Problema sul momento angolare
devo calcolare il momento angolare con polo scelto a metà dell'altezza della porta.suggerimento:$\L_x,L_y=0$con la scelta del polo.
provo a farvi il disegno visto dall'alto dove al porta è indicata con la linea blu e gli assi con le rette tratteggiate..
y
|
|
|
|
|______________ _ _ _ _ x
O
i miei dati sono la larghezza,la massa,la velocità angolare e il momendo d'inerzia I..
io ho svolto l'esercizio usando la formula L=r [size=75]x[/size] p= m(r [size=75]x[/size] v) dove ho inteso r come la larghezza della porta..
l'esercizio però doveva essere svolto in questo modo:data la geometria del problema il momento angolare ha solo la componente z diversa da 0.
$\L=(0,0,L_z)
$\L_z=Iomega
i miei dubbi sono:
in ogni problema si deve scomporre L nelle componenti x,y,z?
$\L_x,L_y$sono uguali a 0 perchè hanno r nullo giusto?
come fa a trovare il momento meccanico $\L_z$ moltiplicando il momento d'inerzia con la velocità angolare?
provo a farvi il disegno visto dall'alto dove al porta è indicata con la linea blu e gli assi con le rette tratteggiate..
y
|
|
|
|
|______________ _ _ _ _ x
O
i miei dati sono la larghezza,la massa,la velocità angolare e il momendo d'inerzia I..
io ho svolto l'esercizio usando la formula L=r [size=75]x[/size] p= m(r [size=75]x[/size] v) dove ho inteso r come la larghezza della porta..
l'esercizio però doveva essere svolto in questo modo:data la geometria del problema il momento angolare ha solo la componente z diversa da 0.
$\L=(0,0,L_z)
$\L_z=Iomega
i miei dubbi sono:
in ogni problema si deve scomporre L nelle componenti x,y,z?
$\L_x,L_y$sono uguali a 0 perchè hanno r nullo giusto?
come fa a trovare il momento meccanico $\L_z$ moltiplicando il momento d'inerzia con la velocità angolare?
Risposte
Qua il discorso sarebbe un po' lungo, ma provo a sintetizzarlo.
Partiamo dal considerare una singola massa puntiforme che ruota attorno a un asse.
La massa ha quantità di moto $\vec P=m\vec v$.
Se prendiamo un punto qualsiasi dell'asse di rotazione e calcoliamo il momento angolare di questo moto rispetto a tale punto, il risultato è $\vec L=\vec r \times \vec P$, dove il vettore r è il vettore posizione che va dal polo scelto fino alla massa in movimento. Questa operazione è un prodotto vettoriale, per cui risulta che il vettore L è ortogonale sia al vettore posizione r sia al vettore P. Dunque se il polo sta proprio sul piano di rotazione della massa, L ha direzione parallela all'asse di rotazione, mentre se il polo non sta su questo piano, L ha anche componente ortogonale all'asse di rotazione.
Nel caso di un corpo rigido che ruota (come la tua porta) il vettore momento angolare è la somma di infiniti vettori infinitesimi ciascuno dovuto a un simgolo cubetto componente la porta.
Il trucco di scegliere il polo proprio nel punto di mezzo del cardine serve a far sì che per ragioni di simmetria ogni cubetto di porta che sta sopra il suddeto polo ha un gemello in posizione simmetrica che sta al di sotto del polo. Sommando a due a due i contributi di tutti i cubetti simmetricamente disposti sopra e sotto il polo, le componenti ortogonali all'asse di rotazione si elidono e rimangono solo le componenti lungo l'asse di rotazione. Se il polo fosse stato scelto in un punto diverso dalla mezzeria del cardine il vettore momento angolare avrebbe anche componenti x e y non nulle.
Nel caso del corpo rigido in generale anziché calcolare ogni volta il momento angolare come somma (vettoriale) di momenti infinitesimi si preferisce estrarre da questo integrale la velocità angolare e moltiplicarla per una grandezza tensoriale che è il momento di inerzia. Questa operazione diviene semplice proprio quando il momento angolare risultante è parallelo al vettore velocità angolare, come in questo caso. Il caso generale è invece molto più complesso, ma credo che in tutti i casi con cui avrai a che fare si potrà semplicemente scrivere $\vecL=I\vec\omega$, dove I è un semplice scalare risultato di una operazione di integrazione, che però trovi già calcolato nei libri per i casi più comuni.
