Problema sulla corrente indotta
Ciao a tutti!
Mi servirebbe una mano con questo esercizio, il primo punto dovrei averlo fatto giusto ma per il secondo ed il terzo ho dei dubbi (prettamente teorici).
Questo è l'esercizio:
Il primo punto l'ho fatto semplicemente applicando la legge di Ohm e quindi ponendo $i_1max = V_1/R_1 = 5/50 = 0,1 A$.
Nel secondo chiede la corrente indotta, quindi presumo si sia generato un campo magnetico sul circuito 1 col passare della corrente, giusto?
Se la risposta è si, come faccio a calcolare il campo magnetico generato? E successivamente con quel campo devo trovarmi la fem da usare per calcolare la corrente indotta?
Grazie in anticipo!
Mi servirebbe una mano con questo esercizio, il primo punto dovrei averlo fatto giusto ma per il secondo ed il terzo ho dei dubbi (prettamente teorici).
Questo è l'esercizio:
Il primo punto l'ho fatto semplicemente applicando la legge di Ohm e quindi ponendo $i_1max = V_1/R_1 = 5/50 = 0,1 A$.
Nel secondo chiede la corrente indotta, quindi presumo si sia generato un campo magnetico sul circuito 1 col passare della corrente, giusto?
Se la risposta è si, come faccio a calcolare il campo magnetico generato? E successivamente con quel campo devo trovarmi la fem da usare per calcolare la corrente indotta?
Grazie in anticipo!
Risposte
"giulgiu":
... Il primo punto l'ho fatto semplicemente applicando la legge di Ohm e quindi ponendo $i_1max = V_1/R_1 = 5/50 = 0,1 A$.
Esatto.
"giulgiu":
... Nel secondo chiede la corrente indotta, quindi presumo si sia generato un campo magnetico sul circuito 1 col passare della corrente, giusto?
Certo, un campo variabile nel tempo, visto che anche la corrente è funzione del tempo.
"giulgiu":
... Se la risposta è si, come faccio a calcolare il campo magnetico generato? ...
Visto che il tratto orizzontale inferiore è molto lungo, e le altre parti del circuito, come precisa il testo, "non provocano induzione apprezzabile", dovresti sapere calcolare il campo $B(r,t)$ attorno a quel lato (filo), dove $r$ è la distanza dallo stesso.
"giulgiu":
... successivamente con quel campo devo trovarmi la fem da usare per calcolare la corrente indotta?
Proprio così, e per farlo dovrai andare a ricavarti nei tre casi (per le tre maglie secondarie), il flusso $\Phi(t)$ del campo magnetico concatenato con quei tre circuiti e quindi applicare la "regola del flusso" (ex legge di Faraday Neumann Lenz), per ottenere la forza elettromotrice $\xi_i(t)$.
BTW Suppongo ci sia anche una (analoga) quarta richiesta per il terzo circuito, sbaglio?
Grazie mille intanto per avermi risposto!
Per calcolare il campo magnetico posso usare la formula del campo magnetico generato da un filo? Ovvero $B = mu_0I/(2pir)$ con $r = a/2$?
Per calcolare il flusso non è necessaria una superficie? Perchè sennò $dS$ come lo trovo?
Si, ci sarebbero altre 2 domande sul terzo circuito ma ahimè non riesco a risolvere queste, figuriamoci le altre che sembrano più difficili
"RenzoDF":
Visto che il tratto orizzontale inferiore è molto lungo, e le altre parti del circuito, come precisa il testo, "non provocano induzione apprezzabile", dovresti sapere calcolare il campo $B(r,t)$ attorno a quel lato (filo), dove $r$ è la distanza dallo stesso.
Per calcolare il campo magnetico posso usare la formula del campo magnetico generato da un filo? Ovvero $B = mu_0I/(2pir)$ con $r = a/2$?
"RenzoDF":
Proprio così, e per farlo dovrai andare a ricavarti nei tre casi (per le tre maglie secondarie), il flusso $\Phi(t)$ del campo magnetico concatenato con quei tre circuiti e quindi applicare la "regola del flusso" (ex legge di Faraday Neumann Lenz), per ottenere la forza elettromotrice $\xi_i(t)$.
Per calcolare il flusso non è necessaria una superficie? Perchè sennò $dS$ come lo trovo?
"RenzoDF":
BTW Suppongo ci sia anche una (analoga) quarta richiesta per il terzo circuito, sbaglio?
