Problema: velocità di caduta
salve a tutti, volevo presentare qui di seguito un problema che non riesco a risolvere:
Un cavo inestensibile di massa nulla è per un suo estremo arrotolato intorno ad un cilindro omogeneo il cui asse di rotazione orizzontale è fissato al terreno. Il cilindro ha massa M=10Kg e R=raggio=0.1m. L' altro estremo del cavo, passando prima per una carrucola appesa al soffitto, sorregge a mezz' aria un corpo di massa m=20Kg. Il cavo forma un angolo $alfa=50$ rispetto all' orizzontale fra cilindro e carrucola. La carrucola ha mamassa e dimensioni trascurabili. Il cavo si svolge senza scivolare sia sul cilindro che sulla carrucola. Inizialmente il cilindro è bloccato e poi è lasciato libero di ruotare.
Calcolare:
-la velocità di caduta del corpo quando è sceso di un tratto $h=2m$ rispetto alla posizione statica iniziale
-la forza costante esercitata da un freno sulla superficie laterale del cilindro se la velocità di caduta del corpo quando è sceso del tratto h risulta essere $v=4.5m/s$
P.s: per la velocità di caduta ho pensato di utilizzare la formula relativa alla variazione di energia meccanica del sistema (conservativo).
Se per ipotesi $E_f-E_i=delta(K+U)=0$ allora fissando il verso delle y negativo verso il basso sarà: $E_i=0,E_f=m_c*g*(-h)-m_c/2*(v_f)^2$ ($m_c$=massa del corpo appeso). Imponendo le condizioni scritte il risultato sarà $v=6.26m/s$ che però non è il risultato giusto per il professore .
Un cavo inestensibile di massa nulla è per un suo estremo arrotolato intorno ad un cilindro omogeneo il cui asse di rotazione orizzontale è fissato al terreno. Il cilindro ha massa M=10Kg e R=raggio=0.1m. L' altro estremo del cavo, passando prima per una carrucola appesa al soffitto, sorregge a mezz' aria un corpo di massa m=20Kg. Il cavo forma un angolo $alfa=50$ rispetto all' orizzontale fra cilindro e carrucola. La carrucola ha mamassa e dimensioni trascurabili. Il cavo si svolge senza scivolare sia sul cilindro che sulla carrucola. Inizialmente il cilindro è bloccato e poi è lasciato libero di ruotare.
Calcolare:
-la velocità di caduta del corpo quando è sceso di un tratto $h=2m$ rispetto alla posizione statica iniziale
-la forza costante esercitata da un freno sulla superficie laterale del cilindro se la velocità di caduta del corpo quando è sceso del tratto h risulta essere $v=4.5m/s$
P.s: per la velocità di caduta ho pensato di utilizzare la formula relativa alla variazione di energia meccanica del sistema (conservativo).
Se per ipotesi $E_f-E_i=delta(K+U)=0$ allora fissando il verso delle y negativo verso il basso sarà: $E_i=0,E_f=m_c*g*(-h)-m_c/2*(v_f)^2$ ($m_c$=massa del corpo appeso). Imponendo le condizioni scritte il risultato sarà $v=6.26m/s$ che però non è il risultato giusto per il professore .
Risposte
Premesso che un'immagine sarebbe stata meglio di 200 parole, il testo mi pare abbastanza chiaro. A me pare che nella tua soluzione, scritta male parecchio, come minimo manchi l'energia cinetica del cilindro. Sul problema dell'angolo non mi sono ancora concentrato.
