Problema sulla gravitazione
Salve a tutti, non ho mai fatto problemi di questo tipo(nel mio corso abbiamo fatto meccanica ed elettromagnetismo), ma l'ho trovato in una prova d'esame del mio professore e quindi, dato che ho l'esame a breve(fisica 1), vorrei capirci qualcosa di più.
Si consideri una sonda di massa m che compie un moto circolare uniforme attorno alla Terra(supposta ferma).
(1)Si calcoli il rapporto k tra l'energia cinetica e l'energia potenziale.
(2)La stessa sonda può ora muoversi lungo il segmento che congiunge il centro della Terra con quello della Luna(supposta ferma). Il rapporto tra le due masse è Mt/Ml=α=82 mentre il rapporto fra la distanza D e il raggio della Terra Rt è D/Rt= β=60.
Mostrare che esiste una posizione di equilibrio per la sonda lungo tale segmento ed esprimere la distanza di questo punto dal centro della Terra in unità di raggio terrestre.
(3)Scrivere l'equazione dell'energia potenziale della sonda nella condizione al punto (2) assumendo che le uniche interazioni valide siano quelle tra Terra e Luna e dire se tale posizione è o meno stabile.
SVOLGIMENTO:
(1)L'energia cinetica è $K=1/2mv^2$ mentre l'energia potenziale è data dalla forza gravitazionale $V=GMtm/r$ dove $r$ è la distanza sonda-Terra. Su questo punto non dovrebbero esserci problemi.
(2)Qui purtroppo non saprei proprio cosa fare(e come usare i miei dati), qualche aiutino?
(3)Una volta capito il punto (2) non dovrebbe essere troppo difficile, per dire se è o meno stabile studio la derivata dell'energia potenziale.
Si consideri una sonda di massa m che compie un moto circolare uniforme attorno alla Terra(supposta ferma).
(1)Si calcoli il rapporto k tra l'energia cinetica e l'energia potenziale.
(2)La stessa sonda può ora muoversi lungo il segmento che congiunge il centro della Terra con quello della Luna(supposta ferma). Il rapporto tra le due masse è Mt/Ml=α=82 mentre il rapporto fra la distanza D e il raggio della Terra Rt è D/Rt= β=60.
Mostrare che esiste una posizione di equilibrio per la sonda lungo tale segmento ed esprimere la distanza di questo punto dal centro della Terra in unità di raggio terrestre.
(3)Scrivere l'equazione dell'energia potenziale della sonda nella condizione al punto (2) assumendo che le uniche interazioni valide siano quelle tra Terra e Luna e dire se tale posizione è o meno stabile.
SVOLGIMENTO:
(1)L'energia cinetica è $K=1/2mv^2$ mentre l'energia potenziale è data dalla forza gravitazionale $V=GMtm/r$ dove $r$ è la distanza sonda-Terra. Su questo punto non dovrebbero esserci problemi.
(2)Qui purtroppo non saprei proprio cosa fare(e come usare i miei dati), qualche aiutino?
(3)Una volta capito il punto (2) non dovrebbe essere troppo difficile, per dire se è o meno stabile studio la derivata dell'energia potenziale.
Risposte
Se hai scritto il punto 3, hai capito il punto 2: si tratta di scrivere la funzione potenziale (o energia potenziale) dovuta alla terra+luna
Se uso x come coordinata per il segmento Terra-Luna dovrei quindi avere:
$V=(GmMt)/(Xm-Xt)+(GmMl)/(Xm-Xl)$ dove Xm,Xt,Xl sono le posizioni dei vari corpi.
Xm dovrei però trovarlo nel punto (2) ma come posso fare?
$V=(GmMt)/(Xm-Xt)+(GmMl)/(Xm-Xl)$ dove Xm,Xt,Xl sono le posizioni dei vari corpi.
Xm dovrei però trovarlo nel punto (2) ma come posso fare?
Non puo' essere cosi. Quando ti sposti lungo il segmento una forza fa lavoro negativo e l'altra lavoro positivo. Quindi la funzione potenziale deve essere una somma algebrica con uno dei due addendi avente il segno meno.
Cmq nel punto 2 ti chiede di trovare la posizione di equilibrio. Quindi devi derivare, imporre a zero e trovi il punto di equilibrio. Ovviemente ti conviene mettere tutto con origine nel centro della terra, visto che ti chiede il risultato come distanza da quel punto.
Per il punto 3 derivi ancora e vedi se trovi un minimo/massimo nel punto di equilibrio, il che ti assicura rispettivamente stabilita/instabilita
Cmq nel punto 2 ti chiede di trovare la posizione di equilibrio. Quindi devi derivare, imporre a zero e trovi il punto di equilibrio. Ovviemente ti conviene mettere tutto con origine nel centro della terra, visto che ti chiede il risultato come distanza da quel punto.
Per il punto 3 derivi ancora e vedi se trovi un minimo/massimo nel punto di equilibrio, il che ti assicura rispettivamente stabilita/instabilita
Grazie mille per i consigli!
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