Problema: urto tra punto e piano con molla
Salve, e' qualche ora che provo a risolvere questo problema e non so bene come comportarmi. Il testo e' il seguente:
Un punto materiale di massa m = 5 kg e lanciato lungo un
piano orizzontale con velocita iniziale pari in modulo a v0 = 8 m/s. Esso si
muove in direzione di una molla avente costante elastica k = 10 N/m, fissata
lungo un piano inclinato di un angolo θ = π/6 e avente lunghezza a riposo
pari alla lunghezza del piano. Calcolare, in assenza di attrito, la massima
contrazione della molla se il piano inclinato ha massa pari a M = 50 kg ed `e
libero di spostarsi sul piano orizzontale
Ho provato a risolvere con la conservazione dell'energia, quindi ho messo l'energia cinetica iniziale (del corpo di massa m), uguale all'energia totale nel punto di massima compressione della molla, quindi pari all'energia potenziale gravitazionale, all'energia potenziale della molla, e all'energia cinetica dei 2 corpi che si muovono ora alla stessa velocita', che posso ricavarmi con la conservazione della qdm lungo l'asse x. Il risultato viene sbagliatissimo e ho diverse motivi per pensare che sia effettivamente sbagliato, che non esprimero per contenere la lunghezza del post.
Ho provato quindi a scrivere l'equazione del moto della molla nel sistema di riferimento del piano.
Ho disegnato tutte le forze presenti per il corpo (peso, elastica, reazione vincolare del piano, forza apparente di trascinamento), e per il piano (reazione usata anche prima, che da in totale l'accelarzione del piano)
Ho ottenuto un equazione del moto armonico elastico sull'asse parallelo al piano inclinato, e , dopo aver ricavato l'accelerazione del piano, ho ricavato la legge del moto della molla facilmente avendo solo la soluzione omogenea + quella costante. Una volta trovato ampiezza e fase (la velocita' iniziale l'ho considerata pari a v0, sulla quale sono un pochino dubbioso) ho calcolato la contrazione massima ponendo il coseno pari a 1.
Il risultato è nuovamente sbagliato, e mentre scrivevo il post mi sono accorto che non ho contato la forza elastica anche per il piano inclinato, che effettivamente aiuta a spingerlo.
La mie domande sono 2: c'e' un modo rapido per risolverlo? La mia seconda risoluzione potrebbe' avere senso se avessi aggiunto correttamente tutte le forze in gioco (appena mi si risveglia il cervello provo a mettere i numeri sperando di poter risolvere l'equazione differenziale in modo semplice come prima, e sperando di non commettere errori di calcolo, chiedo comunque a prescindere se non sto commettendo errori concettuali)?
Un punto materiale di massa m = 5 kg e lanciato lungo un
piano orizzontale con velocita iniziale pari in modulo a v0 = 8 m/s. Esso si
muove in direzione di una molla avente costante elastica k = 10 N/m, fissata
lungo un piano inclinato di un angolo θ = π/6 e avente lunghezza a riposo
pari alla lunghezza del piano. Calcolare, in assenza di attrito, la massima
contrazione della molla se il piano inclinato ha massa pari a M = 50 kg ed `e
libero di spostarsi sul piano orizzontale
Ho provato a risolvere con la conservazione dell'energia, quindi ho messo l'energia cinetica iniziale (del corpo di massa m), uguale all'energia totale nel punto di massima compressione della molla, quindi pari all'energia potenziale gravitazionale, all'energia potenziale della molla, e all'energia cinetica dei 2 corpi che si muovono ora alla stessa velocita', che posso ricavarmi con la conservazione della qdm lungo l'asse x. Il risultato viene sbagliatissimo e ho diverse motivi per pensare che sia effettivamente sbagliato, che non esprimero per contenere la lunghezza del post.
Ho provato quindi a scrivere l'equazione del moto della molla nel sistema di riferimento del piano.
Ho disegnato tutte le forze presenti per il corpo (peso, elastica, reazione vincolare del piano, forza apparente di trascinamento), e per il piano (reazione usata anche prima, che da in totale l'accelarzione del piano)
Ho ottenuto un equazione del moto armonico elastico sull'asse parallelo al piano inclinato, e , dopo aver ricavato l'accelerazione del piano, ho ricavato la legge del moto della molla facilmente avendo solo la soluzione omogenea + quella costante. Una volta trovato ampiezza e fase (la velocita' iniziale l'ho considerata pari a v0, sulla quale sono un pochino dubbioso) ho calcolato la contrazione massima ponendo il coseno pari a 1.
Il risultato è nuovamente sbagliato, e mentre scrivevo il post mi sono accorto che non ho contato la forza elastica anche per il piano inclinato, che effettivamente aiuta a spingerlo.
La mie domande sono 2: c'e' un modo rapido per risolverlo? La mia seconda risoluzione potrebbe' avere senso se avessi aggiunto correttamente tutte le forze in gioco (appena mi si risveglia il cervello provo a mettere i numeri sperando di poter risolvere l'equazione differenziale in modo semplice come prima, e sperando di non commettere errori di calcolo, chiedo comunque a prescindere se non sto commettendo errori concettuali)?
Risposte
Direi che l'approccio più semplice e diretto è il primo che hai menzionato.
Perché dici che è sbagliatissimo?
Perché dici che è sbagliatissimo?
Perche' mi vengono valori molto grossi.
Ho impostato la conservazione a questo modo, ad occhio si notano errori? cosi il valori di x viene 600 e passa metri.
Ho provato a risolvere anche con le forze, penso bene, per trovare l'equazione del moto armonico ma ancora mi viene sbagliato. Dovrebbe venire 3.47 m
Ho impostato la conservazione a questo modo, ad occhio si notano errori? cosi il valori di x viene 600 e passa metri.
Ho provato a risolvere anche con le forze, penso bene, per trovare l'equazione del moto armonico ma ancora mi viene sbagliato. Dovrebbe venire 3.47 m
Il procedimento a me pare corretto, ma non ho fatto i conti.
Non ti resta che fare attenzione ai conti e alle unità di misura.
Non ti resta che fare attenzione ai conti e alle unità di misura.
Si ho sbagliato i conti, ho sommato il delta senza metterlo sotto radice, ero convinto a prescindere che il delta fosse troppo grande di per se' e quindi non ci ho fatto caso. Grazie mille dell'aiuto!
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