Problema urti
E' un problema che mi è venuto in mente tempo fa, e su cui mi piacerebbe avere delucidazioni...
Sono dati tre corpi circolari in un piano a due dimensioni, che si muovono di muto rettilineo uniforme con velocità $v_1,v_2,v_3$.
In un certo istante $t$ i tre corpi si trovano ad essere tangenti a due a due (per capirci, detti $x,y,z$ i raggi, si trovano ai vertici di un triangolo aventi come lati $x+y,y+z,x+z$). E' possibile determinare le velocità $w_1,w_2,w_3$ dei corpi dopo l'urto (trascurando attrito e qualsiasi tipo di resistenza)?
Sono dati tre corpi circolari in un piano a due dimensioni, che si muovono di muto rettilineo uniforme con velocità $v_1,v_2,v_3$.
In un certo istante $t$ i tre corpi si trovano ad essere tangenti a due a due (per capirci, detti $x,y,z$ i raggi, si trovano ai vertici di un triangolo aventi come lati $x+y,y+z,x+z$). E' possibile determinare le velocità $w_1,w_2,w_3$ dei corpi dopo l'urto (trascurando attrito e qualsiasi tipo di resistenza)?
Risposte
"Jack233":
E' un problema che mi è venuto in mente tempo fa, e su cui mi piacerebbe avere delucidazioni...
Sono dati tre corpi circolari in un piano a due dimensioni, che si muovono di muto rettilineo uniforme con velocità $v_1,v_2,v_3$.
In un certo istante $t$ i tre corpi si trovano ad essere tangenti a due a due (per capirci, detti $x,y,z$ i raggi, si trovano ai vertici di un triangolo aventi come lati $x+y,y+z,x+z$). E' possibile determinare le velocità $w_1,w_2,w_3$ dei corpi dopo l'urto (trascurando attrito e qualsiasi tipo di resistenza)?
Occorre specificare le tre velocità in termini vettoriali (non basta il loro modulo) e le masse dei corpi.
Il problema che ho posto è in forma generica... ossia essendo note le tre velocità iniziali (direzione,verso e modulo) è possibile ricavare le tre velocità finali (direzioni,verso e modulo)?
"Jack233":
Il problema che ho posto è in forma generica... ossia essendo note le tre velocità iniziali (direzione,verso e modulo) è possibile ricavare le tre velocità finali (direzioni,verso e modulo)?
No, occorrono le masse dei corpi (per determinare la quantità di moto e l'energia del sistema).
Anche le masse sono conosciute ($m_1,m_2,m_3$)
EDIT: Qualora non si fosse capito gli urti sono perfettamente elastici.
EDIT: Qualora non si fosse capito gli urti sono perfettamente elastici.
"Jack233":
Anche le masse sono conosciute ($m_1,m_2,m_3$)
In tal caso puoi calcolare direttamente l'energia $E$ e le componenti della quantità di moto $\vec q=(q_1,q_2)$ prima dell'urto.
Allora basta impostare il sistema seguente (ammesso che si sappia risolverlo) con incognite $w_1, w_2, w_3, \alpha, \beta, \gamma$:
$m_1w_1cos\alpha + m_2w_2cos\beta + m_3w_3cos\gamma = q_1$
$m_1w_1sin\alpha + m_2w_2sin\beta + m_3w_3sin\gamma = q_2$
$m_1w_1^2 + m_2w_2^2 + m_3w_3^2 = 2 E$
$cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$
$cos^2\beta + sin^2\beta= 1$
$cos^2\gamma + sin^2\gamma= 1$
Trovate le soluzioni, otterrai
$\vec w_1=(w_1 cos\alpha, w_1 sin\alpha)$
$\vec w_2=(w_2 cos\beta, w_2 sin\beta)$
$\vec w_3=(w_3 cos\gamma, w_3 sin\gamma)$
Tuttavia, il sistema è insolubile perché ha 6 incognite e solo 3 equazioni. Le ultime tre uguaglianze del sistema infatti sono identità, e non equazioni. Nemmeno sarebbe sufficiente aggiungere la conservazione del momento angolare di rotazione.
In generale, se si ha un urto obliquo le leggi di conservazione non bastano per risolvere il problema. Occorre conoscere anche le forze di mutua interazione tra i corpi.
N.B. Ho aggiunto l'ultimo commento in un secondo momento, perché mi sono accorto tardi della castroneria che avevo scritto.
"Sidereus":
$\vec w_1=(w_1 cos\alpha, w_1 sin\alpha)$
$\vec w_2=(w_2 cos\beta, w_2 sin\beta)$
$\vec w_3=(w_3 cos\gamma, w_3 sin\gamma)$
Vediamo un po'.
Questa "soluzione" mi pare, ahimè, serva a ben poco.
Non hai fatto altro che scomporre un vettore nelle sue due componenti: sarebbe invece carino trovare una soluzione in funzione di dati che si conoscono, a ben nulla serve scrivere una soluzione in funzione dell'incognita stessa.
Infine, le tre equazioni (le identità fondamentali) non apportano utilità alcuna alla nostra questione.
Sono implicite, dal momento che in precedenza hai operato la scomposizione dei vettori nelle componenti.
Ciao.
"Steven":
[quote="Sidereus"]
$\vec w_1=(w_1 cos\alpha, w_1 sin\alpha)$
$\vec w_2=(w_2 cos\beta, w_2 sin\beta)$
$\vec w_3=(w_3 cos\gamma, w_3 sin\gamma)$
Questa "soluzione" mi pare, ahimè, serva a ben poco.[/quote]
E allora ci facciamo la birra...
"Steven":
[quote="Sidereus"]
$\vec w_1=(w_1 cos\alpha, w_1 sin\alpha)$
$\vec w_2=(w_2 cos\beta, w_2 sin\beta)$
$\vec w_3=(w_3 cos\gamma, w_3 sin\gamma)$
... sarebbe invece carino trovare una soluzione in funzione di dati che si conoscono...[/quote]
Non saprei farlo. In un sistema di 6 equazioni trascendenti come si possono esprimere le soluzioni in funzione dei parametri?
a me la prima cosa che è venuta in mente è stata quella di creare un riferimento cartesiano con l'asse x coincidente con la direzione della risultante della quantità di moto. si possono scrivere tre equazioni, due sulle componenti della quantità di moto ed una sull'energia cinetica, aventi come incognite i moduli delle tre nuove velocità e gli angoli.... ma sono davvero 6 incognite indipendenti?
in una situazione così "ideale" i dischi non possono mica prendere qualunque direzione? al momento dell'urto ciascun disco è tangente in due punti fissi, e nel piano ci sono ben tre punti doppi fissi, quindi che cosa possono fare se non fermarsi o tornare indietro?
in una situazione così "ideale" i dischi non possono mica prendere qualunque direzione? al momento dell'urto ciascun disco è tangente in due punti fissi, e nel piano ci sono ben tre punti doppi fissi, quindi che cosa possono fare se non fermarsi o tornare indietro?
"adaBTTLS":
.... ma sono davvero 6 incognite indipendenti?
Sì. Anzi sono di più. Tre dischi circolari in moto rettilineo uniforme su un piano formano un sistema con 9 gradi di libertà, perché la posizione di ogni disco dipende dalla posizione del suo centro e dall'angolo di rotazione intorno ad esso.
Nella mia impostazione di prima supponevo che dopo l'urto i dischi non acquisiscano una velocità angolare di rotazione. Il che è troppo restrittivo.
secondo me invece sarebbe importante considerarle tutte queste variabili.
io mi riferivo al caso ultra-particolare che i tre dischi, percorrendo tre particolarissime traiettorie rettilinee in istanti di tempo tanto particolari tali da permettere che i tre urti a due a due avvengano contemporaneamente: le traiettorie successive non sono in qualche maniera vincolate? un disco, a meno di sfondamenti, non si trova in qualche modo bloccato dagli altri due?
io mi riferivo al caso ultra-particolare che i tre dischi, percorrendo tre particolarissime traiettorie rettilinee in istanti di tempo tanto particolari tali da permettere che i tre urti a due a due avvengano contemporaneamente: le traiettorie successive non sono in qualche maniera vincolate? un disco, a meno di sfondamenti, non si trova in qualche modo bloccato dagli altri due?
Penso di no. La lagrangiana del sistema è definita su una varietà differenziabile di dimensione 18. Se le posizioni e le velocità al momento dell'urto si considerano come condizioni iniziali, allora, in assenza di forze, le equazioni del moto si riducono a
$d/dt (\partial L)/(\partial dot q_i)=0, i=1,2,3,....9$
che implicano soltanto la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica, ma non permettono di determinare il moto.
$d/dt (\partial L)/(\partial dot q_i)=0, i=1,2,3,....9$
che implicano soltanto la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica, ma non permettono di determinare il moto.
Credo che questo problema per essere risolto necessiti di uno studio del moto dei dischi durante l'urto, non solo del bilancio dell'energia e della quantità di moto prima e dopo l'urto.
Sono importanti le elasticità dei dischi nel punto di contatto che dipendono dalle dimensioni dei dischi, il materiale di cui sono costituiti.
Creerei un modello di questo tipo: nel punto di contatto schematizzerei l'elasticità dei dischi con delle molle e imposterei l'equazione della conservazione dell'energia meccanica (l'urto è elastico), una fino ad ogni istante in cui un disco si stacca dagli altri, cioè fino a quando la forza che si scambiano almeno due dischi non si riannulla dall'istante iniziale. Questo perchè in generale non è detto che tutti e tre gli urti abbiano la stessa durata e da come questi avvengono dipende il moto successivo dei dischi.
Questo modello è ristretto al caso in cui non ci sia attrito tra i dischi, nel caso in cui questo sia presente la situazione si fa più complicata perchè entrano in gioco i momenti di inerzia, le velocità angolari, ma soprattutto le "elasticità a taglio", se così si possono chiamare, dei dischi nel punto di contatto. Vi è mai capitato di giocare con la pallina "matta"?
Sono importanti le elasticità dei dischi nel punto di contatto che dipendono dalle dimensioni dei dischi, il materiale di cui sono costituiti.
Creerei un modello di questo tipo: nel punto di contatto schematizzerei l'elasticità dei dischi con delle molle e imposterei l'equazione della conservazione dell'energia meccanica (l'urto è elastico), una fino ad ogni istante in cui un disco si stacca dagli altri, cioè fino a quando la forza che si scambiano almeno due dischi non si riannulla dall'istante iniziale. Questo perchè in generale non è detto che tutti e tre gli urti abbiano la stessa durata e da come questi avvengono dipende il moto successivo dei dischi.
Questo modello è ristretto al caso in cui non ci sia attrito tra i dischi, nel caso in cui questo sia presente la situazione si fa più complicata perchè entrano in gioco i momenti di inerzia, le velocità angolari, ma soprattutto le "elasticità a taglio", se così si possono chiamare, dei dischi nel punto di contatto. Vi è mai capitato di giocare con la pallina "matta"?
Il problema che avevo posto era molto generico... provo a riscriverlo meglio allora
Vi sono tre corpi circolari dello stesso materiale non deformabile aventi masse diverse $m_1,m_2,m_3$ in movimento nel piano a due dimensioni.
Il moto è rettilineo uniforme e i tre corpi hanno velocità $\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$ (di cui conosciamo quindi direzione, verso e modulo) e le loro traiettorie sono tali da farli ritrovare in un istante $t_0$ nella situazione di "urto contemporaneo" (ossia i tre corpi sono tangenti a due a due).
E' possibile ricavare le velocità finali dei tre corpi $\vec{w_1},\vec{w_2},\vec{w_3}$ trascurando ogni resistenza e considerando gli urti come perfettamente elastici?
Vi sono tre corpi circolari dello stesso materiale non deformabile aventi masse diverse $m_1,m_2,m_3$ in movimento nel piano a due dimensioni.
Il moto è rettilineo uniforme e i tre corpi hanno velocità $\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$ (di cui conosciamo quindi direzione, verso e modulo) e le loro traiettorie sono tali da farli ritrovare in un istante $t_0$ nella situazione di "urto contemporaneo" (ossia i tre corpi sono tangenti a due a due).
E' possibile ricavare le velocità finali dei tre corpi $\vec{w_1},\vec{w_2},\vec{w_3}$ trascurando ogni resistenza e considerando gli urti come perfettamente elastici?
io innanzitutto, mi metterei nel sistema di riferimeno di uno dei 3, tanto tutti è rettilineao uniforme e quindi è inerziale. in questo modo i conti dovrebbero snellirsi un po' no?
Come prima cosa mi chiederei se ha senso un problema con quelle specifiche: urti contemporanei e corpi indeformabili.
Non sempre specificando questo si ottiene una soluzione. Ad esempio, nel caso più semplice della statica, se il sistema è iperstatico, cioè ci sono più vincoli che gradi di libertà, per trovare una soluzione bisogna considerare la deformabilità dei corpi.
Gli urti non avvengono istantaneamente ma in intervalli di tempo finiti, anche se "molto piccoli".
Non sempre specificando questo si ottiene una soluzione. Ad esempio, nel caso più semplice della statica, se il sistema è iperstatico, cioè ci sono più vincoli che gradi di libertà, per trovare una soluzione bisogna considerare la deformabilità dei corpi.
Gli urti non avvengono istantaneamente ma in intervalli di tempo finiti, anche se "molto piccoli".
"giacor86":
io innanzitutto, mi metterei nel sistema di riferimeno di uno dei 3, tanto tutti è rettilineao uniforme e quindi è inerziale. in questo modo i conti dovrebbero snellirsi un po' no?
Durante l'urto sono accelerati i 3 corpi, il sistema di riferimento così scelto è inerziale solo prima e dopo l'urto.
La conservazione della quantità di moto prima e dopo l'urto risulta dall'integrazione della seconda equazione cardinale durante l'urto se il sistema è isolato giusto?
E durante l'urto la quantità di moto non si conserva se ci sono forze apparenti, esterne.
"nnsoxke":
Come prima cosa mi chiederei se ha senso un problema con quelle specifiche: urti contemporanei e corpi indeformabili.
Qui dal basso delle mie scarse conoscenze in fisica potrei dire che è un problema sensato...
una situazione di questo tipo si può "costruire" così:
1)Prendi tre punti non allineati nel piano e uniscili formando un triangolo. Fatto?
2)I lati di questo triangolo sono $a,b,c$ e per la proprietà triangolare esistono $x,y,z$ tali che $x+y=a$,$y+z=b$,$z+x=c$.
3)Immagina ora tre corpi circolari centrati nei tre punti scelti e aventi raggio $x,y,z$.
Hai appena ottenuto la situazione dell'urto nell'istante $t_0$!
Seriamente, i tre corpi possono arrivare ad una situazione del genere in quanto basta prendere velocità "opportune" per far arrivare i corpi in questa situazione... metto "opportune" perchè ho trovato delle limitazioni sulle direzioni però non mi sembrano granchè utili....
Dal punto di vista geometrico torna e anche il fatto che cinematicamente possa essere raggiunta quella configurazione, tranne qualche limitazione sulle direzioni e versi delle velocità. Non era questo il punto.
La questione è di dinamica.
Come si può mostrare che se si considerano i corpi indeformabili non ci sia indeterminazione nelle forze che si scambiano durante l'urto? (e quindi anche sul moto successivo)
Per capirci ti faccio un esempio di statica: considera due aste incernierate a terra e incernierate tra di loro alle altre estremità, si carica una delle aste o la cerniera con una forza qualsiasi e si trovano le forze che si scambiano le due aste utilizzando le equazioni cardinali.
In questo caso (sistema isostatico, cioè gradi di libertà pari ai gradi di vincolo) si trova una unica soluzione.
Se si aggiunge allo stesso sistema un'altra asta incernierata in un modo qualsiasi a terra e su una asta o tra le due aste, considerando indeformabili queste, non si trova una sola soluzione per le forze che si scambiano. (caso iperstatico)
La questione è di dinamica.
Come si può mostrare che se si considerano i corpi indeformabili non ci sia indeterminazione nelle forze che si scambiano durante l'urto? (e quindi anche sul moto successivo)
Per capirci ti faccio un esempio di statica: considera due aste incernierate a terra e incernierate tra di loro alle altre estremità, si carica una delle aste o la cerniera con una forza qualsiasi e si trovano le forze che si scambiano le due aste utilizzando le equazioni cardinali.
In questo caso (sistema isostatico, cioè gradi di libertà pari ai gradi di vincolo) si trova una unica soluzione.
Se si aggiunge allo stesso sistema un'altra asta incernierata in un modo qualsiasi a terra e su una asta o tra le due aste, considerando indeformabili queste, non si trova una sola soluzione per le forze che si scambiano. (caso iperstatico)
Scusami se non capisco perfettamente quanto hai detto nel post precedente (l'ho riletto un bel po' di volte, però le mie conoscenze di fisica sono medio-basse 
), potresti spiegarmi se il problema che ho proposto presenta un caso iperstatico o isostatico?
), potresti spiegarmi se il problema che ho proposto presenta un caso iperstatico o isostatico?
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