla sia giocattolo e quindi il corpo se la porta via, la molla si allungherà di altrettanti 10 cm; e che la forza elastica si oppone di rimando alla tensione della fune.
3) Un sasso di massa M = 3kg viene lasciato cadere da un'altezza h = 40 cm su una molle di costante elastica K, a riposo. Il sasso comprime al massimo la molla di una distanza s = 10 cm, si determini: a) la velocità con cui il sasso colpisce la molla e il suo tempo di volo (si trascuri l'attrito dell'aria); b) la costante elastica della molla; c) la forza totale agente sul sasso alla massima compressione della molla.
In quest'ultimo caso avevo pensato di usare il principio di conservazione dell'energia. Non sono sicura, per come è posto il problema, che tutta l'energia potenziale posseduta dal sasso prima che questo cada si trasformi in energia potenziale elastica.
Risposte
1) Intanto ti faccio notare che questa massa non si muove solo sotto l'azione della forza elastica, ma anche della forza peso, quindi a priori non è detto che si muova di tale moto. Fai uno schema delle forze in gioco, scrivi il secondo principio della dinamica applicato a questo caso e risolvi l'equazione differenziale che ne risulta per capire effettivamente come si muove la massa.
No, la velocità non è [tex]\omega[/tex]. [tex]\omega[/tex] è la pulsazione, che in un moto armonico non rappresenta neanche una velocità angolare, a rigore.
E attenzione che [tex]\omega^2 = \dfrac{k}{m}[/tex] senza i quadrati a secondo membro
2) Non capisco come sia disposta il sistema fisico, purtroppo
3) Sì, la velocità con cui viene colpita la molla puoi calcolarla con la conservazione dell'energia, mentre il tempo di volo in base a semplici considerazioni cinematiche.
Per il calcolo della costante elastica della molla, ritengo ragionevole la tua ipotesi riguardante la conservazione tra l'energia potenziale e la potenziale elastica.
No, la velocità non è [tex]\omega[/tex]. [tex]\omega[/tex] è la pulsazione, che in un moto armonico non rappresenta neanche una velocità angolare, a rigore.
E attenzione che [tex]\omega^2 = \dfrac{k}{m}[/tex] senza i quadrati a secondo membro
2) Non capisco come sia disposta il sistema fisico, purtroppo
3) Sì, la velocità con cui viene colpita la molla puoi calcolarla con la conservazione dell'energia, mentre il tempo di volo in base a semplici considerazioni cinematiche.
Per il calcolo della costante elastica della molla, ritengo ragionevole la tua ipotesi riguardante la conservazione tra l'energia potenziale e la potenziale elastica.
Ah si si per quanto riguarda il problema 1: sapevo che il secondo membro non era elevato al quadrato, mi sono confusa perchè non sapevo come fare la radice quadrata e fatto pasticcio. Per quanto riguarda il problema 2: si ostinano a scrivere i testi dei problemi con linguaggi aulici quando basterebbe dire che siamo in presenza di una carrucola che presenta da un lato una molla e dall'altro lato una massa. Di solito si è in presenza di carrucole che da entrambi i lati presentano masse m. In questo caso scorre inizia a scorrere il filo e quindi, come se fosse una bilancia la massa scende e la molla "sale". Ah poi volevo chiedere un'informazione: ma il tempo di volo e il tempo di caduta sono la stessa cosa? perchè se così non fosse non so proprio cosa sia il tempo di volo.
ma la molla presente da un lato della carrucola è fissata al pavimento o libera?
Si certo, i due tempi sono la stessa cosa
Si certo, i due tempi sono la stessa cosa
Oh che bellezza! sono la stessa cosa quindi una cosa in meno da imparare =) ma sinceramente per come si presenta il disegno la molla non è ancorata al pavimento perchè in pratica si vede che c'è una linea retta che collega l'estremità inferiore della molla con il pavimento come a significare che quella è una quota quindi la molla non parte da attaccata a terra. Di solito sono sempre riuscita a risolvere i problemi di fisica ma ultimamente mi perdo in sciocchezze e ciò non è buono perchè a settembre dovrò dare l'esame!