Si, ci sarebbero altre 2 domande sul terzo circuito ma ahimè non riesco a risolvere queste, figuriamoci le altre che sembrano più difficili
Sì, per il campo puoi usare quella formula, ma $r$ deve rimanere la generica distanza dal filo in quanto poi dovrai andare ad integrare il flusso infinitesimo relativo alla superficie infinitesima $dS=b dr$, e inoltre la corrente sarà funzione del tempo $i(t)$.
Per il primo circuito secondario diciamo che l’integrale non servirebbe
, ma per il secondo (che poi è uguale al terzo dal punto di vista del flusso concatenato) devi per forza farlo, e in questo caso dovrai integrare da $r=c$ a $r=c+a$.
Per il primo circuito secondario diciamo che l’integrale non servirebbe
, ma per il secondo (che poi è uguale al terzo dal punto di vista del flusso concatenato) devi per forza farlo, e in questo caso dovrai integrare da $r=c$ a $r=c+a$.
"RenzoDF":
Sì, per il campo puoi usare quella formula, ma $r$ deve rimanere la generica distanza dal filo in quanto poi dovrai andare ad integrare il flusso infinitesimo relativo alla superficie infinitesima $dS=b dr$, e inoltre la corrente sarà funzione del tempo $i(t)$.
Per il primo circuito secondario diciamo che l’integrale non servirebbe
Ok, credo di aver capito!
Quindi per calcolare la fem faccio $ξ_2 = \int_{-a/2}^{a/2} (μ_0I(t)b)/(2pix)dx/dt$ ?
L'unica cosa di cui sono titubante sono gli estremi di integrazione perchè mettendo $a/2$ e $-a/2$ alla fine viene fuori un $ln(-1)$.
Comunque dopo $(I(t))/dt$ diventa la corrente calcolata al primo punto giusto?
"giulgiu":
... Quindi per calcolare la fem faccio $ξ_2 = \int_{-a/2}^{a/2} (μ_0I(t)b)/(2pix)dx/dt$ ?
Non vedo come quella scrittura possa essere corretta, direi che, facendo un passo alla volta
$\phi_2 = \int_{-a/2}^{a/2} (μ_0i_1(t)b)/(2pix)dx $
"giulgiu":
... L'unica cosa di cui sono titubante sono gli estremi di integrazione perchè mettendo $a/2$ e $-a/2$ alla fine viene fuori un $ln(-1)$.
dal quale "esce" un $ln(1)$, e di conseguenza un flusso nullo, che (come ti dicevo), era più che ovvio, vista la posizione del primo circuito secondario.
Dopo di che, anche la fem così come la corrente
$ξ_2(t) =-\frac{\text{d}\phi_2 }{\text{d}t}$
$i_2(t) =\frac{ξ_2(t)}{R_2}$
risultano nulle.
"giulgiu":
... Comunque dopo $(I(t))/dt$ diventa la corrente calcolata al primo punto giusto?
Scusa ma che significato può avere quel rapporto?
Inizio col ringraziarti immensamente per la pazienza e l'aiuto che mi stai dando, grazie davvero.
Dall'integrale verrebbe fuori $ln(a/2) - ln(-a/2)$ che secondo le proprietà dei logaritmi è uguale a $ln(a/2*(-2/a))$, e semplificando viene $ln(-1)$. Devo forse considerare il segno $-$ come "teorico" e ignorarlo nel logaritmo?
Ad essere sincero non lo so, cercavo di far venire i conti, non sono un molto scaltro lo ammetto.
"RenzoDF":
dal quale "esce" un $ln(1)$, e di conseguenza un flusso nullo, che (come ti dicevo), era più che ovvio, vista la posizione del primo circuito secondario.
Dall'integrale verrebbe fuori $ln(a/2) - ln(-a/2)$ che secondo le proprietà dei logaritmi è uguale a $ln(a/2*(-2/a))$, e semplificando viene $ln(-1)$. Devo forse considerare il segno $-$ come "teorico" e ignorarlo nel logaritmo?
"RenzoDF":
Scusa ma che significato può avere quel rapporto?
Ad essere sincero non lo so, cercavo di far venire i conti, non sono un molto scaltro lo ammetto.
"giulgiu":
... Dall'integrale verrebbe fuori $ln(a/2) - ln(-a/2)$ che secondo le proprietà dei logaritmi è uguale a $ln(a/2*(-2/a))$, e semplificando viene $ln(-1)$. Devo forse considerare il segno $-$ come "teorico" e ignorarlo nel logaritmo?
Ti ricordo che integrando \(1/x\) avrai \(\ln|x|\).