si sò che un' immagine sarebbe stata meglio di mille parole, la prossima volta aggiungero anch' essa al post... In ogni caso ho due domande:
1)la corda che fà girare il cilindro da come ho potuto verificare agisce completamente come un momento torcente tangente allo stesso ?? Perchè io mi sono chiesto: se la corda è piegata di un angolo alfa rispetto all' orizzontale che interseca l' asse verticale passante rispettivamente per il c.d.m del cilindro e secante quello che passa per il c.d.m del blocco, vorrà dire che una parte della forza di gravità, che si distribuisce completamente sulla fune piegata sarà uguale alla somma dei contributi della tensione della corda; l' una, quella orizzontale, avrà azione tangente alla superfice del blocco mentre l' altra, quella sull' asse z, avrà azione sull' asse attorno a cui ruota il cilindro (assumiamo sia z), che fondamentalmente non ha alcun senso prenderlo in considerazione, perchè come dice il testo stesso, il cilindro è fissato a terra e dunque il suo momento torcente è controbilanciato da una forza di reazione uguale ed opposta... Nella soluzione del problema tutto ciò non viene tenuto in considerazione... Ora mi chiedo: c'è un errore nella mia discussione?
2)C' è un modo diverso per arrivare alla conclusione della prima domanda oltre a considerare le due energie cinetiche, del cilindro in rotazione e del corpo in caduta, che aumentando fanno diminuire l' energia potenziale totale del sistema?
[$E_f=I(V_tan)/R+1/2*m_c*(v_f)^2-m_cgh)=0$]
Grazie
1)la corda che fà girare il cilindro da come ho potuto verificare agisce completamente come un momento torcente tangente allo stesso ?? Perchè io mi sono chiesto: se la corda è piegata di un angolo alfa rispetto all' orizzontale che interseca l' asse verticale passante rispettivamente per il c.d.m del cilindro e secante quello che passa per il c.d.m del blocco, vorrà dire che una parte della forza di gravità, che si distribuisce completamente sulla fune piegata sarà uguale alla somma dei contributi della tensione della corda; l' una, quella orizzontale, avrà azione tangente alla superfice del blocco mentre l' altra, quella sull' asse z, avrà azione sull' asse attorno a cui ruota il cilindro (assumiamo sia z), che fondamentalmente non ha alcun senso prenderlo in considerazione, perchè come dice il testo stesso, il cilindro è fissato a terra e dunque il suo momento torcente è controbilanciato da una forza di reazione uguale ed opposta... Nella soluzione del problema tutto ciò non viene tenuto in considerazione... Ora mi chiedo: c'è un errore nella mia discussione?
2)C' è un modo diverso per arrivare alla conclusione della prima domanda oltre a considerare le due energie cinetiche, del cilindro in rotazione e del corpo in caduta, che aumentando fanno diminuire l' energia potenziale totale del sistema?
[$E_f=I(V_tan)/R+1/2*m_c*(v_f)^2-m_cgh)=0$]
Grazie
Devi postare una figura. Per come interpreto io il testo, l'angolo della fune non entra in gioco nel calcolo: la fune e' tangente sempre e comunque. ma puo darsi che il mio sistema (nella mia testa) sia diverso da quello effettivo
ecco come ho interpretato la situazione: 
Io avevo messo il cilindro con asse orizzontale (lo dice il testo).
In questo caso, si l'angolo della forza ha un impatto. Ma non vedo dove trovi il problema?
In questo caso, si l'angolo della forza ha un impatto. Ma non vedo dove trovi il problema?
beh in realtà più che un problema è una domanda: parte del momento torcente dovuto all' azione della forza che si distribuisce lungo la direzione del filo non dovrebbe disperdersi? infatti ,distribuendosi, la componente lungo l' asse z di tale momento torcente è contrastato dalle forze che mantengono il cilindro stabile verticalmente sull' asse passante per il suo cdm e dunque sarebbe come considerare una forza superflua... Mi sbaglio?
potrebbe anche essere però che seppur tale momento torcente è nullo questo non vuol dire che la sua componente verticale della forza tangente alla superficie del cilindro in un punto sia anch' essa nulla... Dunque entrambi i momenti torcenti servirebbero per aumentare la velocità angolare attorno all' asse z...