Partiamo dal considerare una singola massa puntiforme che ruota attorno a un asse.
La massa ha quantità di moto $\vec P=m\vec v$.
Se prendiamo un punto qualsiasi dell'asse di rotazione e calcoliamo il momento angolare di questo moto rispetto a tale punto, il risultato è $\vec L=\vec r \times \vec P$, dove il vettore r è il vettore posizione che va dal polo scelto fino alla massa in movimento. Questa operazione è un prodotto vettoriale, per cui risulta che il vettore L è ortogonale sia al vettore posizione r sia al vettore P. Dunque se il polo sta proprio sul piano di rotazione della massa, L ha direzione parallela all'asse di rotazione, mentre se il polo non sta su questo piano, L ha anche componente ortogonale all'asse di rotazione.
Nel caso di un corpo rigido che ruota (come la tua porta) il vettore momento angolare è la somma di infiniti vettori infinitesimi ciascuno dovuto a un simgolo cubetto componente la porta.
Il trucco di scegliere il polo proprio nel punto di mezzo del cardine serve a far sì che per ragioni di simmetria ogni cubetto di porta che sta sopra il suddeto polo ha un gemello in posizione simmetrica che sta al di sotto del polo. Sommando a due a due i contributi di tutti i cubetti simmetricamente disposti sopra e sotto il polo, le componenti ortogonali all'asse di rotazione si elidono e rimangono solo le componenti lungo l'asse di rotazione. Se il polo fosse stato scelto in un punto diverso dalla mezzeria del cardine il vettore momento angolare avrebbe anche componenti x e y non nulle.
Nel caso del corpo rigido in generale anziché calcolare ogni volta il momento angolare come somma (vettoriale) di momenti infinitesimi si preferisce estrarre da questo integrale la velocità angolare e moltiplicarla per una grandezza tensoriale che è il momento di inerzia. Questa operazione diviene semplice proprio quando il momento angolare risultante è parallelo al vettore velocità angolare, come in questo caso. Il caso generale è invece molto più complesso, ma credo che in tutti i casi con cui avrai a che fare si potrà semplicemente scrivere $\vecL=I\vec\omega$, dove I è un semplice scalare risultato di una operazione di integrazione, che però trovi già calcolato nei libri per i casi più comuni.
"Falco5x":
Il trucco di scegliere il polo proprio nel punto di mezzo del cardine serve a far sì che per ragioni di simmetria ogni cubetto di porta che sta sopra il suddeto polo ha un gemello in posizione simmetrica che sta al di sotto del polo. Sommando a due a due i contributi di tutti i cubetti simmetricamente disposti sopra e sotto il polo, le componenti ortogonali all'asse di rotazione si elidono e rimangono solo le componenti lungo l'asse di rotazione. Se il polo fosse stato scelto in un punto diverso dalla mezzeria del cardine il vettore momento angolare avrebbe anche componenti x e y non nulle.
non ho capito benissimo..mi faresti un caso in cui le componenti x,y,z non sono nulle?
y
|
|
|
| ________
|
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x
O
tipo in questo caso?
comunque ho capito $\Iomega$ da dove è uscito
$\L=rp=mrv=mrromega=mr^2omega=Iomega
Solo alcune aggiunte, spero di non confondere troppo le idee.
Normalmente i momenti d'inerzia sono calcolati rispetto ad un'asse e non rispetto ad un polo. Questo perché nella pratica è comodo scrivere l'equazione di bilancio del momento angolare che si riconduce a dire che la derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento delle forze esterne applicate; con momento angolare e momento delle forze calcolati rispetto al medesimo asse.
Nel caso della porta si scrive tale equazione rispetto all'asse di rotazione per cui l'unico momento d'inerzia che interessa è $I_z$ che moltiplicato per la $\omega$ dà il momento angolare rispetto all'asse. Derivando questa espressione dato che il momento d'inerzia è costante col tempo perchè il moto è di semplice rotazione attorno all'asse, si arriva ad un'equazione semplice che lega l'accelerazione angolare al momento della forza. Nota bene che il momento $I_z$ per un rettangolo normalmente è dato per rispetto all'asse passante per il centro di massa quindi devi calcolare quello rispetto all'asse di rotazione con il teorema di Huygens-Steiner che in sostanza ti dice che il momento d'inerzia rispetto ad un asse generico è uguale al momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo a questo passante per il centro di massa più il momento d'inerzia che avrebbe il corpo rispetto a tale asse assumendo tutta la massa del corpo concentrata nel centro di massa.