BTW Sarei curioso di leggere anche le ultime due domande di quel problema, e anche sapere da dove arriva.
"RenzoDF":
Ti ricordo che integrando \(1/x\) avrai \(\ln|x|\).
Ops...
"RenzoDF":
BTW Sarei curioso di leggere anche le ultime due domande di quel problema, e anche sapere da dove arriva.
Queste sono le ultime domande, è un esame di Fisica dell'Università di Trento dove studio e che devo dare tra pochi giorni.
Ovviamente non è questo l'esame che devo dare, ma uno degli esami degli scorsi anni che sto facendo per allenarmi, meglio precisare che magari vengono fuori equivoci!
Avrei un dubbio irrisolto:
Scusa ma che significato può avere quel rapporto?[/quote]
Nel 3o punto ho che il flusso del campo magnetico è $phi(B) = \int_{c}^[c+a} (mu_0I(t)bdx)/(2pix)$, che ha come risultato $phi(B) = (mu_0I(t)b ln((c+a)/a))/(2pi)$.
Per trovare la fem del sistema devo derivare $(phi(B))/dt$, cosa vuol dire?
So che la corrente è in funzione del tempo ma nell'equazione non c'è nessuna $t$ da derivare.
Grazie in anticipo!!
"RenzoDF":
[quote="giulgiu"]... Comunque dopo $(I(t))/dt$ diventa la corrente calcolata al primo punto giusto?
Scusa ma che significato può avere quel rapporto?[/quote]
Nel 3o punto ho che il flusso del campo magnetico è $phi(B) = \int_{c}^[c+a} (mu_0I(t)bdx)/(2pix)$, che ha come risultato $phi(B) = (mu_0I(t)b ln((c+a)/a))/(2pi)$.
Per trovare la fem del sistema devo derivare $(phi(B))/dt$, cosa vuol dire?
So che la corrente è in funzione del tempo ma nell'equazione non c'è nessuna $t$ da derivare.
Grazie in anticipo!!
Ovviamente devi andare a scrivere la $I(t)$ esplicitando la sua dipendenza dal tempo $t$.
"RenzoDF":
Ovviamente devi andare a scrivere la $I(t)$ esplicitando la sua dipendenza dal tempo $t$.
Ok, grazie mille! (Pensavo fosse più immediato
)Per il 4o punto mi sono fatto un'idea però il risultato che ne viene fuori non mi convince.
Trovando la $V(t)$ del circuito grande si ha che $V(t) = -5/t_1 |t-t_1| + 5$ che derivato su $dt$ viene $(V(t))/(dt) = -5/t_1 (t-t_1)/|t-t_1|$.
Quindi la corrente indotta del circuito 3 e 4(dato che la distanza è la stessa, non considerando inizialmente il condensatore) è $I_i(t) = (mu_0bln((c+a)/a))/(2piR_i) (V(t))/(dtR_1)$, con $i$ che varia a seconda che si tratti del circuito 3 o 4.
Poi, in un circuito RC si ha che $I(t) = I_0e^(-t/(RC))$ e se vado a isolare la $C$ viene che $C = -t/(ln((I(t))/I_0)R)$.
A questo punto se al tempo $t_1$ la $I(t)$ deve valere praticamente 0 e la $I_0$, se utilizziamo la formula sopra(quella della $I_i$), vale anch'essa 0 al tempo $t_1$, il logaritmo che è presente al denominatore diventa impossibile.
Ho sbagliato qualcosa nel ragionamento?
Scusa se te lo dico, ma direi che hai sbagliato tutto.
Tanto per cominciare come può essere quella la $V(t)$? Si vede subito che è già errata dal punto di vista dimensionale.
Vorrei poi sapere chi ti ha insegnato Analisi, facendoti scrivere quel rapporto senza senso fra valore finito e infinitesimo.
... ora non ho tempo per dirti altro, ma ti consiglio di rivedere attentamente la risposta che mi hai dato.
Per il momento, non commento nemmeno il testo di quel tema d'esame, ma in particolare per il punto 4 è davvero indispensabile la sfera di cristallo.
Tanto per cominciare come può essere quella la $V(t)$? Si vede subito che è già errata dal punto di vista dimensionale.
Vorrei poi sapere chi ti ha insegnato Analisi, facendoti scrivere quel rapporto senza senso fra valore finito e infinitesimo.
... ora non ho tempo per dirti altro, ma ti consiglio di rivedere attentamente la risposta che mi hai dato.
Per il momento, non commento nemmeno il testo di quel tema d'esame, ma in particolare per il punto 4 è davvero indispensabile la sfera di cristallo.
"RenzoDF":
Scusa se te lo dico, ma direi che hai sbagliato tutto.
Tanto per cominciare come può essere quella la $V(t)$? Si vede subito che è già errata dal punto di vista dimensionale.
Vorrei poi sapere chi ti ha insegnato Analisi, facendoti scrivere quel rapporto senza senso fra valore finito e infinitesimo.
... ora non ho tempo per dirti altro, ma ti consiglio di rivedere attentamente la risposta che mi hai dato.
Per il momento, non commento nemmeno il testo di quel tema d'esame, ma in particolare per il punto 4 è davvero indispensabile la sfera di cristallo.
Nella $V(t)$ avevo invertito una cosa ma adesso l'ho corretta.
Comunque va bene così, ormai ho perso le speranze.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità e l'aiuto che mi hai dato!
Grazie!
Se posso darti un consiglio, non "abbandonare" mai 
Come ti dicevo, per il punto 4, le precisazioni sulla "opportuna capacità" che deve "essere tenuta alta" e sulla corrente che "vada praticamente a zero", sono davvero criptiche, ad ogni modo, cercando di indovinare, forse si intende dire che il rapporto fra $t_1$ e la costante di tempo $\tau=RC$ deve essere alto, ... ma non troppo.
E qui sarebbe interessante sapere cosa ti hanno detto a lezione a proposito di quante costanti di tempo considerare affinchè la corrente possa considerarsi "praticamente a zero" ($4\tau$, $5\tau$, ... $10\tau$ ?), te lo ricordi?
Scelto il suddetto rapporto, per esempio $t_1/\tau=5$, come spesso si usa fare in H-demia, avrai semplicemente che
$R_4C= t_1/5$
e quindi
$C= t_1/(5R_4)$.
----------------------------------------------------------------------
Per il punto 5, giusto per semplificare il discorso, prova per esempio a considerare separatamente i due intervalli temporali $0
Per il primo:
$v_s(t)=(5t)/t_1$
$i_1(t)=(5t)/(R_1t_1)$
$B(t,r)=\mu_0/(2\pir)i_1(t)=(5\mu_0 )/(2\pi r R_1 t_1)t$
Il flusso di B, uscente dal foglio,
$\phi_4(t)= ...$
Di conseguenza, la fem indotta, con verso antiorario
$ξ_4(t) =-\frac{\text{d}\phi_4 }{\text{d}t}= ...$
e così potrai fare anche per il secondo intervallo [nota]Ma, visto che la derivata della $v_s(t)$ cambia solo di segno, potrai evitare i relativi calcoli.[/nota], andando ad ottenere per la fem un andamento ad onda quadrata, positiva (e ovviamente costante) in verso orario nel primo intervallo, negativa nel secondo intervallo.
La corrente (con il verso indicato nello schema iniziale) scenderà esponenzialmente verso zero, a partire da una \(I_{4Max} =|\xi_{4Max}|/R_4\) con costante di tempo nota $\tau=R_4C=2 \ \text{ms}$, che ti permetterà di scrivere la $i_4(t)$ e valutarla per $t=t_1$, istante dopo il quale, a causa della discontinuità della $\xi_4$, presenterà [nota]Grazie alla continuità della tensione su $C$.[/nota] una discontinuità di ampiezza
$ \Delta i_4=i_4(t_1^+)- i_4(t_1^-)=-(2|\xi_{4Max}|)/R_4$.
portando a un massimo negativo per la corrente nella maglia pari a
$\I_{4Max}=i_4(t_1^+)=i_4(t_1^-)-2|\xi_{4Max}|/R_4$.
-----------------
Per il punto 6, non vedo a questo punto difficoltà per tracciare il grafico, che in ogni caso sarà sostanzialmente "qualitativo", anche in presenza della specificazione di alcuni suoi punti notevoli.
BTW Ti confesso che non ho mai visto in vita mia prove d'esame provviste di simili "commenti".
Come ti dicevo, per il punto 4, le precisazioni sulla "opportuna capacità" che deve "essere tenuta alta" e sulla corrente che "vada praticamente a zero", sono davvero criptiche, ad ogni modo, cercando di indovinare, forse si intende dire che il rapporto fra $t_1$ e la costante di tempo $\tau=RC$ deve essere alto, ... ma non troppo.