Potrebbe darsi che quella "linea di quota" sia in realtà una fune o un'asta? Perché (ammesso che io abbia capito la configurazione del sistema) se la molla avesse un estremo libero di fatto nn esibirebbe un comportamento elastico (quindi si comporterebbe come una massa qualunque... ma avendo massa trascurabile è proprio come se non ci fosse!)
Ahhhh!!! sono andata a ricontrollare il disegno, non su carta ma direttamente sul file del pc in modo da essere più chiaro! in effetti hai pienamente ragione: il pc non ha marcato bene la linea facendola passare come una linea che fa capire che si è in presenza di un dislivello quando invece quella linea è proprio la fune della carrucola! in pratica c'è la carrucola cn ai lati due fili che pendono, da un lato vi è la massa m (comunissimo blocco quadrato) e dall'altro lato vi è la fune con all'estremo la molla e sul finire della molla c'è la continuazione del filo che arriva al suolo. Scusa per non essermi spiegata bene e grazie per avermi fatta accorgere!!
Prego se la molla non fosse stata vincolata il problema sarebbe stato comunque risolvibile, solo che la molla non avrebbe influito minimamente... e allora perché metterla in mezzo? e questo che mi ha fatto venire il dubbio
Prova a risolverlo così, se hai problemi, sono qui
se la molla non fosse stata vincolata il problema sarebbe stato comunque risolvibile, solo che la molla non avrebbe influito minimamente... e allora perché metterla in mezzo? e questo che mi ha fatto venire il dubbio Prova a risolverlo così, se hai problemi, sono qui
Il mio principale problema, o meglio ciò che mi manda in confusione, oltre ad assere la presenza della molla da un lato (visto che problemi con macchine di Atwood che prevedevano due blocchi, e non un blocco e una molla, ne ho risolti un sacco e non ho mai riscontrato difficoltà) è il fatto che i quesiti vanno tutti risolti in funzione del fatto che il blocco sta scendendo! io non ho mai risolto problemi di questo tipo, cioè in linea di massima i miei sistemi stavano sempre fermi. Per di più non so neanche da dove partire per risolvere il quesito c! Sob
ps: venite a farmelo voi l'esame a settembre =)
ps: venite a farmelo voi l'esame a settembre =)
"Whisky84":
1) Intanto ti faccio notare che questa massa non si muove solo sotto l'azione della forza elastica, ma anche della forza peso, quindi a priori non è detto che si muova di tale moto.
Invece sì, si può facilmente dimostrare che, in una dimensione, un potenziale armonico sommato ad un potenziale dipendente solo dalla distanza (alla prima potenza) restituisce un moto armonico. In più dimensioni il teorema è ancora valido se il potenziale armonico e quello dipendente solo dalla prima potenza della distanza agiscono sullo stesso asse.
Zkeggia avevo ragione allora???... ma in questa maniera il problema non sarebbe troppo semplice? perchè scusa, a meno che io non sbagli (sicuro lo sto facendo =) ) la massima velocità raggiunta dalla massa M dovrebbe esser $Vmax = deltaX*omega$
dipende da cosa intendi per $deltax$ -)
tu hai l'equazione
$ma = -kx -mg$
posto $t = x +(mg)/k$ si ha $(d^2t)/(dt^2) = (d^2x)/(dt^2)$
dunque
$m (d^2t)/(dt^2) = - k t$
Che è esattamente l'espressione che caratterizza il moto armonico. Però si può vedere che le x siano tutte traslate di $(mg)/k$... dunque?
Ricordo che la soluzione di tale equazione è
$t(t) = A cos (sqrt(k/m)t + phi_0)$
con $A$ e $phi$ da determinare rispetto alle condizioni iniziali... una volta determinati puoi "ritornare" ad x
tu hai l'equazione
$ma = -kx -mg$
posto $t = x +(mg)/k$ si ha $(d^2t)/(dt^2) = (d^2x)/(dt^2)$
dunque
$m (d^2t)/(dt^2) = - k t$
Che è esattamente l'espressione che caratterizza il moto armonico. Però si può vedere che le x siano tutte traslate di $(mg)/k$... dunque?
