Problema:Piano inclinato e Giro della morte
Un corpo di massa $ m=1.0 kg $ scivola lungo un piano scabro, con coefficiente di attrito dinamico $ mu =0.1 $, che forma un angolo $ alpha=45° $ con l’orizzontale. Arrivato alla base del piano inclinato entra in un “cerchio della morte” con superficie di contatto liscia. Il raggio della guida circolare è $ R= 1.0 m $ e il corpo parte da un altezza iniziale $ h=4 R $. Si calcoli: a) il minimo valore del modulo della velocità iniziale $ v0 $ del corpo affinchè esso possa transitare nel punto più alto della guida circolare; b) la velocità $ v1 $ con cui transita il corpo nel punto di massima altezza della guida circolare, se parte dalla sommità del piano inclinato con una veloctà iniziale pari a $ 2 v0 $.
Allora, io avevo provato a ragionare pensando a che velocità doveva avere alla fine della discesa il corpo per fare il giro completo senza cadere e quindi facendo il bilancio energetico $ 1/2mv^2=2R*mg + 1/2mv.^2 $ dove $ v. $ è la velocità che ha nel punto più alto della ruota che è uguale a $ 1/Rmv.^2=mg => v.=sqrt(Rg) $
Quindi l'equazione diventa $ 1/2mv^2=2R*mg + 1/2mRg $
Ricavo allora la velocità che deve avere alla base del piano inclinato per fare il giro completo $ v=sqrt(4R*g +Rg) $
Per trovare la velocità iniziale da avere, faccio l'analisi energetica dalla cima del piano inclinato e alla fine di esso
$ mgh+1/2mv0^2=1/2mv^2+mumgLcosalpha =>v0^2=v^2+2mugLcosalpha-2gh=> v0=sqrt(v^2+2mugLcosalpha-2gh) $
con $ L $ è la lunghezza del piano inclinato e quindi $ L=h/sinalpha $
sostituisco $ h=4R $ e $L=h/sinalpha$ e mi viene $ v0=sqrt(v^2+8mugRcosalpha/sinalpha-8gR) $
Qui mi trovo che $ v0 $ è la radice di un numero negativo... Cos'è che ho sbagliato??
Allora, io avevo provato a ragionare pensando a che velocità doveva avere alla fine della discesa il corpo per fare il giro completo senza cadere e quindi facendo il bilancio energetico $ 1/2mv^2=2R*mg + 1/2mv.^2 $ dove $ v. $ è la velocità che ha nel punto più alto della ruota che è uguale a $ 1/Rmv.^2=mg => v.=sqrt(Rg) $
Quindi l'equazione diventa $ 1/2mv^2=2R*mg + 1/2mRg $
Ricavo allora la velocità che deve avere alla base del piano inclinato per fare il giro completo $ v=sqrt(4R*g +Rg) $
Per trovare la velocità iniziale da avere, faccio l'analisi energetica dalla cima del piano inclinato e alla fine di esso
$ mgh+1/2mv0^2=1/2mv^2+mumgLcosalpha =>v0^2=v^2+2mugLcosalpha-2gh=> v0=sqrt(v^2+2mugLcosalpha-2gh) $
con $ L $ è la lunghezza del piano inclinato e quindi $ L=h/sinalpha $
sostituisco $ h=4R $ e $L=h/sinalpha$ e mi viene $ v0=sqrt(v^2+8mugRcosalpha/sinalpha-8gR) $
Qui mi trovo che $ v0 $ è la radice di un numero negativo... Cos'è che ho sbagliato??
Risposte
Mah, a prima vista mi sembra che non hai sbagliato niente.
Riassumiamo i dati.
Per fare il giro della morte il corpo deve avere, alla fine del piano inclinato una energia cinetica pari a
$$\frac{1}
{2}m{v^2} = 2,5mRg$$
Se il corpo partisse dalla cima del piano inclinato con velocità nulla la sua energia alla fine del piano inclinato sarebbe:
$${E_k} = 4Rmg - {E_p}$$
dove Ep è l'energia perduta in attrito. D'altra parte si ha:
$${E_p} = 4\mu Rmg\frac{{\cos \alpha }}
{{\sin \alpha }} = 0,4Rmg$$
da cui si vede che anche se il corpo partisse con velocità nulla arriverebbe alla fine del piano inclinato con un'energia sovrabbondante, maggiore di quella minima necessaria per fare il giro della morte.
Dunque o mi sono sbagliato anch'io, oppure l'esercizio è sbagliato.
Riassumiamo i dati.
Per fare il giro della morte il corpo deve avere, alla fine del piano inclinato una energia cinetica pari a
$$\frac{1}
{2}m{v^2} = 2,5mRg$$
Se il corpo partisse dalla cima del piano inclinato con velocità nulla la sua energia alla fine del piano inclinato sarebbe:
$${E_k} = 4Rmg - {E_p}$$
dove Ep è l'energia perduta in attrito. D'altra parte si ha:
$${E_p} = 4\mu Rmg\frac{{\cos \alpha }}
{{\sin \alpha }} = 0,4Rmg$$
da cui si vede che anche se il corpo partisse con velocità nulla arriverebbe alla fine del piano inclinato con un'energia sovrabbondante, maggiore di quella minima necessaria per fare il giro della morte.
Dunque o mi sono sbagliato anch'io, oppure l'esercizio è sbagliato.
Il fatto è che era un esercizio di esame ed è molto strana sta cosa. Comunque grazie e mi rassicura un pò il fatto che non ci riesci nemmeno tu xD grazie ancora C:
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