Problema sul raggio di curvatura moto parabolico
Buongiorno ragazzi,sono di nuovo qui per un problema in cui ho incontrato alcune difficoltà e il testo del problema è il seguente:
Trova il raggio di curvatura R del punto indicato dalla figura di una traiettoria parabolica.
Io so che il raggio di curvatura può essere calcolato facendo $R=V^2/a_c$ in cui $a_c$ è l'accelerazione centripeta.
Il problema è che non riesco a capire come calcolarmi la accelerazione centripeta e di conseguenza non riesco a calcolare il raggio..
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Trova il raggio di curvatura R del punto indicato dalla figura di una traiettoria parabolica.
Io so che il raggio di curvatura può essere calcolato facendo $R=V^2/a_c$ in cui $a_c$ è l'accelerazione centripeta.
Il problema è che non riesco a capire come calcolarmi la accelerazione centripeta e di conseguenza non riesco a calcolare il raggio..
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Risposte
$a_c$ è l'accelerazione centripeta ed è la componente dell'accelerazione ortogonale all traiettoria
Eh si mi ero sbagliato a scrivere..
Devi usare la formula della curvatura di una curva
cioè?
Cosa ti è stato insegnato riguardo alla curvatura? al raggio di curvatura? Se non so cosa sai non ti posso aiutare
solo che la curvatura è uguale a $C=1/r$ e che l'accelerazione centripeta è uguale a $a_c=v^2/r$
Allora il problema è mal-posto, o lo mal-poni tu...quella traiettoria parabolica è la traiettoria di un "moto parabolico"? Cioè un moto in cui l'accelerazione è data solo dalla gravita? Se si, perché la parabola è a testa in su? Se no, il problema non ha soluzione, perché una traiettoria qualsiasi può essere percorsa in infiniti modi diverse con infinite velocità diverse e quindi infinite accelerazioni centripete diverse, la curvatura nel caso generale si trova con opportuni metodi dipendenti solo dalla traiettoria e non dal modo in cui viene percorsa...ma se questi metodi non li sai è inutile girarci intorno.
Si è un moto parabolico di un proiettile.. Però anche io ho avuto il dubbio sul disegno perchè sia stato fatto fornito così...Per questo sono completamente nel pallone..
Comunque a quali metodi ti riferisci?
Comunque a quali metodi ti riferisci?
Scusate l'intromissione.
E' chiaro che la curvatura di una linea è un problema geometrico, e non cinematico o dinamico, appunto perchè non si sa niente sul come la linea venga percorsa.
Però, visto che (rovesciando la figura) si ottiene effettivamente qualcosa che potrebbe essere la soluzione di un problema dinamico, nel qual caso potremmo sì conoscere velocità e accelerazione in ogni punto, questo potrebbe facilitare la soluzione, utilizzando la formula $A_c = v^2/R$?
E' chiaro che la curvatura di una linea è un problema geometrico, e non cinematico o dinamico, appunto perchè non si sa niente sul come la linea venga percorsa.
Però, visto che (rovesciando la figura) si ottiene effettivamente qualcosa che potrebbe essere la soluzione di un problema dinamico, nel qual caso potremmo sì conoscere velocità e accelerazione in ogni punto, questo potrebbe facilitare la soluzione, utilizzando la formula $A_c = v^2/R$?
Si, in effetti rigirando la parabola, la traiettoria risultante è quella di un moto parabolico in cui il lancio iniziale è orizzontale, detta v_0 la velocitò di lancio, si ha:
$x(t)=v_0t$
$y(t)=-1/2g t^2$
Si conoscono le coordinate del punto $(x_0, y_0)$ in cui si vuole calcolare la curvatura, quindi si risolve il precednte sistema trovando $v_0$, con la conservazione dell'energia si trova $v$ e quindi la curvatura
$x(t)=v_0t$
$y(t)=-1/2g t^2$
Si conoscono le coordinate del punto $(x_0, y_0)$ in cui si vuole calcolare la curvatura, quindi si risolve il precednte sistema trovando $v_0$, con la conservazione dell'energia si trova $v$ e quindi la curvatura
ma scusa il sistema non dovrebbe essere:
$x(t)=x_0+v_0t$
$y(t)=y_0-1/2g t^2$
$x(t)=x_0+v_0t$
$y(t)=y_0-1/2g t^2$
No, x0 e y0 sono il punto in cui si vuole calcolare la curvatura, non sono il punto iniziale del moto, il punto iniziale del moto è l'origine (0,0) del sistema di riferimento.
Ah capito..
Non si direbbe
Quindi, sapendo che l'accelerazione è quella di gravità, si deve scomporla nelle due parti, tangente alla traiettoria e normale, e poi usare questa per trovare il raggio di curvatura?
Quella normale, se non sbaglio, è $g sin theta$, dove $theta$ è l'angolo fra $vec v$ e la verticale?
E questo è $artg V_x/V_y$ ?
Potrebbe funzionare?
Quella normale, se non sbaglio, è $g sin theta$, dove $theta$ è l'angolo fra $vec v$ e la verticale?
E questo è $artg V_x/V_y$ ?
Potrebbe funzionare?
Direi proprio di si
scusa ma come lo calcolo la $v_0$ dal sistema ?
Inoltre anche io avrei seguito il ragionamento fatto da mgrau ma il problema è che non si può trovare l'angolo dato che non ho ne $V_x$ e ne$ V_y $ sbaglio?
Inoltre anche io avrei seguito il ragionamento fatto da mgrau ma il problema è che non si può trovare l'angolo dato che non ho ne $V_x$ e ne$ V_y $ sbaglio?
"mgrau":
Quindi, sapendo che l'accelerazione è quella di gravità, si deve scomporla nelle due parti, tangente alla traiettoria e normale, e poi usare questa per trovare il raggio di curvatura?
Quella normale, se non sbaglio, è $g sin theta$, dove $theta$ è l'angolo fra $vec v$ e la verticale?
E questo è $artg V_x/V_y$ ?
Potrebbe funzionare?
Ma se hai un problema di moto di un proiettile, conoscendo posizione e velocità iniziale non riesci a calcolare la velocità in un qualsiasi punto della traiettoria?
Usando le leggi orari sì cioè usando :
$v_x(t)=v_{x0}t+a_xt$
$v_y(t)=v_{y0}t+a_yt$
Però non so ne quanto vale $v_{x0}$ e ne quanto vale $ v_{y0}$
$v_x(t)=v_{x0}t+a_xt$
$v_y(t)=v_{y0}t+a_yt$
Però non so ne quanto vale $v_{x0}$ e ne quanto vale $ v_{y0}$
Prendi la tua parabola, che ti riporto qui rovesciata e dimezzata
La questione è: possiamo interpretare questa figura come la traiettoria di un oggetto in caduta libera? Si tratta di assegnare la scala della figura (quanto vale un quadretto, in metri) e la velocità orizzontale di lancio. Scegliamo il vertice della parabola come origine, e l'asse verticale orientato in giù.
Se guardi il punto rosso (scelto per comodità), questo ha coordinate 4U,4U dove U è la lunghezza di un quadretto.
Dobbiamo allora avere (dato x = y)
$V_0*t = 1/2 g t^2 => V_0 = 1/2 g t$
Possiamo scegliere a piacere $V_0$, oppure $t$, e ricavare di conseguenza rispettivamente $t$ o $V_0$.
Scegliamo per es. $V_0 = 10 => t = 20/g$
Allora la coordinata x $4U = V_0*t = 10 * 20/g = 200/g => U = 50/g$.
Concludiamo: la nostra figura rappresenta la traiettoria di un oggetto lanciato con velocità orizzontale di 10 m/s, se ogni quadretto rappresenta una lunghezza di $50/g m$.
(E' chiaro che non è l'unica possibilità, visto che abbiamo scelto arbitrariamente $V_0$)
A questo punto, cosa rappresenta il punto B? E' un punto per cui $V_0 t = 3U = (3*50)/g m => t = 15/g$.
Ora il tuo problema diventa: quale è la velocità $vec V$ di un oggetto in caduta libera, lanciato con velocità orizzontale di 10 m/s dopo un tempo $t = 15/g$?
Trovato questo, puoi procedere a trovare la curvatura coi metodi visti
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
La questione è: possiamo interpretare questa figura come la traiettoria di un oggetto in caduta libera? Si tratta di assegnare la scala della figura (quanto vale un quadretto, in metri) e la velocità orizzontale di lancio. Scegliamo il vertice della parabola come origine, e l'asse verticale orientato in giù.
Se guardi il punto rosso (scelto per comodità), questo ha coordinate 4U,4U dove U è la lunghezza di un quadretto.
Dobbiamo allora avere (dato x = y)
$V_0*t = 1/2 g t^2 => V_0 = 1/2 g t$
Possiamo scegliere a piacere $V_0$, oppure $t$, e ricavare di conseguenza rispettivamente $t$ o $V_0$.
Scegliamo per es. $V_0 = 10 => t = 20/g$
Allora la coordinata x $4U = V_0*t = 10 * 20/g = 200/g => U = 50/g$.
Concludiamo: la nostra figura rappresenta la traiettoria di un oggetto lanciato con velocità orizzontale di 10 m/s, se ogni quadretto rappresenta una lunghezza di $50/g m$.
(E' chiaro che non è l'unica possibilità, visto che abbiamo scelto arbitrariamente $V_0$)
A questo punto, cosa rappresenta il punto B? E' un punto per cui $V_0 t = 3U = (3*50)/g m => t = 15/g$.
Ora il tuo problema diventa: quale è la velocità $vec V$ di un oggetto in caduta libera, lanciato con velocità orizzontale di 10 m/s dopo un tempo $t = 15/g$?
Trovato questo, puoi procedere a trovare la curvatura coi metodi visti
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