La componente verticale della forza (Tsin(50) dalla tua figura) non da momento. Quindi la relazione che lega T all'accelerazione angolare del cilindro e'
$Tcos\alpha\cdotR=I\cdot\dot\omega$
$Tcos\alpha\cdotR=I\cdot\dot\omega$
e dunque il mio ragionamento è giusto? allora quando devo calcolare la velocità di caduta non dovrei tenere conto anche di questo nella formula dell' energia meccanica? Cioè la velocità tangenziale di un punto sul bordo del disco non è uguale alla velocità di caduta del blocco...
No, no lo e'.
Porta il ragionamento all'estremo: se l'angolo fosse 90 invece di 50, una rotazione del cilindro $r\theta$ farebbe scendere il blocco di 0 metri.
Quindi la relazione cinematica che regola la rotazione $\theta$ del cilindro alla discesa $y$ del blocco e'.......?
Porta il ragionamento all'estremo: se l'angolo fosse 90 invece di 50, una rotazione del cilindro $r\theta$ farebbe scendere il blocco di 0 metri.
Quindi la relazione cinematica che regola la rotazione $\theta$ del cilindro alla discesa $y$ del blocco e'.......?
In tal caso come farebbe ad esserci una relazione cinematica fra la velocità di discesa del blocco e lo spostamento angolare attorno a z del cilindro? Infatti il momento torcente $tau_z=(dL_z)/dt$ che in tal caso non è nullo( poichè abbiamo supposto che una forza faccia girare il cilindro di un angolo $theta$, mentre, contemporaneamente, il blocco rimane sempre nello stesso punto e perciò è in quiete e il suo peso non ha alcun effetto sulla velocità angolare ($omega_z$)... Potrei concludere piuttosto la mia tesi, dicendo che i due moti sono indipendenti e l' uno non ha effetti sull' altro...
E secondo te, i due moti sono indipendenti? Cioe' non esiste relazione cinematica tra rotazione del cilindro e discesa del disco? E allora la fune che fa? Ti rompe solo le uova nel paniere.
Quando ti dico "porta il ragionamento all'estremo" intendo dire: ti rendi conto che il momento della forza (non usare torcente, non e' adatto in questo contesto, non si torce nulla) e' influenzato dall'angolo $\alpha$ che la fune fa con l'orizzontale: per $\alpha=0$, uno spostamento della fune dy comporta un uguale spostamento di un punto sulla superficie del blocco, tale che $dy=Rd\theta$. Se invece l'angolo fosse 90, la funa si svolgerebbe senza far rotolare il cilindro (cosa che equivale a dire che la fune non da momento).
Esiste una precisa relazione tra $\theta$ e $y$ in funzione di $alpha$. Quale e' questa relazione? Quando la trovi, hai risolto il problema.
Quando ti dico "porta il ragionamento all'estremo" intendo dire: ti rendi conto che il momento della forza (non usare torcente, non e' adatto in questo contesto, non si torce nulla) e' influenzato dall'angolo $\alpha$ che la fune fa con l'orizzontale: per $\alpha=0$, uno spostamento della fune dy comporta un uguale spostamento di un punto sulla superficie del blocco, tale che $dy=Rd\theta$. Se invece l'angolo fosse 90, la funa si svolgerebbe senza far rotolare il cilindro (cosa che equivale a dire che la fune non da momento).
Esiste una precisa relazione tra $\theta$ e $y$ in funzione di $alpha$. Quale e' questa relazione? Quando la trovi, hai risolto il problema.
Sciarra,
il cilindro è disposto con asse orizzontale, lo dice il testo. La carrucola è di massa trascurabile, quindi la tensione nel tratto di filo che esce dalla carrucola (quello che sostiene la massa sospesa) è uguale alla tensione nel tratto che entra nella carrucola.
Questa tensione agisce sul cilindro con un momento uguale a T*R . Il filo è tangente al cilindro nel punto in cui si stacca da esso per svolgersi.
Se il cilindro ruota di $d\theta$ , il filo si svolge di $Rd\theta$ e la massa sospesa scende di altrettanto. La velocità periferica del cilindro è uguale alla velocità di caduta della massa sospesa. Pure le accelerazioni lineari sono uguali.
PErchè non applichi la 2° eq. cardinale della dinamica a tutto il sistema ?
Mi pare che ti stai solo complicando la vita, facendo di un problema semplicissimo una cosa complicatissima.
Non si disperde nessun momento. Fa' la figura per bene. Te lo ha detto pure PK : l'asse del cilindro è orizzontale non verticale.
il cilindro è disposto con asse orizzontale, lo dice il testo. La carrucola è di massa trascurabile, quindi la tensione nel tratto di filo che esce dalla carrucola (quello che sostiene la massa sospesa) è uguale alla tensione nel tratto che entra nella carrucola.
Questa tensione agisce sul cilindro con un momento uguale a T*R . Il filo è tangente al cilindro nel punto in cui si stacca da esso per svolgersi.
Se il cilindro ruota di $d\theta$ , il filo si svolge di $Rd\theta$ e la massa sospesa scende di altrettanto. La velocità periferica del cilindro è uguale alla velocità di caduta della massa sospesa. Pure le accelerazioni lineari sono uguali.
PErchè non applichi la 2° eq. cardinale della dinamica a tutto il sistema ?
Mi pare che ti stai solo complicando la vita, facendo di un problema semplicissimo una cosa complicatissima.
Non si disperde nessun momento. Fa' la figura per bene. Te lo ha detto pure PK : l'asse del cilindro è orizzontale non verticale.
Mi dovete scusare, forse sono stupido, ma proprio non riesco a capire il vostro ragionamento.... Ricapitolando quando $alfa=0$ il blocco scende di $y=v(t)+a/2(t^2)$ il cilindro ha una velocità angolare tale per cui $theta=omega(t)+alpha/2t^2$ ma quello che mi chiedo è questo: per $alpha=90$ il cilindro non gira e il filo si svolge comunque di una velocità pari a quella che ha il blocco nell' istante considerato; ecco allora che il vostro ragionamento decade: lo spostamento angolare di un punto sul bordo del cilindro non è per niente uguale alla variazione lineare della posizione del blocco. Certo il filo si srotola con la stessa velocità ma il cilindro è in quiete. Ma allora se $alpha=50$ si ha una componente della tensione del filo che non è utile a far ruotare il cilindro e allora come caspita fa il cilindro ad avere la stessa velocità tangenziale del blocco? L'unica spiegazione qui sarebbe che la velocità che fa sì che questi due oggetti abbiano stessa velocità lineare è che in questo caso il filo si allunga attraverso due movimenti: una parte si srotola attorno al cilindro quando il cilindro rotola mentre l' altra si sfila dal cilindro a causa della componente verticale della tensione del filo... Questo ci potrebbe far assumere che trascurando tutta questa premessa da me fatta il cilindro abbia comunque variazione angolare $d(theta)$ uguale alla variazione lineare della posizione del blocco... Avrò sicuramente complicato il tutto ma a me piace complicare le cose semplici 
e poi volevo chiarirmi bene le idee...
In ogni caso grazie per l' attenzione e per la pazienza
e poi volevo chiarirmi bene le idee...In ogni caso grazie per l' attenzione e per la pazienza
"Sciarra":
....quello che mi chiedo è questo: per $alpha=90$ il cilindro non gira e il filo si svolge comunque di una velocità pari a quella che ha il blocco nell' istante considerato; ecco allora che il vostro ragionamento decade: lo spostamento angolare di un punto sul bordo del cilindro non è per niente uguale alla variazione lineare della posizione del blocco.
No, non decade per nulla. Vuoi scrivere la relazione cinematica $y=f(\theta,\alpha)$ per il clindro con asse verticale come per tua figura? PErche non scrivi quella relazione?
"Sciarra":
Certo il filo si srotola con la stessa velocità ma il cilindro è in quiete. Ma allora se $alpha=50$ si ha una componente della tensione del filo che non è utile a far ruotare il cilindro e allora come caspita fa il cilindro ad avere la stessa velocità tangenziale del blocco?
Ma chi ha mai detto che ce l'ha???? Vuoi scrivere la relazione cinematica $y=f(\theta,\alpha)$ per il clindro con asse verticale come per tua figura? PErche non scrivi quella relazione?
"Sciarra":
Questo ci potrebbe far assumere che trascurando tutta questa premessa da me fatta il cilindro abbia comunque variazione angolare $d(theta)$ uguale alla variazione lineare della posizione del blocco...
Assolutamente no. Vuoi scrivere la relazione cinematica $y=f(\theta,\alpha)$ per il clindro con asse verticale come per tua figura? Perche non scrivi quella relazione?
Quando questa fune si svolge di $y$, di quanto diavolo ruota 'sto cilindro?
Lo scrivi o no? Te lo ripeto: e' una funzione che lega $y$, $\theta$ e $\alpha$.
se non sbaglio è questa: $y=y_0+v_y*t+a/2t^2 => [theta_0=y_0=0, v=v_(tan) = omega* r* sen(alpha) , a=a_(tan)=alpha*r*(sen(alpha)) ] => y=omega*r*(sen(alpha)) +alpha/2*r*(sen(alpha))t^2$ mentre $theta=((v_(tan))/(r_ _|_))*t+(a_(tan)/(r_|_))1/2*t^2$
Non capisco per quale motivo vuoi mettere l'asse del cilindro verticale, quando verticale non è . È orizzontale, ed è parallelo all'asse della puleggia , te ne vuoi rendere conto o no ?
E ti vuoi rendere conto che l'angolo $\alpha = 50 °$ non serve proprio a niente , nella determinazione di spostamento, velocità ed accelerazione della massa appesa e cioè del filo? La tensione $vecT$ che agisce tangenzialmente sul cilindro equivale, come sistema di forze, a una forza ad essa parallela applicata all'asse del cilindro più un momento di valore $RT$, orario o antiorario (dipende da come si svolge il filo, da sotto o da sopra, rispetto al cilindro) .
L'angolo $\alpha$ è solo un trabocchetto per vedere se si è capito l'esercizio. L'angolo $\alpha$ serve solo per valutare le due componenti, orizzontale e verticale , della tensione che agisce sul cilindro :
$T_O = Tcos\alpha $
$T_V = T sen\alpha$
e basta . Il momento $RT$ è sempre lo stesso qualunque sia $\alpha$ . LE due componenti sono equilibrate dalle componenti orizzontale e verticale della reazione $vecR$ esercitata sull'asse dai suoi supporti , e naturalmente : $vecT + vecR = 0$ .
Perchè pensi che per $\alpha = 90 ° $ il cilindro non gira ? Chi ti dice questa cosa sbagliata?
E ti vuoi rendere conto che l'angolo $\alpha = 50 °$ non serve proprio a niente , nella determinazione di spostamento, velocità ed accelerazione della massa appesa e cioè del filo? La tensione $vecT$ che agisce tangenzialmente sul cilindro equivale, come sistema di forze, a una forza ad essa parallela applicata all'asse del cilindro più un momento di valore $RT$, orario o antiorario (dipende da come si svolge il filo, da sotto o da sopra, rispetto al cilindro) .
L'angolo $\alpha$ è solo un trabocchetto per vedere se si è capito l'esercizio. L'angolo $\alpha$ serve solo per valutare le due componenti, orizzontale e verticale , della tensione che agisce sul cilindro :
$T_O = Tcos\alpha $
$T_V = T sen\alpha$
e basta . Il momento $RT$ è sempre lo stesso qualunque sia $\alpha$ . LE due componenti sono equilibrate dalle componenti orizzontale e verticale della reazione $vecR$ esercitata sull'asse dai suoi supporti , e naturalmente : $vecT + vecR = 0$ .