In verità per un corpo rigido le cose si possono generalizzare e il momento d'inerzia è un tensore, ma questo lo vedrai se studierai meccanica razionale.
Normalmente i momenti d'inerzia sono calcolati rispetto ad un'asse e non rispetto ad un polo. Questo perché nella pratica è comodo scrivere l'equazione di bilancio del momento angolare che si riconduce a dire che la derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento delle forze esterne applicate; con momento angolare e momento delle forze calcolati rispetto al medesimo asse.
Nel caso della porta si scrive tale equazione rispetto all'asse di rotazione per cui l'unico momento d'inerzia che interessa è $I_z$ che moltiplicato per la $\omega$ dà il momento angolare rispetto all'asse. Derivando questa espressione dato che il momento d'inerzia è costante col tempo perchè il moto è di semplice rotazione attorno all'asse, si arriva ad un'equazione semplice che lega l'accelerazione angolare al momento della forza. Nota bene che il momento $I_z$ per un rettangolo normalmente è dato per rispetto all'asse passante per il centro di massa quindi devi calcolare quello rispetto all'asse di rotazione con il teorema di Huygens-Steiner che in sostanza ti dice che il momento d'inerzia rispetto ad un asse generico è uguale al momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo a questo passante per il centro di massa più il momento d'inerzia che avrebbe il corpo rispetto a tale asse assumendo tutta la massa del corpo concentrata nel centro di massa.
In verità per un corpo rigido le cose si possono generalizzare e il momento d'inerzia è un tensore, ma questo lo vedrai se studierai meccanica razionale.
Guarda che per un corpo rigido il momento d'inerzia è un integrale, come già ti ha detto Falco.
$I=\int r^2 dm$ dove $r$ è la distanza dall'asse o dal polo rispetto a cui si calcola il momento. Un corpo rigido non è un punto materiale!
$I=\int r^2 dm$ dove $r$ è la distanza dall'asse o dal polo rispetto a cui si calcola il momento. Un corpo rigido non è un punto materiale!
ok..il calcolo di $\L=Iomega$ l'ho capito.
l'unca cosa che davvero non riesco a capire è perchè le componenti x,y sono nulle
l'unca cosa che davvero non riesco a capire è perchè le componenti x,y sono nulle
Prima occorrerebbe capire cosa intendi per $L_x$ e $L_y$.
A che livello sei? A me sembrava fossi ad un livello Fisica di base, in tal caso quanto detto in precedenza dovrebbe bastarti...
A che livello sei? A me sembrava fossi ad un livello Fisica di base, in tal caso quanto detto in precedenza dovrebbe bastarti...
fisica generale 1°anno civile
Lx e Ly le intendo come componenti di L sull'asse x e y
Lx e Ly le intendo come componenti di L sull'asse x e y
Se per $L$ intendi il vettore momento angolare rispetto ad un polo sull'asse a metà della porta, ti ha già risposto Falco: i contributi in $x$ e $y$ si elidono considerando coppie di elementini sopra e sotto il polo; se come ti dicevo intendi momento angolare rispetto all'asse z allora per definizione tale momento è uno scalare e non esistono $L_x$ e $L_y$.
vi stavo chiedendo di dirmi quando è il caso in cui le componenti x,y non si elidono
"piccola88":
vi stavo chiedendo di dirmi quando è il caso in cui le componenti x,y non si elidono
Prendi la porta del tuo primo disegno e immagina il polo situato non a metà del lato che fa da cardine, ma in un estremo del cardine stesso. E immagina che la porta ruoti con velocità angolare costante intorno al cardine. Ebbene in tal caso il momento angolare della porta rispetto al polo scelto ha in generale 3 componenti non nulle. In questo caso dunque il vettore $\vec L$ e il vettore $\vec \omega$ non sono tra loro paralleli ($\vec\omega$ ha solo la componente zeta). Solo scegliendo il polo a metà del cardine le componenti x e y si annullano e il vettore $\vecL$ risulta parallelo al vettore $\vec\omega$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo