Problema: velocità di caduta
salve a tutti, volevo presentare qui di seguito un problema che non riesco a risolvere:
Un cavo inestensibile di massa nulla è per un suo estremo arrotolato intorno ad un cilindro omogeneo il cui asse di rotazione orizzontale è fissato al terreno. Il cilindro ha massa M=10Kg e R=raggio=0.1m. L' altro estremo del cavo, passando prima per una carrucola appesa al soffitto, sorregge a mezz' aria un corpo di massa m=20Kg. Il cavo forma un angolo $alfa=50$ rispetto all' orizzontale fra cilindro e carrucola. La carrucola ha mamassa e dimensioni trascurabili. Il cavo si svolge senza scivolare sia sul cilindro che sulla carrucola. Inizialmente il cilindro è bloccato e poi è lasciato libero di ruotare.
Calcolare:
-la velocità di caduta del corpo quando è sceso di un tratto $h=2m$ rispetto alla posizione statica iniziale
-la forza costante esercitata da un freno sulla superficie laterale del cilindro se la velocità di caduta del corpo quando è sceso del tratto h risulta essere $v=4.5m/s$
P.s: per la velocità di caduta ho pensato di utilizzare la formula relativa alla variazione di energia meccanica del sistema (conservativo).
Se per ipotesi $E_f-E_i=delta(K+U)=0$ allora fissando il verso delle y negativo verso il basso sarà: $E_i=0,E_f=m_c*g*(-h)-m_c/2*(v_f)^2$ ($m_c$=massa del corpo appeso). Imponendo le condizioni scritte il risultato sarà $v=6.26m/s$ che però non è il risultato giusto per il professore .
Un cavo inestensibile di massa nulla è per un suo estremo arrotolato intorno ad un cilindro omogeneo il cui asse di rotazione orizzontale è fissato al terreno. Il cilindro ha massa M=10Kg e R=raggio=0.1m. L' altro estremo del cavo, passando prima per una carrucola appesa al soffitto, sorregge a mezz' aria un corpo di massa m=20Kg. Il cavo forma un angolo $alfa=50$ rispetto all' orizzontale fra cilindro e carrucola. La carrucola ha mamassa e dimensioni trascurabili. Il cavo si svolge senza scivolare sia sul cilindro che sulla carrucola. Inizialmente il cilindro è bloccato e poi è lasciato libero di ruotare.
Calcolare:
-la velocità di caduta del corpo quando è sceso di un tratto $h=2m$ rispetto alla posizione statica iniziale
-la forza costante esercitata da un freno sulla superficie laterale del cilindro se la velocità di caduta del corpo quando è sceso del tratto h risulta essere $v=4.5m/s$
P.s: per la velocità di caduta ho pensato di utilizzare la formula relativa alla variazione di energia meccanica del sistema (conservativo).
Se per ipotesi $E_f-E_i=delta(K+U)=0$ allora fissando il verso delle y negativo verso il basso sarà: $E_i=0,E_f=m_c*g*(-h)-m_c/2*(v_f)^2$ ($m_c$=massa del corpo appeso). Imponendo le condizioni scritte il risultato sarà $v=6.26m/s$ che però non è il risultato giusto per il professore .
Risposte
la ringrazio per la risposta breve e coincisa navigatore!
P.s: per qualche forza intendevo una qualche componente della forza di tensione della corda piegata...
P.s: per qualche forza intendevo una qualche componente della forza di tensione della corda piegata...
Questa e' la risposta se il cilindro ha asse orizzontale. Non ci vuole granche a vederlo.
Ma se il cilindro ha l'asse verticale (come dici tu, non il testo) la relazione che dovevi scrivere e':
$ycos\alpha=Rd\theta$.
Per $\alpha=0$, ricadi nel caso di fune ortogonale all'asse, quindi praticamente quello descritto da navigatore.
Se $\alpha=90$, allora $\theta=0$ indipendentemente da quanto scende il blocco.
Era questa la relazione cinematica che ho cercato di farti scrivere nel caso di cilindro ad asse verticale.
Punto.
Ma se il cilindro ha l'asse verticale (come dici tu, non il testo) la relazione che dovevi scrivere e':
$ycos\alpha=Rd\theta$.
Per $\alpha=0$, ricadi nel caso di fune ortogonale all'asse, quindi praticamente quello descritto da navigatore.
Se $\alpha=90$, allora $\theta=0$ indipendentemente da quanto scende il blocco.
Era questa la relazione cinematica che ho cercato di farti scrivere nel caso di cilindro ad asse verticale.
Punto.
infatti io questa relazione l' avevo scritta... anche se erroneamente ho scritto $r*sen(alpha)$ al posto di $(r*cos(alpha)$ ....
"Sciarra":
infatti io questa relazione l' avevo scritta... anche se erroneamente ho scritto $r*sen(alpha)$ al posto di $(r*cos(alpha)$ ....
Quella che hai scritto e' un relazione con il tempo di mezzo che complica le cose.
La relazione cinematica lega solo elementi geometrici, in questo caso angoli e lunghezze, senza variabile temporale.
ho capito, grazie mille p.k
Dovere. Alla prossima.
scusate se vi interpello ancora ma avrei bisogno di un ultimo aiuto: se prendessi come sistema il cilindro( e corda), la terra ed il blocco la variazione di energia totale del sistema non dovrebbe essere uguale al lavoro esterno che è compiuto dalla forza d' attrito?
$L_(ext)=deltaU+delta((K_(rot))+K_(CIn))+delta(E)=0$ e dopo aver ricavato quale sia la variazione di energia interna divido tale energia per il tratto h che percorre il blocco. A questo punto non avrei l' intensità della forza di attrito?
$L_(ext)=deltaU+delta((K_(rot))+K_(CIn))+delta(E)=0$ e dopo aver ricavato quale sia la variazione di energia interna divido tale energia per il tratto h che percorre il blocco. A questo punto non avrei l' intensità della forza di attrito?
Ora stai tentando di rispondere alla seconda domanda, questa :
Hai determinato la velocità di caduta chiesta dal primo quesito, cioè con il cilindro libero di ruotare? Bene, deve essere un valore superiore a $4.5 m/s$ . Adesso il problema dice che "si applica sulla superficie laterale del cilindro una forza frenante costante, in modo che alla fine della caduta di un tratto pari ad $h$ la velocità raggiunta sia di $4.5 m/s$ "
Che vuol dire ? Vuol dire che sul cilindro ora agisce una specie di ceppo (hai mai visto un freno a ceppo, come è fatto? ) il quale esercita sulla superficie laterale del cilindro una forza costante che "rallenta" la rotazione del cilindro. Questa forza frenante costante , moltiplicata per il raggio, rappresenta un momento resistente il quale contrasta l'azione del momento motore agente sul cilindro, che è uguale alla tensione nel filo per il raggio, ricordi ?
Allora vuol dire che la 2° equazione della dinamica applicata al cilindro non è più quella di prima , ma sarà :
$T*R - F_a*R = I \alpha$ ---------(1)
ora la tensione e l'accelerazione angolare non sono più quelle di prima. Come fare per trovarle ?
Devi fare come il gambero : andare all'indietro. Hai l'altezza di caduta $h$. Il moto di caduta di $m$ è sempre uniformemente accelerato, ma ora l'accelerazione $a$ è tale che alla fine del tratto $h$ la velocità è quella assegnata. Quindi sei in grado di calcolare l'accelerazione costante $a$ della massa. Tale accelerazione determina l'accelerazione angolare $\alpha = a/R$ del cilindro.
Quindi puoi calcolare la nuova tensione $T$ nel filo, applicando sempre : $ mg - T = ma$ .
Conoscendo $T$ e $\alpha$ , sei in grado di calcolare la forza frenante $F_a$ che compare nella (1) .
È tutto chiaro ?
determinare la forza costante esercitata da un freno sulla superficie laterale del cilindro se la velocità di caduta del corpo quando è sceso del tratto $h$ risulta essere $v=4.5m/s$
Hai determinato la velocità di caduta chiesta dal primo quesito, cioè con il cilindro libero di ruotare? Bene, deve essere un valore superiore a $4.5 m/s$ . Adesso il problema dice che "si applica sulla superficie laterale del cilindro una forza frenante costante, in modo che alla fine della caduta di un tratto pari ad $h$ la velocità raggiunta sia di $4.5 m/s$ "
Che vuol dire ? Vuol dire che sul cilindro ora agisce una specie di ceppo (hai mai visto un freno a ceppo, come è fatto? ) il quale esercita sulla superficie laterale del cilindro una forza costante che "rallenta" la rotazione del cilindro. Questa forza frenante costante , moltiplicata per il raggio, rappresenta un momento resistente il quale contrasta l'azione del momento motore agente sul cilindro, che è uguale alla tensione nel filo per il raggio, ricordi ?
Allora vuol dire che la 2° equazione della dinamica applicata al cilindro non è più quella di prima , ma sarà :
$T*R - F_a*R = I \alpha$ ---------(1)
ora la tensione e l'accelerazione angolare non sono più quelle di prima. Come fare per trovarle ?
Devi fare come il gambero : andare all'indietro. Hai l'altezza di caduta $h$. Il moto di caduta di $m$ è sempre uniformemente accelerato, ma ora l'accelerazione $a$ è tale che alla fine del tratto $h$ la velocità è quella assegnata. Quindi sei in grado di calcolare l'accelerazione costante $a$ della massa. Tale accelerazione determina l'accelerazione angolare $\alpha = a/R$ del cilindro.
Quindi puoi calcolare la nuova tensione $T$ nel filo, applicando sempre : $ mg - T = ma$ .
Conoscendo $T$ e $\alpha$ , sei in grado di calcolare la forza frenante $F_a$ che compare nella (1) .
È tutto chiaro ?
Se vuoi impostare l'esercizio con l'energia, e non dal punto vista dinamico, la differenza di velocita' tra la velocita' $v_h$ trovata al primo punto e quella data dal testo relativa a h=2m (senza freno), $v_f=4.5m/sec$ e' dovuta, evidentemente, all'azione frenante.
Applicando il teorema delle forze vive (non quello di conservazione dell'energia meccanica, perche ora c'e' attrito, il sistema non e' piu' conservativo), la differenza di energia cinetica e' uguale al lavoro delle forze in gioco.
Per cui:
[size=150]\( FR\bar{\theta}=(\frac{1}2mv_f^2+\frac{1}2I\omega_f^2)- (\frac{1}2mv_h^2+\frac{1}2I\omega_h^2) \)
[/size]
Ora entra in gioco la relazione che ho cercato di farti scrivere a lungo (c'era un motivo!)
[size=150] \( ycos\alpha=R\theta \)[/size]
Che ti permette di conoscere (perche non le hai) $bar{\theta}$, $\omega_f$, e $\omega_h$
Infatti hai:
[size=150] \( hcos\alpha=R\bar{\theta} \) [/size]
Derivandola poi rispetto al tempo:
[size=150] \( \dot{y}cos\alpha=R\omega \)
[/size]
Che ti permette di trovare i valori di $\omega$ da inserire nell'equazione.
In definitiva:
[size=150]\( F=\frac{\frac{1}2m(v_f^2-v_h^2)+\frac{1}2I(\omega_f^2- \omega_h^2)}{R\bar{\theta}}=\frac{1}{2}\frac{m(v_f^2-v_h^2)+\frac{I}{R^2}({v_f^2cos^2\alpha}-{v_h^2cos^2\alpha})}{hcos\alpha} \)
\( =\frac{1}{2}\frac{m(v_f^2-v_h^2)+M({v_f^2}-{v_h^2})cos^2\alpha}{hcos\alpha}=\frac{1}{2}\frac{(m+Mcos^2\alpha)(v_f^2-v_h^2)}{hcos\alpha} \) [/size]
Nota che siccome $v_f
Applicando il teorema delle forze vive (non quello di conservazione dell'energia meccanica, perche ora c'e' attrito, il sistema non e' piu' conservativo), la differenza di energia cinetica e' uguale al lavoro delle forze in gioco.
Per cui:
[size=150]\( FR\bar{\theta}=(\frac{1}2mv_f^2+\frac{1}2I\omega_f^2)- (\frac{1}2mv_h^2+\frac{1}2I\omega_h^2) \)
[/size]
Ora entra in gioco la relazione che ho cercato di farti scrivere a lungo (c'era un motivo!)
[size=150] \( ycos\alpha=R\theta \)[/size]
Che ti permette di conoscere (perche non le hai) $bar{\theta}$, $\omega_f$, e $\omega_h$
Infatti hai:
[size=150] \( hcos\alpha=R\bar{\theta} \) [/size]
Derivandola poi rispetto al tempo:
[size=150] \( \dot{y}cos\alpha=R\omega \)
[/size]
Che ti permette di trovare i valori di $\omega$ da inserire nell'equazione.
In definitiva:
[size=150]\( F=\frac{\frac{1}2m(v_f^2-v_h^2)+\frac{1}2I(\omega_f^2- \omega_h^2)}{R\bar{\theta}}=\frac{1}{2}\frac{m(v_f^2-v_h^2)+\frac{I}{R^2}({v_f^2cos^2\alpha}-{v_h^2cos^2\alpha})}{hcos\alpha} \)
\( =\frac{1}{2}\frac{m(v_f^2-v_h^2)+M({v_f^2}-{v_h^2})cos^2\alpha}{hcos\alpha}=\frac{1}{2}\frac{(m+Mcos^2\alpha)(v_f^2-v_h^2)}{hcos\alpha} \) [/size]
Nota che siccome $v_f
al professore il risultato verrebbe: $F=69.4N$ a me sia con il ragionamento dinamico sia con quello energetico non viene lo stesso risultato... Dov' è l' errore? Ha forse sbagliato il mio prof?
Ricordati che se l'asse del cilindro e' orizzontale devi togliere il $cos\alpha$.
Potrebbe essere quello
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