Perchè pensi che per $\alpha = 90 ° $ il cilindro non gira ? Chi ti dice questa cosa sbagliata?
"professorkappa":
Quando ti dico "porta il ragionamento all'estremo" intendo dire: ti rendi conto che il momento della forza (non usare torcente, non e' adatto in questo contesto, non si torce nulla) e' influenzato dall'angolo $\alpha$ che la fune fa con l'orizzontale: per $\alpha=0$, uno spostamento della fune dy comporta un uguale spostamento di un punto sulla superficie del blocco, tale che $dy=Rd\theta$. Se invece l'angolo fosse 90, la funa si svolgerebbe senza far rotolare il cilindro (cosa che equivale a dire che la fune non da momento).
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Mi sa che mi state un po confondendo le idee...
Ho capito cosa mi state dicendo ma il problema è che io ho fatto una domanda inizialmente: la velocità finale non dovrebbe essere dipendente anche dalla direzione che la corda assume (assumendo ora che l' asse del cilindro passante per il c.d.m sia orizzontale e parallela alla superfice terrestre)?
Perchè ho chiesto questo? Perchè se devo calcolare la velocità finale del blocco dopo che ha percorso una distanza $h$ volevo tener conto solo delle forze importanti e pensavo che siccome la forza peso si distribuisce nella direzione della corda vi fosse qualche forza non utile alla descrizione del moto.
Ora mi avete risposto presentandomi ( se ho capito bene) due risposte alquanto diverse (se avete letto i commenti precedenti). Alla fine la domanda è: il cilindro gira o no con la stessa velocità lineare che ha la massa quando cade per ogni angolo alfa? Ovvero i due moti sono sempre dipendenti?
Perchè ho chiesto questo? Perchè se devo calcolare la velocità finale del blocco dopo che ha percorso una distanza $h$ volevo tener conto solo delle forze importanti e pensavo che siccome la forza peso si distribuisce nella direzione della corda vi fosse qualche forza non utile alla descrizione del moto.
Ora mi avete risposto presentandomi ( se ho capito bene) due risposte alquanto diverse (se avete letto i commenti precedenti). Alla fine la domanda è: il cilindro gira o no con la stessa velocità lineare che ha la massa quando cade per ogni angolo alfa? Ovvero i due moti sono sempre dipendenti?
"Sciarra":
Ho capito cosa mi state dicendo ma il problema è che io ho fatto una domanda inizialmente: la velocità finale non dovrebbe essere dipendente anche dalla direzione che la corda assume (assumendo ora che l' asse del cilindro passante per il c.d.m sia orizzontale e parallela alla superfice terrestre)?
NO.
Perchè ho chiesto questo? Perchè se devo calcolare la velocità finale del blocco dopo che ha percorso una distanza $h$ volevo tener conto solo delle forze importanti e pensavo che siccome la forza peso si distribuisce nella direzione della corda vi fosse qualche forza non utile alla descrizione del moto.
Ora mi avete risposto presentandomi ( se ho capito bene) due risposte alquanto diverse (se avete letto i commenti precedenti). Alla fine la domanda è: il cilindro gira o no con la stessa velocità lineare che ha la massa quando cade per ogni angolo alfa? Ovvero i due moti sono sempre dipendenti?
SI.
Se la massa cala di $dh$ , il filo si srotola di $dh = Rd\theta$ . Quindi la rotazione è $d\theta = (dh)/R$ .
Equazioni del moto :
$mg - T = ma $
$TR = I\alpha$
$a = \alpha*R$
$\alpha$ è l'accelerazione angolare del cilindro.
$m$ è la massa appesa.
$I$ è il momento di inerzia assiale del cilindro.
$T$ è la tensione nella fune.
Fine del discorso.
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