E qui sarebbe interessante sapere cosa ti hanno detto a lezione a proposito di quante costanti di tempo considerare affinchè la corrente possa considerarsi "praticamente a zero" ($4\tau$, $5\tau$, ... $10\tau$ ?), te lo ricordi?
Scelto il suddetto rapporto, per esempio $t_1/\tau=5$, come spesso si usa fare in H-demia, avrai semplicemente che
$R_4C= t_1/5$
e quindi
$C= t_1/(5R_4)$.
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Per il punto 5, giusto per semplificare il discorso, prova per esempio a considerare separatamente i due intervalli temporali $0
Per il primo:
$v_s(t)=(5t)/t_1$
$i_1(t)=(5t)/(R_1t_1)$
$B(t,r)=\mu_0/(2\pir)i_1(t)=(5\mu_0 )/(2\pi r R_1 t_1)t$
Il flusso di B, uscente dal foglio,
$\phi_4(t)= ...$
Di conseguenza, la fem indotta, con verso antiorario
$ξ_4(t) =-\frac{\text{d}\phi_4 }{\text{d}t}= ...$
e così potrai fare anche per il secondo intervallo [nota]Ma, visto che la derivata della $v_s(t)$ cambia solo di segno, potrai evitare i relativi calcoli.[/nota], andando ad ottenere per la fem un andamento ad onda quadrata, positiva (e ovviamente costante) in verso orario nel primo intervallo, negativa nel secondo intervallo.
La corrente (con il verso indicato nello schema iniziale) scenderà esponenzialmente verso zero, a partire da una \(I_{4Max} =|\xi_{4Max}|/R_4\) con costante di tempo nota $\tau=R_4C=2 \ \text{ms}$, che ti permetterà di scrivere la $i_4(t)$ e valutarla per $t=t_1$, istante dopo il quale, a causa della discontinuità della $\xi_4$, presenterà [nota]Grazie alla continuità della tensione su $C$.[/nota] una discontinuità di ampiezza
$ \Delta i_4=i_4(t_1^+)- i_4(t_1^-)=-(2|\xi_{4Max}|)/R_4$.
portando a un massimo negativo per la corrente nella maglia pari a
$\I_{4Max}=i_4(t_1^+)=i_4(t_1^-)-2|\xi_{4Max}|/R_4$.
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Per il punto 6, non vedo a questo punto difficoltà per tracciare il grafico, che in ogni caso sarà sostanzialmente "qualitativo", anche in presenza della specificazione di alcuni suoi punti notevoli.
BTW Ti confesso che non ho mai visto in vita mia prove d'esame provviste di simili "commenti".
Wow, davvero grazie infinite!
In effetti adesso ho capito il perchè il 4o punto sia alquanto enigmatico.
Io sono al 2o anno e Fisica sarebbe stato del primo ma non sono riuscito a passarla col voto che volevo.
Quest'anno il professore è cambiato e purtroppo non sono riuscito a seguire le lezioni per problemi di sovrapposizione con altre lezioni del 2o anno.
Per questo anche certe cose non le capisco molto perchè il professore nuovo ha affrontato gli argomenti in maniere diversa rispetto all'anno scorso e quindi sul problema della costante di tempo non saprei risponderti.
(Anch'io sono rimasto stupito a vedere certi commenti, soprattutto quello del 30 e lode nell'esercizio 5)
Detto questo ti ringrazio ancora(non sarà mai abbastanza ) per il tempo che hai investito per rispondere ed aiutarmi a capire questo esercizio.
Sei stato davvero eccezionale e ti auguro il meglio! Grazie!
In effetti adesso ho capito il perchè il 4o punto sia alquanto enigmatico.
Io sono al 2o anno e Fisica sarebbe stato del primo ma non sono riuscito a passarla col voto che volevo.
Quest'anno il professore è cambiato e purtroppo non sono riuscito a seguire le lezioni per problemi di sovrapposizione con altre lezioni del 2o anno.
Per questo anche certe cose non le capisco molto perchè il professore nuovo ha affrontato gli argomenti in maniere diversa rispetto all'anno scorso e quindi sul problema della costante di tempo non saprei risponderti.
(Anch'io sono rimasto stupito a vedere certi commenti, soprattutto quello del 30 e lode nell'esercizio 5)
Detto questo ti ringrazio ancora(non sarà mai abbastanza
) per il tempo che hai investito per rispondere ed aiutarmi a capire questo esercizio.Sei stato davvero eccezionale e ti auguro il meglio! Grazie!
Grazie a te, e in bocca al lupo per i tuoi studi. 
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo