Problema sui fluidi

[matteo_g1]

Ciao, il testo del problema (preso dall'Halliday-resnick) dice:

Viene pompata acqua da un sotterraneo allagato alla velocità costante di 5 m/s attraverso una canna di sezione uniforme con raggio di 1 cm. La canna esce attraverso una finestra situata 3 metri al di sopra del pelo d'acqua. Qual'è la potenza della pompa?

Non ho idea di come risolvere questo problema, vi dico comunque come mi sono mosso;

io so che $ P=(L)/(Delta t) $ con $ L=Delta Ek $ con Ek energia cinetica
ma in questo caso dato che la velocità è costante nei diversi tratti andrei a trovare che la P tot (totale) è zero.
io so inoltre che $ L=-Delta U $ nel caso di forze conservative (come appunto la forza di gravità).
ho inoltre calcolato la massa d'acqua contenuta all'interno del tubo lungo 3m nel seguente modo:
$ rho=m/V -> m=rho*3*pi*(0.01)^2=0.9425 kg $

non so come andare avanti

[professorkappa]

Il pelo dell acqua e' praticamente fermo.
Il lavoro per unita di massa e' $1/2v^2$.
Il lavoro per units di massa per innalzare l'acqua e' $gh$.
La somma ti da il lavoro totale.

Moltiplichi per la portata massica in kg/sec e hai I watt.

[matteo_g1]

ti ringrazio per la risposta ma sinceramente non ho capito quasi nulla, cioè ho capito i massaggi ma non capisco il ragionamento.
mi stai dicendo che $ L=Delta E $ con E energia meccanica (energia cinetica + energia potenziale) ?
ma io sapevo che $ L=Delta Ek $

[professorkappa]

"matteo_g":ti ringrazio per la risposta ma sinceramente non ho capito quasi nulla, cioè ho capito i massaggi ma non capisco il ragionamento.
mi stai dicendo che $ L=Delta E $ con E energia meccanica (energia cinetica + energia potenziale) ?
ma io sapevo che $ L=Delta Ek $

Il teorema di bernoulli ti assicura che l'energia specifica (per unita di massa) di un fluido tra 2 sezioni si deve conservare. A meno che ovviamente non sia presente qualche macchina tra le due sezioni in esame., come in questo caso: tra il pelo libero dell'acqua nello scantinato (sezione 1) e l'uscita del tubo dalla finestra (sezione 2) c'e' una pompa che fornisce energia $L$.

$p_2/[rho]+v_2^2/[2]+gh_2-p_1/[rho]+v_1^2/[2]+gh_1=L$ Lavoro della pompa per unita di massa $[J/[kg]]$

Ora:

$p_1=p_2$ (la pressione sul pelo libero e sull'uscita del tubo e' quella atmosferica)

$v_2^2/[2]-v_1^2/[2]=v_2^2/[2]$ perche puoi trascurare l'energia cinetica della sezione pelo libero: essendo la sezione dello scantinato molto piu' grande della sezione del tubo, la velocita' del pelo libero e', di fatto, nulla.

$h_2-h_1=3$ la differenza di altezza tra le 2 sezioni.

Quindi hai che: $v_2^2/[2]+g(h_2-h_1)=L [J/[kg]]$

Moltiplicando per la portata in kg/sec hai la potenza spesa.
Ovviamente la portata la trovi sapendo che nel tubo di 1 cm di raggio passa acqua a 5 m/sec

[Shackle]

Chiedo scusa per l'ingerenza .

"professorkappa":

Il teorema di bernoulli ti assicura che l'energia specifica (per unita di massa) di un fluido tra 2 sezioni si deve conservare. A meno che ovviamente non sia presente qualche macchina tra le due sezioni in esame., come in questo caso: tra il pelo libero dell'acqua nello scantinato (sezione 1) e l'uscita del tubo dalla finestra (sezione 2) c'e' una pompa che fornisce energia $L$.

$p_2/[rho]+v_2^2/[2]+gh_2-p_1/[rho]+v_1^2/[2]+gh_1=L$ Lavoro della pompa per unita di massa $[J/[kg]]$

@ Profkappa

ti è saltata una parentesi al trinomio relativo alla sezione di ingresso , l'ho messa io :

$p_2/[rho]+v_2^2/[2]+gh_2-(p_1/[rho]+v_1^2/[2]+gh_1) =L$ Lavoro della pompa per unita di massa $[J/[kg]]$

@matteo_g

allego un paio di vecchi messaggi , un po' più brigosi, perchè si parla di perdite di carico, prevalenza di una pompa , e altro ; ma la spiegazione di profkappa ti basta :

viewtopic.php?f=38&t=92671#p618375

viewtopic.php?f=19&t=102655&p=679015&hilit=esercizio+pompa#p679096

[professorkappa]

"Shackle":Chiedo scusa per l'ingerenza .



@ Profkappa

ti è saltata una parentesi al trinomio relativo alla sezione di ingresso , l'ho messa io :

$p_2/[rho]+v_2^2/[2]+gh_2-(p_1/[rho]+v_1^2/[2]+gh_1) =L$ Lavoro della pompa per unita di massa $[J/[kg]]$

L'ho fatto apposta.....Volevo vedere chi era attento e chi no
Scherzi a parte, grazie, il bello di questo forum e' che qualcuno corregge sempre eventuali errori.

In effetti il secondo link che posti e' esattamente questo esercizio.

@ Matteo,

Aggiungo, a puro titolo di cronaca, una piccola formula empirica per calcolare la potenza in KW di una pompa, che si ricava semplicemente per analisi dimensionale, nell ipotesi che:
La portata Q sia espressa in $[m^3\h]$
La prevalenza totale $H=(Deltap)/[rhog]+(Deltav^2)/[2g]+Deltah$ sia in metri
La densita' del fluido sia data come Gravita Specifica, cioe densita' del fluido in kg/m3 diviso densita dell'acqua = 1000)
Il rendimento della pompa sia espresso in percentuale (da 0 a 100)

$W=[Q*H*0.2725*SG]/[eta%]$

Cosi, una pompa che abbia 80% rendimente, che debba pompare greggio (di densita $890 [kg]/m^3$) con una portata $Q=700[m^3]/h$ a una prevalenza $H=540m$ dovra avere un motore da:

$[700*540*0.2725*0.89]/80= 1146 kW$

Il motivo per cui vale la pena ricordare questa banalita' (soprattutto per gl studenti di ingegneria meccanica) e' che quando si sale di taglia con le pompe, la portata e' nromalmente espressa in m3/h e la prevalenza e' comunuqe sempre espressa in metri, quindi immediatamente si calcola tutto nelle unita' giuste senza fare tante conversioni e si ottengono i kw.