Ricordo che la soluzione di tale equazione è
$t(t) = A cos (sqrt(k/m)t + phi_0)$
con $A$ e $phi$ da determinare rispetto alle condizioni iniziali... una volta determinati puoi "ritornare" ad x
si scusa con $deltax$ intendevo l'allungamento della molla =) mmh ok, ci sto capendo sempre meno... cioè no non è vero: ci sto capendo perchè a quella equazione ci sono arrivata anche io, solo che $A$ e $phi$ sono incognite, ci sono troppe incognite cioè in base ai dati del problema come faccio a ricavarmi $A$ e $phi$ ? cioè a me viene dato solo il valore della massa e la costante elastica.
ps: lo facevo più semplice questo problema una volta visto il disegno =)
ps: lo facevo più semplice questo problema una volta visto il disegno =)
una condizione iniziale è che l'accelerazione iniziale sia pari a $-mg$, l'altra condizione iniziale è che la posizione iniziale della molla sia a riposo.
Prova a sostituire nell'espressione, ricaverai $A$ e $phi$, poi farai tutte le considerazioni che devi sull'allungamento.
Prova a sostituire nell'espressione, ricaverai $A$ e $phi$, poi farai tutte le considerazioni che devi sull'allungamento.
ma nell'equazione $t(t) = Acos(sqrt(K/m)t + phi_0)$ la $phi_0$ non dovrebbe essere = 0? perchè se così fosse sarebbe semplice ricavare A
Proviamo:
una volta scritta $t(t)$ possiamo passare facilmente a $x(t)$ sottraendo $(mg)/k$, dunque
$x(t) = A cos (sqrt(k/m)t + phi_0) - (mg)/k$
Ho che all'istante iniziale la molla è ferma, cioè $(dx)/(dt) (0) = 0 -> -Asqrt(k/m)sin(sqrt(k/m)*0 + phi_0) = 0-> phi_0 = 0$
Dunque sì, la fase è nulla.
Ora trova A.
una volta scritta $t(t)$ possiamo passare facilmente a $x(t)$ sottraendo $(mg)/k$, dunque
$x(t) = A cos (sqrt(k/m)t + phi_0) - (mg)/k$
Ho che all'istante iniziale la molla è ferma, cioè $(dx)/(dt) (0) = 0 -> -Asqrt(k/m)sin(sqrt(k/m)*0 + phi_0) = 0-> phi_0 = 0$
Dunque sì, la fase è nulla.
Ora trova A.
per trovare A dovrebbe bastare sostituire al posto di t, nell'equazione del moto armonico $x + (mg)/k$ visto che la fase è nulla! =) però che condizione devo porre affinchè riesca a trovare l'estensione della molla quando la massa M raggiunge la massima velocità in caduta?
Quando si ha un massimo in una funzione derivabile e continua? quando la derivata è nulla. Quindi trovati i punti in cui l'accelerazione, ovvero la derivata della velocità, si annulla. Quelli saranno punti di massimo o di minimo, e per sapere quali sono di massimo basta sostituire nell'espressione della velocità e verificare!
Si è vero! non avevo fatto la connessione con analisi =) ma mi togli una curiosità? anzi due: 1) ma non c'è un modo per imparare a svolgere i problemi di fisica (perchè mi sto sconfortando parecchio vedendo che mi blocco per delle sciocchezze) 2) nel nostro caso come si calcola $(d^2t)/dt^2$ ? che riscorrendo nei post ho visto che come spiegazione mi hai portato questo calcolo. Perchè ora ti spiego per calcolare l'ampiezza A, sostituendo i vari dati nell'equazione del moto armonico, sostituisco $t = x + (mg)/k$ però c'è quella x che non conosco e a questo punto sarebbe un'equazione a due incognite. Anche se comunque ripensandoci conosco la x(t). Non si può arrivare a determinare la x senza che questa sia in funzione di t?
Il problema è che la mia scelta di cambiamento variabile è stata un po' infelice, potevo chiamarla $y(t)$ invece che $t(t)$.
Tu sai che la soluzione $t(t)$ è una funzione del tempo, per la precisione abbiamo detto essere $t(t) = A cos sqrt(k/m t)$
Ora abbiamo che $t(t) = x(t) + mg/k-> x(t) = A cos sqrt(k/mt) - mg/k$
Ora, non ha senso dire che vuoi una x non in funzione di t, data la sua esplicita dipendenza dal tempo...
Attenta a non confondere le t, quando scrivo $t(t)$ intendo una funzione del tempo, il problema è che questa funzione l'ho chiamata t perché son grullo.
Quindi in $t(t) = A cos sqrt((k/m) t)$ la t a destra è il tempo, quella a sinistra invece è proprio la t funzione.
Insomma alla fine hai
$x(t) = A cos sqrt((k/m)t) - mg/k$
dove t è il tempo.
adesso tu vuoi trovare i punti in cui si annulla a. Deriva due volte x rispetto a t e eguaglia a 0
$(d^2x)/(dt^2) = - k/m A cos sqrt((k/m)t) = 0 -> t = n pi$ dove $n$ è un numero naturale qualunque
ora non ti resta che sostituire $n pi$ nell'espressione della velocità:
$(dx)/(dt) = - sqrt(k/m) A sin (sqrt(k/m)t)$
e verificare quali sono i punti di massimo.
P.s. Anche io mi imbrogliavo tanto con questi esercizietti, proprio tanto, ed io faccio fisica, non è bello. Poi ho imparato a risolvere le equazioni differenziali. Da li le cose sono migliorate notevolmente
. Non so che facoltà fai, ma penso tu dovrai prima o poi risolvere qualche equazione differenziale. Allora ti consiglio di imparare subito con le più famose EDO del secondo e del primo ordine. Questo tipo di esercizi si ridurrà a scrivere un'equazione differenziale e risolverla. Vedrai che dopo un po' capirai perché la fisica è al 90% matematica! (Se mi legge qualcuno del forum che so io, mi fa la ramanzina!)
Tu sai che la soluzione $t(t)$ è una funzione del tempo, per la precisione abbiamo detto essere $t(t) = A cos sqrt(k/m t)$
Ora abbiamo che $t(t) = x(t) + mg/k-> x(t) = A cos sqrt(k/mt) - mg/k$
Ora, non ha senso dire che vuoi una x non in funzione di t, data la sua esplicita dipendenza dal tempo...
Attenta a non confondere le t, quando scrivo $t(t)$ intendo una funzione del tempo, il problema è che questa funzione l'ho chiamata t perché son grullo.
Quindi in $t(t) = A cos sqrt((k/m) t)$ la t a destra è il tempo, quella a sinistra invece è proprio la t funzione.
Insomma alla fine hai
$x(t) = A cos sqrt((k/m)t) - mg/k$
dove t è il tempo.
adesso tu vuoi trovare i punti in cui si annulla a. Deriva due volte x rispetto a t e eguaglia a 0
$(d^2x)/(dt^2) = - k/m A cos sqrt((k/m)t) = 0 -> t = n pi$ dove $n$ è un numero naturale qualunque
ora non ti resta che sostituire $n pi$ nell'espressione della velocità:
$(dx)/(dt) = - sqrt(k/m) A sin (sqrt(k/m)t)$
e verificare quali sono i punti di massimo.
P.s. Anche io mi imbrogliavo tanto con questi esercizietti, proprio tanto, ed io faccio fisica, non è bello. Poi ho imparato a risolvere le equazioni differenziali. Da li le cose sono migliorate notevolmente
. Non so che facoltà fai, ma penso tu dovrai prima o poi risolvere qualche equazione differenziale. Allora ti consiglio di imparare subito con le più famose EDO del secondo e del primo ordine. Questo tipo di esercizi si ridurrà a scrivere un'equazione differenziale e risolverla. Vedrai che dopo un po' capirai perché la fisica è al 90% matematica! (Se mi legge qualcuno del forum che so io, mi fa la ramanzina!)
Oooooohhh ora ho capito!!! quindi anche per trovare la massima estensione della molla mi tocca derivare e trovare i punti di massimo? caspita sei davvero bravo in fisica =) grazie mille dell'aiuto che mi stai dando =) comunque faccio ingegneria dell'edilizia al Politecnico, sono al primo anno =)
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